鄭婉容, 鄭婷婷，張毛銀

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 合肥 230601)

0 引 言

通常情況下，現(xiàn)實(shí)世界有很多東西分類都是模棱兩可，沒有明確的界限，這樣就容易出現(xiàn)模糊性概念.Zadeh[1]的模糊集理論在1965年被提出來，它對(duì)于一些不確定性問題可以提供很多的依據(jù)；1986年，Atanassov[2]給出直覺模糊集.對(duì)于刻畫它們的不確定性，相應(yīng)的熵理論也快速發(fā)展起來.

1972年，模糊熵的公理化定義被Deluca和Termini[3]共同提出.直覺模糊熵公理化定義是由Bustince H和Burillo P[4]最早開始給出.由于這個(gè)定義的應(yīng)用不能廣泛推廣，有一定的限制，2001年，Szmidt[5]修改了這個(gè)定義，運(yùn)用幾何知識(shí)提出直覺模糊熵公式.文獻(xiàn)[6]提出一些新的相關(guān)概念，討論了已有的公理化定義存在的問題并且進(jìn)行了修改，在滿足改進(jìn)的公理化定義的基礎(chǔ)上給出一個(gè)新的直覺模糊熵公式.在文獻(xiàn)[7]中指出文獻(xiàn)[8]中公理化的缺陷，提出新的公理化定義與公式并且將其應(yīng)用到?jīng)Q策中.Ye[9]利用三角函數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)概念給出兩個(gè)直覺模糊熵公式，但這兩個(gè)公式所考慮的變量問題過于片面，即沒有考慮猶豫度，僅僅涉及模糊集的隸屬度和非隸屬度之間的差異，不能完整反映出直覺模糊程度.此處提出修改過的公理化定義和公式，并證明了新的公式符合修正過的公理化定義.

1 模糊熵的公理化定義

定義1[10]?A，B∈F(X)，其中F(X)為論域X上的模糊子集的全體.

映射：H：F(X)→[0，1]，則模糊集的模糊熵H滿足下面約束：

① ?x∈X，μA(x)∈{0，1}?H(A)=0；

② ?x∈X，μA(x)≡0.5?H(A)=1；

③ ?x∈X，μB(x)≤μA(x)≤0.5或

μB(x)≥μA(x)≥0.5?H(B)≤H(A)；

④ ?A∈F(X)，H(A)=H(Ac).

度量模糊集的模糊程度是采用隸屬度這個(gè)變量，為了度量直覺模糊集的模糊程度，要考慮其含有的變量基礎(chǔ)上，提出相應(yīng)的公理化定義.

2 直覺模糊熵的公理化定義

定義2[3]設(shè)X為一個(gè)集合，μA：X→[0，1]，vA：X→[0，1]，滿足：

μA(x)+νA(x)≤1，?x∈X

則稱A=(X，μA，νA)為X上的一個(gè)直覺模糊子集，且記A(x)=(μA(x)，νA(x))，其中μA(x)為元素x對(duì)A的隸屬程度，νA(x)為元素x對(duì)A的非隸屬程度.

直覺模糊集A的補(bǔ)集記為Ac，即

Ac={〈x，vA(x)，μA(x)〉|x∈X}

當(dāng)直覺模糊集A=(X，μA，νA)，滿足μA(x)+νA(x)=1，?x∈X，即A退化為Zadeh模糊集.

下面給出兩個(gè)預(yù)備知識(shí)：

在直覺模糊集A中，由于隸屬度和非隸屬度相加不等于1并且代表x對(duì)于一個(gè)A屬于或不屬于關(guān)系是確定的，現(xiàn)在想要將不等號(hào)改為等號(hào)，就需要加入一個(gè)新的變量即猶豫度使之達(dá)到平衡，該變量反映了直覺Fuzzy集的不確定性.

定義3 ?x∈X，記πA(x)=1-μA(x)-νA(x)，0≤πA(x)≤1，那么稱πA(x)為x屬于A的猶豫度.

注1直覺Fuzzy集退化成Fuzzy集的充要條件是πA(x)=0.

在直覺Fuzzy集A中，由于μA(x)和νA(x)沒有明確的大小比較，而新定義的變量即核要求是大于0的，不能為負(fù)數(shù)，所以需要加一個(gè)絕對(duì)值.

定義4?x∈X，記SA(x)=|μA(x)-νA(x)|，0≤SA(x)≤1，那么稱SA(x)為x屬于A的核.

2001年，Szmidt E和Kacprzyk J提出了直覺模糊熵的新的公理化定義.

定義5[5]設(shè)E：IFS(X)→R+為一個(gè)映射，E為IFS(X)上的熵，即有E如下：

①E(A)=0?A為分明集；

②E(A)=1??x∈X，μA(x)=νA(x)；

③ ?x∈X，當(dāng)μB(x)≤νB(x)時(shí)，有μA(x)≤μB(x)且νA(x)≥νB(x)，當(dāng)μB(x)≥νB(x)時(shí)，有μA(x)≥μB(x)且νA(x)≤νB(x)，則E(A)≤E(B)；

④E(A)=E(Ac).

注2定義5中，直覺模糊熵只采用了μA(x)和νA(x)，忽略了πA(x)，因此不予推廣.

H-Y公理化定義[8]是考慮μA(x)+νA(x)+πA(x)=1，?x∈X成立，但是由于概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小，其值在0到1之間，事件確定不發(fā)生的概率是0，確定發(fā)生的概率為1，這樣就與μA(x)，νA(x)和πA(x)的概念存在著偏差，不能將兩者混淆，因此不能將這3個(gè)變量作為概率測度.

