福建 吳志鵬 林鐘鵬

一、初識“我”

我的學(xué)名叫“非p”記作“p”，準(zhǔn)確地說我叫“命題p的否定”，我有一個兄弟叫“否命題”，他比我小，我倆長得還挺像，因此經(jīng)常會有人說“他”就是小時候的“我”，其實我倆還是有很大區(qū)別的，作為大哥“非p”的“我”只是對命題p的結(jié)論作否定，而作為小弟“否命題”則是對命題p的條件和結(jié)論分別作否定，要辨別我倆誰是誰，其實也并不困難，想一想，小的時候，做了壞事，別人總是會評價：這么小就做壞事，肯定是父母沒有管教好，其意思就是因為父母沒管教好，小孩子才做了壞事,即對所做事的原因和結(jié)論都進(jìn)行否定；長大了，要是你做了壞事，那你就得對自己負(fù)責(zé)任，別人的評價再也不會牽連監(jiān)護(hù)人了，即只是對你做的事進(jìn)行否定，而對原因并不否定.這就是作為小弟“否命題”和大哥“命題的否定”的一個區(qū)別吧，也不知這個比喻是否妥當(dāng)，那么，你是否能快速地區(qū)分出我倆呢？對我是不是大概有了些印象呢？

【例1】寫出下列命題的否定與否命題.

命題p：若xy=0，則x=0或y=0.

命題p的否定：若xy=0，則x≠0且y≠0(只對結(jié)論進(jìn)行否定)；

命題p的否命題：若xy≠0，則x≠0且y≠0(分別對題設(shè)和結(jié)論進(jìn)行否定).

二、深識“我”

由于命題p善于偽裝，呈現(xiàn)出來的形式多樣，命題p的改變導(dǎo)致了“非p”的“我”也不得不隨之而變，此時若你想要認(rèn)識我，就得下一番苦功，那么如何才能更好地認(rèn)出我呢？《西游記》中唐僧西天取經(jīng)，無論妖怪有多厲害，它總是逃脫不了孫悟空的法眼，因為孫悟空練就了一雙火眼金睛，同樣的，命題p也會像妖怪一樣善于偽裝，那么我就得有辨清命題p的本領(lǐng)了，這樣“我”才能克敵制勝，我可是只用了一招“兵來將擋，水來土掩”就取得了勝利，看你那表情好像是不太相信啰？那我現(xiàn)在就悄悄地告訴你，試試用“補集”的思想來理解命題的否定，我們可以把問題的所有關(guān)系看成是“全集”，找出命題p所含的關(guān)系，那么“非p”則是命題p所含關(guān)系的全部補充，即我們所說的“補集”，這樣你就能“以不變應(yīng)萬變”，解開在理解“我”的過程中的一些困惑.現(xiàn)在把理解“我”過程中存在的情況作一些闡述，以期大家能更好地認(rèn)識“我”.

1.含有“都、全”等一類短語命題的否定.

【例2】命題p：若x+y是偶數(shù)，則x，y都是奇數(shù).

【分析】關(guān)于x，y與奇、偶數(shù)的關(guān)系有四種，即①x是奇數(shù)，且y是奇數(shù)；②x是奇數(shù)，且y是偶數(shù)；③x是偶數(shù)，且y是奇數(shù)；④x是偶數(shù)，且y是偶數(shù).命題p所包含的關(guān)系為第①種，用“補集”的思想來理解，其否定即為其余三種關(guān)系.那么也就很容易理解：p：若x+y是偶數(shù)，則x，y不都是奇數(shù)；而不是若x+y是偶數(shù)，則x，y都不是奇數(shù).

【變式】命題“方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不全表示圓”的否定.

分析：本題含三種可能，即方程表示圓、表示點、也可能不表示任何圖形.命題p含有表示點或不表示任何圖形兩種可能，其否定即為余下的表示圓這一種可能.

2.含有“至多、至少”等一類短語命題的否定.

【例3】命題p：至多存在一組實數(shù)對x、y，使得x-y=1.

【分析】先將命題p改寫成若p則q的形式：若x，y是實數(shù)，則至多存在一組實數(shù)對x，y，使得x-y=1.此時我們知道x，y的實數(shù)對組數(shù)含有0組、1組、2組、3組……，而命題p所含的實數(shù)對組數(shù)為0組、1組兩種，用“補集”的思想來理解，命題的否定即其他組數(shù)的全部，存在的實數(shù)對組數(shù)為2組、3組……，則p：至少存在兩組實數(shù)對x，y，使得x-y=1.

