趙梓燕

摘 要：本文以平時(shí)可能遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題中的實(shí)例為主線，探討了冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的條件；并充分的運(yùn)用冪級(jí)數(shù)于求解函數(shù)值的近似計(jì)算、高階導(dǎo)數(shù)、定積分、級(jí)數(shù)和、極限等問(wèn)題；巧妙地運(yùn)用級(jí)數(shù)解決差分問(wèn)題的求解、不等式的證明，而這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野極有好處。

關(guān)鍵詞：冪級(jí)數(shù) 展開(kāi)式 應(yīng)用 計(jì)算

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C 文章編號(hào)：1672-1578（2019）05-0067-02

1 引言

冪級(jí)數(shù)是一類簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)形式和和特殊性質(zhì)使之成為一種有效的計(jì)算工具，本文將從介紹冪級(jí)數(shù)的相關(guān)知識(shí)著手，通過(guò)在數(shù)學(xué)中應(yīng)用的一些典型例子對(duì)冪級(jí)數(shù)在不同問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行分析與比較，總結(jié)不同的問(wèn)題中應(yīng)用了冪級(jí)數(shù)哪方面特殊性質(zhì)，怎么樣應(yīng)用的問(wèn)題。從而讓我們能在不同的角度、不同的問(wèn)題中更好地把握冪級(jí)數(shù)，應(yīng)用冪級(jí)數(shù)的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決我們遇到的問(wèn)題。

2 冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)條件

2.1 冪函數(shù)的定義

由冪級(jí)數(shù)列an（x-x0）n 所產(chǎn)生產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

an（x-x0）n =a0+a1（x-x0）+a2（x-x0）2+…+an（x-x0）n+…稱為冪級(jí)數(shù)。

2.2 冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)條件[1]

設(shè)函數(shù)f（x）在x0處具有任意階導(dǎo)數(shù)，那么f（x）在區(qū)間（x0-r，x0+r）內(nèi)等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)的充分條件是：對(duì)一切滿足不等式x-x0

證明：設(shè)f（x）的泰勒級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和為Tn（x）

則 Tn（x）=T（x）

由于，當(dāng)x-x0

即， [f（x）-Tn（x）]=0

則， f（x）= Tn（x）

即：f（x）=Tn（x）

即f（x）在（x0-r，x0+r）內(nèi)等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)。

3 冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用

3.1 冪級(jí)數(shù)在計(jì)算中的應(yīng)用

3.1.1近似計(jì)算。

例1.計(jì)算 的近似值，要求誤差不超過(guò)0.0001。

解：因?yàn)?= =3（1- ）

所以在二項(xiàng)展開(kāi)式中取m= ，x= ，即得

=3（1- · - · - · -…）

于是取近似為 ≈3（1- · ）

其誤差為：

r2=3（ · + · + · +…）

< 3· · 1+ +（ ） +…

3.1.2 有關(guān)函數(shù)值的近似計(jì)算

在一些復(fù)雜函數(shù)的近似計(jì)算無(wú)法查表得到，把這類函數(shù)轉(zhuǎn)換成冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，在往往會(huì)使近似計(jì)算方便、精確。

例2.若函數(shù)f（x）=xarctanx-ln ，求f（1）。

解：因?yàn)閒（x）=xarctanx-ln =arctanx

同樣將arctanx=x- + -…+（-1）n +…

兩邊積分，得：f（x）=xarctanx-ln

= - +…+（-1） +…

所以將x=1帶入，得f（1）。

可見(jiàn)，再求一些復(fù)雜函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，可以想辦法將函數(shù)的展開(kāi)形式寫出來(lái)，進(jìn)而就會(huì)輕而易舉算出其所對(duì)應(yīng)的近似值.掌握這種方法會(huì)給解決問(wèn)題帶來(lái)很大方便。

3.2 在計(jì)算導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

求導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的知識(shí)，有些求導(dǎo)問(wèn)題，冪級(jí)數(shù)法也是其中之一。

例3.求f（x）= 的n階函數(shù)。

3.3 在定積分計(jì)算方面的應(yīng)用

利用冪級(jí)數(shù)不僅可以計(jì)算一些函數(shù)的近似值，而且還可以計(jì)算一些定積分的近似值，具體地說(shuō)，如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，那么把這個(gè)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分，用積分后的級(jí)數(shù)就可計(jì)算出定積分的近似值。

例4.計(jì)算 .

解： = dx = xe2πx（1+e2πx+…）dx

=- e-2πx| + - e-4πx - e-4πx| +- e-6πx - e-6πx| +…

= + + +…

= + + +…= · = .

以上例題說(shuō)明，冪級(jí)數(shù)在函數(shù)值及定積分的計(jì)算中有著廣泛應(yīng)用。對(duì)于用冪級(jí)數(shù)近似計(jì)算函數(shù)值，其思路和以前學(xué)過(guò)的用微分近似公式或泰勒公式近似求值的思路相似.對(duì)于用冪級(jí)數(shù)近似計(jì)算定積分，特別是在某些被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示時(shí)，便顯示出冪級(jí)數(shù)方法的優(yōu)越性。

3.4 冪級(jí)數(shù)在計(jì)算級(jí)數(shù)和中的應(yīng)用

利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分可計(jì)算冪級(jí)數(shù)的和。

例5.解冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)。

解： = =0

所以收斂域?yàn)椋?∞，+∞）

令s（x）= ，則s′（x）= =

所以s（x）+s′（x）= +

= = =ex

所以 s（x）+s′（x）=ex， s（0）=1

所以 s（x）= （ex +e-x）

所以 = （ex +e-x）.

3.5 冪級(jí)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用

冪級(jí)數(shù)是表達(dá)函數(shù)的重要工具，巧妙利用函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，能將問(wèn)題從難為宜。

例6：證明當(dāng)c≥ 時(shí)， （ex +e-x）≤eex ，x∈（-∞，+∞）不等式成立。

解： 由于（2n）！≥2n·n！，所以有：

= ≤ =e

所以有當(dāng)c≥ 時(shí)，有 （ex +e-x）≤eex .

總之，通過(guò)函數(shù)冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式，在證明一些特殊的不等式時(shí)，可以很起到簡(jiǎn)便的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系：數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）[M].高等教育出版社，2001.6.

[2] 滕加俊.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集精選精解[M].東南大學(xué)出版社，2010.8.

[3] 舒陽(yáng)春.高等數(shù)學(xué)中的若干問(wèn)題解析[M].北京：科學(xué)出版社，2005：168-169.

[4] 梁慧.函數(shù)冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)和運(yùn)用[J].中國(guó)新技術(shù)新產(chǎn)品，2008.09.

[5] Teman R.Infinte diensicnal dynamical systems in Mechanics and Physics[M].Springer-Verlag，NewYork，1997.