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        應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題

        2019-04-25 00:10:18楊渭革
        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)

        楊渭革

        [摘? ?要]高中數(shù)學(xué)題型越來越抽象,學(xué)生在解題過程中分析題干信息不全面導(dǎo)致問題頻出,而應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,有助于學(xué)生將抽象問題直觀化,從而有效解決問題.教師可從繪制圖形、構(gòu)造圖形、轉(zhuǎn)化圖形和觀察圖形四個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題.

        [關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合思想;數(shù)學(xué)解題;高中數(shù)學(xué)

        [中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058(2019)08-0035-02

        “數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)主要方面,這兩個(gè)方面相輔相成,通過彼此之間的轉(zhuǎn)換和建構(gòu),以“形”代“數(shù)”,則可以使原本抽象的數(shù)學(xué)等式、題干立意在圖形的表示中一目了然,尋找到數(shù)量關(guān)系,進(jìn)而有效解決問題.數(shù)形結(jié)合對(duì)學(xué)生解題能力和解題效率的提升都有很大的幫助.因此,筆者從以下四個(gè)方面就如何應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)學(xué)生解決問題展開論述.

        一、繪制圖形,化靜為動(dòng)

        高中數(shù)學(xué)習(xí)題中,常有求值域、取值范圍等題型,尤其在處理有某種函數(shù)關(guān)系的取值范圍時(shí),學(xué)生常存在分析不清楚題干或分析問題不全面等問題.筆者認(rèn)為,在處理這些問題時(shí),應(yīng)通過建立坐標(biāo)系,化靜態(tài)為動(dòng)態(tài),在變化中求解問題.這樣的方式既便捷又全面.

        例如,在求解函數(shù)中未知項(xiàng)的取值范圍時(shí),如有向線段PQ,P的坐標(biāo)為(-1,1),Q的坐標(biāo)為(2,2),已知一條直線l:x+my+m=0與有向線段PQ的延長(zhǎng)線相交,試求l中m的取值范圍.筆者在指導(dǎo)學(xué)生解決此題時(shí),首先做的就是引導(dǎo)學(xué)生全面分析題意,如抓住“有向”等關(guān)鍵字眼,這個(gè)是解決本題的關(guān)鍵點(diǎn).之后便引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的方式來解決問題.第一步就是將l的表達(dá)式換為點(diǎn)斜式,即y+1=-1/m·x,則可得出l的斜率為-1/m,且直線l恒過定點(diǎn)A(0,-1),在求有向線段PQ所在直線的斜率kPQ=1/3,A與Q連線斜率為kAQ=3/2,則之后繪制坐標(biāo)圖,在圖中分析,當(dāng)斜率-1/m取最小值時(shí),即直線l與PQ所在直線趨于平行時(shí),即-1/m[>]1/3,而直線l的斜率取最大值時(shí),則是l的斜率趨近于kAQ,即-1/m[<]3/2,在這樣一個(gè)范圍內(nèi),直線l都可以與PQ延長(zhǎng)線相交,則1/3[<] -1/m[<]3/2.因此,通過解答,學(xué)生便得出了m的取值范圍為-3[<]m[<]-2/3.

        上述教學(xué)中,通過轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù),繪制圖形,化靜態(tài)為動(dòng)態(tài),在動(dòng)態(tài)中分析問題,使學(xué)生可以迅速理解和掌握此類題目的解題方法,并在日后遇到此類問題時(shí)能高效解決.

        二、構(gòu)造圖形,凸顯關(guān)鍵

        在高中數(shù)學(xué)中,最值問題是學(xué)生感到最頭疼的內(nèi)容,究其原因是抓不住題中的關(guān)鍵點(diǎn).筆者認(rèn)為,通過構(gòu)造圖形,凸顯關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),是最為簡(jiǎn)單有效的解題方法.

        例如,在求最值問題時(shí),筆者通過以下問題指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題,如已知關(guān)系式y(tǒng) = cosθ-31/2/sinθ+1,求y的最小值.筆者會(huì)先引導(dǎo)學(xué)生尋找題干中的關(guān)鍵點(diǎn),如該關(guān)系式恒過定點(diǎn)A(sinθ,cosθ),B(-1,31/2),這是學(xué)生可以從題干中分析出來的,而A是圓x2+y2=1上的點(diǎn),B則是定點(diǎn),對(duì)此可以利用已知構(gòu)造圖形,通過在坐標(biāo)系中表示各數(shù)據(jù),連接BO、AO之后,再尋找它們的關(guān)系,分析判斷之后便可以得出AO=1,而通過B的坐標(biāo)點(diǎn)得出BO=2,DO=AO=1,根據(jù)學(xué)過的三角形知識(shí)可知∠ABO=∠DBO=30°,則關(guān)系式y(tǒng) = cosθ-31/2/sinθ+1的最小值就為tan150°的值,即為-31/2/3,至此問題迎刃而解.

