四川 蔡勇全
導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是歷年高考考查的熱點(diǎn),還是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn),學(xué)生在解決導(dǎo)數(shù)問題時(shí),由于對基礎(chǔ)知識掌握得不全面或?qū)︻}意理解得不準(zhǔn)確而造成錯(cuò)解的現(xiàn)象屢見不鮮,本文結(jié)合實(shí)例對這些常見易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行剖析,供大家參考.
【例2】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)共有
( )
A.1個(gè) B.2個(gè)
C.3個(gè) D.4個(gè)
【錯(cuò)解】不妨設(shè)圖中區(qū)間(-2,-1)內(nèi)的極值點(diǎn)為a,區(qū)間(-1,0)內(nèi)的極值點(diǎn)為b,易知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-3,a),(b,0),(1,3),單調(diào)遞增區(qū)間為(a,b),(0,1),所以函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)為x=a,0,故應(yīng)選B.
【剖析】對可導(dǎo)原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)兩者圖象之間的關(guān)系理解不夠深入造成了上述將f(x)與f′(x)的單調(diào)性混為一談的錯(cuò)解,事實(shí)上,可導(dǎo)原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)兩者圖象之間有如下關(guān)系:①導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)即為原函數(shù)的極值點(diǎn);②導(dǎo)函數(shù)值的符號與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系——原函數(shù)看增減,導(dǎo)函數(shù)看正負(fù).
【正解】根據(jù)f′(x)≥0(f′(x)≤0)可確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下:f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-3,-2)與(-1,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,-1)與(2,3),所以函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)為x=-1,故應(yīng)選A.
【例3】函數(shù)y=ln(tan2x)的導(dǎo)數(shù)y′=________.
【剖析】錯(cuò)解1機(jī)械套用了基本初等函數(shù)y=lnx的求導(dǎo)結(jié)果.錯(cuò)解2把tan2x當(dāng)成了基本初等函數(shù),實(shí)際上tan2x是復(fù)合函數(shù).
【例4】求曲線f(x)=x3-3x2+2x過原點(diǎn)的切線.
【錯(cuò)解】因?yàn)閒(0)=0,所以原點(diǎn)在曲線f(x)上.易知f′(x)=3x2-6x+2,則所求切線的斜率k=f′(0)=2,故所求切線的方程為y=2x.
【剖析】曲線“在某點(diǎn)處的切線”是指過該點(diǎn)且以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線,從而該點(diǎn)也必須是曲線上的點(diǎn);“過某點(diǎn)的切線”則不一定以此點(diǎn)為切點(diǎn),該點(diǎn)也不一定在曲線上,因此所求切線可能不止一條.
【正解】f′(x)=3x2-6x+2,設(shè)切線的斜率為k.
當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí),k=f′(0)=2,則所求切線的方程為y=2x;
【例5】函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導(dǎo)是函數(shù)y=f(x)在x=x0處連續(xù)的
( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【錯(cuò)解】要么認(rèn)為“連續(xù)”與“可導(dǎo)”是同一個(gè)概念而錯(cuò)選C,要么對可導(dǎo)與連續(xù)互為前提時(shí)的充分、必要關(guān)系理解不清而錯(cuò)選B.
【正解】函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導(dǎo)是函數(shù)y=f(x)在x=x0處連續(xù)的充分不必要條件,故應(yīng)選A.
【例6】若函數(shù)f(x)=(x+2)log2x,則f′(2)=________.
【錯(cuò)解】因?yàn)閒(2)=(2+2)log22=4,所以f′(2)=(f(2))′=4′=0.
【剖析】函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)可以用(f(x))′表示,它們的含義是一樣的,故f′(x)=(f(x))′,但是,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)值f′(x0)卻不能用(f(x0))′表示,這是由于(f(x0))′代表函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù),即常數(shù)的導(dǎo)數(shù),當(dāng)然等于0,因而它們的含義是不一樣的,正確的關(guān)系是f′(x0)=f′(x)|x=x0.
如果求上述函數(shù)的最值,那么應(yīng)將f(-1),f(0),f(1),f(2),f(3)中的最大者作為函數(shù)f(x)在[-1,3]上的最大值,最小者作為函數(shù)f(x)在[-1,3]上的最小值.此外,對于函數(shù)極值的認(rèn)識,僅局限于例7的“剖析”中的三點(diǎn)說明是不夠的,為了進(jìn)一步認(rèn)識極值,請看下文例8.
【例8】函數(shù)f(x)=(x2-1)3+2的極值點(diǎn)是
( )
A.x=2 B.x=-1
C.x=1,-1或0 D.x=0
【錯(cuò)解】易知f(x)=x6-3x4+3x2+1,令f′(x)=6x5-12x3+6x=0,解得極值點(diǎn)為x=1,x=-1,x=0,故應(yīng)選C.
【剖析】對于在定義域上的可導(dǎo)函數(shù)f(x),x=x0是f(x)的極值?f′(x0)=0且在x0的左右附近區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值異號.由此可以看出,對任意函數(shù)(含可導(dǎo)函數(shù))來說,導(dǎo)數(shù)為0處不一定取得極值,比如函數(shù)y=x3在x=0處導(dǎo)數(shù)為0,但檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn),在x=0的附近兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值均為正,即在x=0的附近兩側(cè)均單調(diào)遞增,所以x=0不是極值點(diǎn).正是由于未對導(dǎo)函數(shù)為0的解進(jìn)行檢驗(yàn),分析其附近兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)情況,才造成了上述錯(cuò)解.
【正解】f′(x)=6x5-12x3+6x=6x(x+1)2(x-1)2,當(dāng)x<-1時(shí),f′(x)<0;當(dāng)-1
【例9】設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a≥-1,試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
當(dāng)a=0時(shí),由f′(x)>0解得x<-1,由f′(x)<0解得x>-1;
【剖析】單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì),單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集,求單調(diào)區(qū)間時(shí)應(yīng)先確定函數(shù)的定義域,再來解不等式f′(x)>0或f′(x)<0,這就是定義域優(yōu)先原則.事實(shí)上,所有函數(shù)問題的解決都應(yīng)在定義域背景下進(jìn)行,上述錯(cuò)解正是忽視了原函數(shù)的定義域所致.
【例11】已知函數(shù)f(x)=x3-mx2+2m2-5(m<0)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-9,0),求實(shí)數(shù)m的值.
【剖析】“函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)”與“函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間是D”是兩個(gè)不同的概念,前者中的區(qū)間D不一定是函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間,但一定是單調(diào)遞增(減)區(qū)間的子區(qū)間,后者是指函數(shù)“在且僅在”區(qū)間D單調(diào)遞增(減).若把題目改為“若函數(shù)f(x)=x3-mx2+2m2-5(m<0)在區(qū)間(-9,0)上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.”,那么,上述解法就是正確的,改了之后的題目還可有如下另解:
(Ⅰ)求證:x1x2>0;
(Ⅱ)求證:(b-1)2=16a2+4a;
(Ⅲ)求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
對于第(Ⅰ),(Ⅱ)小問,下面給出簡解:
對于第(Ⅲ)小問,有如下錯(cuò)解:
【剖析】以上兩種解法看似嚴(yán)謹(jǐn),實(shí)際上都忽略了區(qū)分極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn),導(dǎo)致一些細(xì)節(jié)性錯(cuò)誤.要正確區(qū)分可導(dǎo)函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn),就必須抓住極值點(diǎn)左右兩側(cè)的符號規(guī)律,審題要細(xì)致,切不可忽視每一個(gè)細(xì)節(jié).