【變式】命題p：若abc=0，則a，b，c中最少有一個為零，求p.

【分析】本題含有a，b，c中沒有一個為0、有一個為0、有兩個為0、三個全為0四大類，共計八種可能，命題p所含的是有一個為0、有兩個為0、三個全為0，共七種可能，用“補集”的思想來理解，命題的否定即為沒有一個為0這一種可能.

3.含有“或、且”等邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的否定.

【例4】命題p：若x+y=5，則x=3或y=2.

【分析】結(jié)論所包含的全部關(guān)系，即x與3，y與2的關(guān)系有①x=3且y=2；②x=3且y≠2；③x≠3且y=2；④x≠3且y≠2，命題p的結(jié)論所包含的關(guān)系為第①②③種，用“補集”的思想理解，其否定則為第④種關(guān)系，即為x≠3且y≠2.

【變式】命題p：若x+y=5，則x=3且y=2；命題p的結(jié)論所包含的關(guān)系為第①種，用“補集”的思想理解，其否定為第②③④種關(guān)系.

4.全稱命題與特稱命題的否定.

【例5】命題p：所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù).

【分析】命題的全部為能被3整除的整數(shù)，此時的“全集”可理解為包含有能被3整除的整數(shù)全是奇數(shù)、能被3整除的整數(shù)全是偶數(shù)、能被3整除的整數(shù)部分是奇數(shù)、部分是偶數(shù)三種.命題p所包含的則是第一種，用“補集”的思想理解命題的否定，即三種關(guān)系中的第二、三種，也就是說能被3整除的整數(shù)全部為偶數(shù)或部分為偶數(shù)、部分為奇數(shù)，則稱存在一個能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù).反之同樣可以理解以下命題，命題p：存在一個能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù).p：所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù).

對于全稱命題和特稱命題的否定，全稱命題形式為?x∈A，p(x)成立，其命題的否定為?x0∈A，p(x0)；特稱命題的形式為?x0∈A，p(x0)成立，其命題的否定為?x∈A，p(x).

【變式】(2016·浙江卷·4)命題“?x∈R,?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是

( )

A.?x∈R,?n∈N*，使得n

B.?x∈R,?n∈N*，使得n

C.?x∈R,?n∈N*，使得n

D.?x∈R,?n∈N*，使得n

(答案為D).

三、再回首

前面已經(jīng)為大家找到了一個深入認(rèn)識“我”的好方法——利用“補集”的思想，這樣就能“以不變應(yīng)萬變”，解開在認(rèn)識“我”的過程中存在的一些困惑，最后讓我們再來看看在認(rèn)識“我”的過程中還會遇到哪些問題？

【錯解】由于命題p為假，則p為真，所以有解得m>1或m<-3，所以m的取值范圍為{m|m>1或m<-3}.

對比兩個解法，你有什么發(fā)現(xiàn)？在認(rèn)識“我”的過程中還得先弄清命題p的本質(zhì)屬性，不要輕易下結(jié)論哦.

【例7】命題p：若a>b，則a2>b2，求p.

【錯解】p：若a>b，則a2≤b2.

【正解】p：?a>b，使得a2≤b2.

【分析】由于命題p與p的真假相反，本題中的命題p為假，如果p記作：若a>b，則a2≤b2，我們很容易可以看出這也是假的，與命題p與p的真假相反的理論相矛盾，所以p的這種記法是錯誤的，錯誤的原因在于對命題p不能正確地理解，導(dǎo)致分不清命題p是哪種類型，其實本題的命題p是一個省略了全稱量詞的全稱命題，即?a>b均有a2>b2，這是假的；那么它的否定應(yīng)是?a>b，使得a2≤b2，命題的否定為真.

【變式1】命題p：若x>3，則有x>5，求p.

一般情況下，全稱量詞有時可以省略,這是語言表達(dá)簡潔的需要,但是存在量詞不能省略，否則會導(dǎo)致在判斷命題的真假性時出現(xiàn)失誤.我們在解答命題的否定時，也可以用命題p與p的真假性相反來進(jìn)行檢驗，看看p的表述是否正確.總之，要準(zhǔn)確無誤地寫出一個命題的否定，需要認(rèn)真審題，特別要審視關(guān)鍵字眼，對于一些簡潔的命題，需要還本歸真，透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，才能用正確的數(shù)學(xué)語言表述.