        這樣的教學(xué),使學(xué)生學(xué)會(huì)通過構(gòu)造圖形尋找最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系,則在解決問題時(shí),便凸顯出了關(guān)鍵點(diǎn),為學(xué)生分析難題提供了行之有效的方法.

        三、轉(zhuǎn)化圖形,尋求正解

        利用習(xí)題中的條件尋找某種關(guān)系,然后將其轉(zhuǎn)化為圖形,再分析圖中蘊(yùn)含的條件,可以有效地提升學(xué)生的解題效率.筆者認(rèn)為,在解題時(shí),還可根據(jù)題意轉(zhuǎn)化圖形,在轉(zhuǎn)化圖形的過程中,尋求題目的正確解答.這樣的方式,可以幫助學(xué)生全面分析問題,防止遺漏.

        例如,已知A集合為[x|-2≤x≤a],B集合為[z|z=2x+3,x∈A],C集合為[y|y=x2,x∈A],且C屬于A,求a的取值范圍.在這種題型中,有4種情況出現(xiàn),且4種情況缺一不可,雖然有時(shí)不會(huì)影響到最后取值,但在解題過程中也應(yīng)注明,這樣才可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}思路.如z =2x+3,在A集合范圍中是遞增函數(shù),因此,學(xué)生可以得出B集合為[z-1≤z≤2a+3],到這步時(shí),學(xué)生基本是可以掌握的.而在分析C集合時(shí),則會(huì)有多種情況出現(xiàn).筆者引導(dǎo)學(xué)生通過繪制圖形及轉(zhuǎn)換圖形,分[-2≤a≤0]、[0≤a≤2]、[a>2]、[a≤-2]四種情況進(jìn)行分析,根據(jù)C [∈] B的條件,則分析轉(zhuǎn)換圖形中發(fā)現(xiàn),第一種情況,當(dāng)a[∈][-2,0]時(shí),a2 ≤ z ≤ 4,則2a+3 ≥ 4,解得a ≥1/2,則與前提條件-2 ≤ a ≤ 0相矛盾,所以第一種情況是矛盾的,則需要將其排除.同樣的,利用這種方式,分析其他三種情況,符合條件的留下,不符合的排除,最后便總結(jié)得出a的取值范圍為(-∞,-2)∪[1/2,3].

        在不停地轉(zhuǎn)化圖形的過程中,則可以全面地分析出題意包含的各種情況,可以達(dá)到精準(zhǔn)求解的目的,在解決選擇題和填空題時(shí)應(yīng)用這種方式,可以有效提升解題效率.因此,筆者在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時(shí)經(jīng)常采用這種方法,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.

        四、觀察圖形,判斷驗(yàn)證

        在解決完問題之后,可通過觀察解題的圖形進(jìn)行判斷和驗(yàn)證,來確定自我求解過程是否正確,因?yàn)樵谇蠼庖恍﹩栴}時(shí),在高中數(shù)學(xué)范圍內(nèi),所求值可能是位于交點(diǎn)處.因此,可通過觀察解題的圖形,判斷驗(yàn)證求值是否正確.

        例如,在解決“根據(jù)以下三個(gè)不等式x ≥1,x-y ≤ 0,x+2y-9 ≤ 0,求出x+y的最大值”這道題時(shí),學(xué)生通常會(huì)將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系,然后讓其相等,建立方程,求出交點(diǎn)值,至此便認(rèn)為可以求出x+y的最大值.筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的這種問題后,便在指導(dǎo)解題時(shí),偏向引導(dǎo)學(xué)生畫出線性規(guī)劃的坐標(biāo)圖,標(biāo)注出其中的陰影部分,然后再分析最值.筆者認(rèn)為這樣更為嚴(yán)謹(jǐn)且不容易出錯(cuò),即y=x,y=-1/2x+9/2,然后求解最值,在求各個(gè)交點(diǎn)值之后,得出最大值點(diǎn)是(3,3),即x+y的最大值為6,便可結(jié)合圖形判斷原求值是否正確.在圖形中,可以按照分析斜率的大小關(guān)系,判斷出最大值應(yīng)該出現(xiàn)在何處;同樣的,還可以通過圖形判斷最小值和計(jì)算最小值等問題.

        通過觀察圖形這種方式,可使學(xué)生快速找到思路,判斷驗(yàn)證求解過程,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.

        總之,在教學(xué)中,利用數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題,有助于學(xué)生高效解題和理解掌握知識(shí)點(diǎn).高中數(shù)學(xué)相比于初中數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)更加抽象,因此教師必須在解題過程中,引導(dǎo)學(xué)生打破抽象的表象,利用圖形分析出它的本質(zhì)內(nèi)容,從而有效提升學(xué)生的解題能力.

        (特約編輯 安? ?平)

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