完整地考慮μA(x)，νA(x)，πA(x)這3個(gè)變量的關(guān)系，補(bǔ)充條件，提出了一個(gè)新的直覺模糊熵公理化定義：

定義6 ?A，B∈IFS(x)，稱映射E：IFS(x)→R+為IFS(X)上的熵，即E有如下性質(zhì)：

①E(A)=0?A為分明集；

②E(A)=1??xi∈X，μA(x)=νA(x)成立；

③E(A)是關(guān)于SA(x)=|μA(x)-νA(x)|的單調(diào)減函數(shù)，是關(guān)于πA(x)=1-μA(x)-νA(x)的單調(diào)增函數(shù)；

④E(A)=E(Ac).

定義6中，性質(zhì)①說明當(dāng)直覺Fuzzy集退化成普通集時(shí)，即是明確集；性質(zhì)②說明直覺模糊熵為1的充要條件是μA(x)與νA(x)沒有差值；性質(zhì)③說明直覺模糊熵是SA(x)和πA(x)函數(shù)，即πA(x)=πB(x)，SA(x)≤SB(x)時(shí)，E(A)≥E(B)；SA(x)=SB(x)，πA(x)≤πB(x)時(shí)，E(A)≤E(B).性質(zhì)④說明A與其補(bǔ)集Ac的模糊程度一樣.

3 現(xiàn)有直覺模糊熵存在的問題

魏翠萍等[12]證明出Ye[9]給出的兩個(gè)直覺模糊熵是等價(jià)的，即

證出

J1(A)=J2(A)=

(1)

由此可見式(1)只考慮μA(x)和νA(x)之間的關(guān)系，沒有考慮πA(x)，因此與直覺不符.

Burillo[13]等提出的直覺模糊熵為

(2)

式(2)與上面的式(1)相反，僅僅考慮πA(x)的變化，其模糊性沒被考慮，因此不能作為直覺模糊集的不確定性度量.

4 新的直覺模糊熵公式

定理1 設(shè)論域X={x1，x2，…，xn}，A={〈xi，μA(xi)，νA(xi)〉|xi∈X} 是X上的直覺模糊集，則定義直覺模糊熵：

證明要證明式(3)是直覺模糊熵，只需要證明該式滿足定義6的4個(gè)條件即可，令

由于0≤μA(xi)≤1，0≤νA(xi)≤1，0≤πA(xi)≤1，則可以得到：

也即

因此0≤Ei(A)≤1，得到0≤E(A)≤1.

1)若E(A)=0，由于0≤Ei(A)≤1，可以得到Ei(A)=0.

若A為分明集時(shí)，?xi∈X，有μA(xi)=1，νA(xi)=0或μA(xi)=0，νA(xi)=1，則有Ei(A)=0，即E(A)=0.

2)?xi∈X，有μA(xi)=νA(xi)，可得Ei(A)=1，即E(A)=1.

3)令SA(x)=|μA(x)-νA(x)|=x，πA(x)=1-μA(x)-νA(x)=y，其中0≤x≤1，0≤y≤1.

則E(A)關(guān)于SA(x)=|μA(x)-νA(x)|=x是單調(diào)減函數(shù)，關(guān)于πA(x)=1-μA(x)-νA(x)=y是單調(diào)增函數(shù).

4)E(Ac)=

例1 計(jì)算直覺模糊集

A1={〈xi，0.1，0.3〉|xi∈X}

A2={〈xi，0.2，0.4〉|xi∈X}

A3={〈xi，0.2，0.5〉|xi∈X}

A4={〈xi，0.4，0.3〉|xi∈X}

的直覺模糊熵.

解利用Ye提出的直覺模糊熵公式得到：

可以看出對(duì)于直覺模糊集A1和A2來說，它們的猶豫度πA1(xi)≠πA2(xi)，但J(A1)=J(A2)，顯然與直覺不符.

利用Burillo等給出的直覺模糊熵公式：

得到E(A1)=0.6，E(A2)=0.4，E(A3)=0.3，E(A4)=0.3.對(duì)于直覺模糊集A3和A4來說，E(A3)=E(A4)，可以看出忽略了μA(x)與νA(x)的差異，因此與直覺不符.

現(xiàn)在利用新的直覺模糊熵公式得到：

由此可見，在兩個(gè)直覺模糊集的核SA(x)= |μA(x)-νA(x)| 相同的時(shí)候，其猶豫度越大，說明這個(gè)直覺模糊集的模糊程度越高，則對(duì)應(yīng)的熵越大，即E(A1)

5 結(jié) 論

模糊熵本身只是簡單的考慮隸屬度和非隸屬度這兩個(gè)變量的一系列相關(guān)變化，即使這樣對(duì)于它的研究也是很艱難的.而直覺模糊集是在模糊集的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，對(duì)應(yīng)的直覺模糊熵是在模糊熵的基礎(chǔ)上又考慮了猶豫度，因此對(duì)于直覺模糊熵的深入研究變得更加深?yuàn)W.多年來對(duì)于直覺模糊熵的公理化定義和公式被諸多學(xué)者所提出，由于當(dāng)時(shí)知識(shí)水平具有一定的局限性，這些定義和公式出現(xiàn)了各種各樣的不足而未能被廣泛推廣.在前人研究的基礎(chǔ)上，對(duì)已有公理化定義和公式進(jìn)行總結(jié)與修改，提出改進(jìn)的定義，同時(shí)利用數(shù)學(xué)中的正弦函數(shù)的概念提出新的公式，算例表明新的公式符合人們的認(rèn)知.