蔡振樹

【摘要】數(shù)學(xué)是抽象的思維學(xué)科，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，它需要學(xué)生的智力參與和獨(dú)立思考，別人是無法替代的，只有當(dāng)學(xué)生通過自己的思考建立起自己的數(shù)學(xué)理解力時(shí)才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)，才能使人產(chǎn)生有活力的思想，高中數(shù)學(xué)有意義教學(xué)更需體現(xiàn)以學(xué)生為本.本文結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性案例來探究高中數(shù)學(xué)的有意義教學(xué).

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);有意義教學(xué);導(dǎo)數(shù);函數(shù);單調(diào)性

【基金項(xiàng)目】本文系教育部福建師大基礎(chǔ)教育課程研究中心2018年開放課題“立足核心素養(yǎng)培育的差異數(shù)學(xué)研究”（批準(zhǔn)號(hào)：KC—2018036）研究成果.

縱觀近幾年的高考試題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及相關(guān)問題仍是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn).雖然高考試題新穎性、靈活性越來越強(qiáng)，但眾所皆知，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)最值極值的研究緊密聯(lián)系，它實(shí)現(xiàn)了函數(shù)與不等式、方程等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的交匯，涉及多種數(shù)學(xué)思想方法，如，數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等.下面就三個(gè)方面談?wù)劺脤?dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的有意義教學(xué).

一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

我們常常會(huì)遇到一種情況，解決問題到某一步之后，不能再以統(tǒng)一的方法，統(tǒng)一的式子進(jìn)行下去，這是被研究的對(duì)象包含了多種情況.此時(shí)，需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)差異，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合歸納解，這就是我們熟悉的分類討論.分類討論這一數(shù)學(xué)思想方法的考查仍是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，而分類討論時(shí)最難做到的就是標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏，明確何時(shí)該分類.這里我們以一道求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為案例進(jìn)行研究.

案例1已知f（x）=12x2-ax+（a-1）lnx（a>1），求f（x）的單調(diào)區(qū)間.

案例分析到f′（x）=（x-1）（x-a+1）x>0（x>0）時(shí)問題真正暴露出來了，這時(shí)f′（x）=0兩根x1=1，x2=a-1的大小不明確了，有多種情況，從而引發(fā)分類討論.這時(shí)教師如能適時(shí)地拋出問題“何時(shí)需要分類討論”，一定是可以觸動(dòng)學(xué)生的，這時(shí)的研究就會(huì)更有意義了.淺顯的案例其實(shí)蘊(yùn)含著深刻的原理.

打鐵趁熱，在學(xué)生討論情緒熱烈時(shí)拋出另一個(gè)問題，去掉案例中a>1這個(gè)條件，結(jié)論又當(dāng)如何？有了前面的探究有助于提高經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很自然地會(huì)去關(guān)注兩根與0以及兩根本身的大小關(guān)系，從而誘發(fā)了x2與0，1大小的比較.真正做到分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏.

通過本案例的分析和研究，一者可以樹立學(xué)生分類討論的信心，突破難點(diǎn)，二者鼓勵(lì)學(xué)生多思考，大膽對(duì)案例進(jìn)行有建設(shè)性的改造，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.

二、利用導(dǎo)數(shù)探究參數(shù)的取值范圍

探究參數(shù)取值范圍在高考考查中是很常見的，這類問題的探究很考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)功底，是發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)的重要載體，體現(xiàn)學(xué)習(xí)差異，讓不同學(xué)習(xí)水平層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展，同時(shí)注意解決問題的方法呈現(xiàn)多樣性.對(duì)這類問題的研究，除了有助于學(xué)生解題能力的提高，還能提高學(xué)生科學(xué)分析，善于總結(jié)，勇于探究解決問題最優(yōu)方法的能力.

案例2已知a∈R，函數(shù)f（x）=（-x2+ax）e-x（x∈R），若函數(shù)f（x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，求函數(shù)f（x）的取值范圍.

案例分析過程中，問題轉(zhuǎn)化成f′（x）=e-x（x2-ax-2x+a）≤0對(duì)任意x∈（-1，1）恒成立是比較順利的，可見學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中能充分注意到函數(shù)在某一區(qū)間單調(diào)遞減是f′（x）≤0，而非f′（x）<0這一易錯(cuò)點(diǎn)，并且學(xué)生能進(jìn)一步將上面的恒成立問題轉(zhuǎn)化為x2-（a+2）x+a≤0對(duì)任意x∈（-1，1）恒成立亦是可貴的.作為高考的復(fù)習(xí)課，學(xué)生已經(jīng)通過之前的學(xué)習(xí)，掌握了相當(dāng)?shù)姆治?、解決問題的能力了，所以此時(shí)課堂更應(yīng)留給學(xué)生，放手讓他們解決問題.

課堂實(shí)際體現(xiàn)，本案例大部分學(xué)生基于x∈（-1，1）這一條件，推出x-1<0，傾向于應(yīng)用方法一：參變分離，轉(zhuǎn)化成a≤x2-2xx-1，x∈（-1，1）的恒成立問題.往下的分析選擇構(gòu)造新函數(shù)，再次利用導(dǎo)數(shù)解決問題的居多，充分說明導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問題中的重要地位，但也有少數(shù)人選擇令t=x-1，結(jié)合換元法求解，這時(shí)又產(chǎn)生了一個(gè)新問題，對(duì)新元t的取值范圍必須關(guān)注，關(guān)注細(xì)節(jié)處理，使得我們的解決方案有效是最實(shí)在的，嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)態(tài)度的形成對(duì)高考當(dāng)然是重要的，對(duì)一個(gè)人生活態(tài)度的影響也是不可估量的.

從本案例的研究過程，可見學(xué)生的大膽質(zhì)疑，善于發(fā)現(xiàn)問題，善于進(jìn)行總結(jié).

三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和極值問題

案例3已知函數(shù)f（x）=x-alnx，（1）略;（2）求函數(shù)f（x）的極值;（3）當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，e]的最小值.

案例分析：第（2）問f′（x）=x-ax=0（x>0）的根x=a有否在定義域內(nèi)的問題，從而引發(fā)了討論.在這里要及時(shí)提醒學(xué)生注意a≤0時(shí)，f′（x）>0恒成立，函數(shù)無極值這種情況不要遺漏.而a>0時(shí)，單調(diào)區(qū)間，極值通過列表可以一目了然.第（3）問中仍需分a≤0，a>0兩種情況進(jìn)行討論，其中在a>0的這一情況中還需考慮a與1，e的大小關(guān)系，在這里出現(xiàn)了學(xué)生比較茫然，也比較不擅長(zhǎng)的二級(jí)討論，這樣的分類討論要求較高，體現(xiàn)差異性大.可以通過課堂教學(xué)案例設(shè)計(jì)的層層推進(jìn).

通過選擇一些典型的案例進(jìn)行探究教學(xué)，既能讓學(xué)生學(xué)會(huì)這類問題的解決，日積月累，又能讓學(xué)生體會(huì)分類討論、化歸等數(shù)學(xué)思想.以學(xué)生為主體的有意義教學(xué)，更能讓學(xué)生“創(chuàng)新的火花閃爍在課堂，燦爛在未來”，學(xué)生的獨(dú)到見解及時(shí)得到肯定和推廣，信心倍增.這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)就不僅僅意在高考，對(duì)生活也是有積極意義的，這是新時(shí)代核心素養(yǎng)培育的有力實(shí)踐.

【參考文獻(xiàn)】

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