摘 要:新課改以來,理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法成為數(shù)學(xué)課的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn),盡管初中數(shù)學(xué)課本沒有獨(dú)立設(shè)置章節(jié)介紹數(shù)學(xué)思想方法,但化歸思想作為是初中數(shù)學(xué)比較重要的一種數(shù)學(xué)思想方法。初中數(shù)學(xué)教學(xué)廣泛應(yīng)用了化歸思想進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué),化歸思想解決問題的過程,實(shí)際是轉(zhuǎn)化的過程,即對(duì)問題進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化,直至把它化歸為某些已經(jīng)解決的問題,或容易解決的問題。如抽象轉(zhuǎn)化為具體,未知轉(zhuǎn)化為已知,立體轉(zhuǎn)化為平面,高次轉(zhuǎn)化為低次,多元轉(zhuǎn)化為一元,未知轉(zhuǎn)化為已知?;瘹w思想是一種用于解決問題并能把問題簡(jiǎn)化的思想方法。
關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué);劃歸思想;教學(xué)中的應(yīng)用
一、初中代數(shù)學(xué)習(xí)中化歸思想的應(yīng)用
在初中代數(shù)教學(xué)過程中,在遇到代數(shù)解方程的問題時(shí),一般學(xué)生容易因題干有些復(fù)雜或未知數(shù)比較多,導(dǎo)致不知從何下手,然而在初中代數(shù)學(xué)習(xí)過程中,大多知識(shí)之間都是相互關(guān)聯(lián)的,例如,小學(xué)數(shù)學(xué)的拓展是有理數(shù),而一元一次方程的拓展則是高次方程。故初中代數(shù)學(xué)習(xí)中,學(xué)生要有把新、舊知識(shí)相互聯(lián)系的意識(shí),通過這關(guān)聯(lián),不但能讓學(xué)生快速掌握好新知識(shí),同時(shí)還能借此鞏固舊知識(shí),打牢基礎(chǔ),了解和熟練應(yīng)用化歸思想。解方程組時(shí),學(xué)生可利用化歸思想把方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程,這樣就能快速解答題目,同時(shí)還可運(yùn)用化歸思想把方程組降次和消元,進(jìn)而轉(zhuǎn)化成學(xué)生容易處理的一般性問題。
例如已知:x+[1x]=3,求X4=-[1x4]的值。條件中是X的一次式,而求X的4次式,我們可以通過降次從結(jié)論向已知轉(zhuǎn)化;或從已知向結(jié)論升次轉(zhuǎn)化。像這樣當(dāng)遇到的數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)復(fù)雜,若用常規(guī)手法過程繁瑣,可以從其結(jié)構(gòu)人手,將結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,另辟解題途徑。
有了這種化歸思想方法的指引,學(xué)生在解方程的過程中就會(huì)尋找所給方程與目標(biāo)方程的差異,想辦法消除差異,達(dá)到化歸目標(biāo),從而簡(jiǎn)化方程,解決問題。
二、化歸思想在平面圖形知識(shí)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用
在平面圖形的學(xué)習(xí)和解題中,有很多問題都可以基于化歸思想予以解決,尤其是平面圖形知識(shí)中常見的計(jì)算、證明問題。例如可以對(duì)平面圖形添加輔助線,從而將不熟悉的知識(shí)轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí),把復(fù)雜或抽象的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、直觀的問題。我們可以把平行四邊形問題借助輔助線轉(zhuǎn)化為關(guān)于三角形的問題,例如,在教學(xué)矩形和菱形性質(zhì)的對(duì)比中也采用了化歸的思想。在矩形和菱形中各連一條對(duì)角線,學(xué)生很快就能發(fā)現(xiàn)矩形由四個(gè)小的等腰三角形組成,菱形由四個(gè)小的直角三角形組成。歸根到底矩形和菱形的性質(zhì)是由構(gòu)成它們的等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)決定的。更可以將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為若干個(gè)比較規(guī)則的圖形,輔助線是化歸思想運(yùn)用的一種具體技巧,類似的方法還有很多,都有助于化繁雜為簡(jiǎn)單,更快速地解決數(shù)學(xué)問題。
三、化歸思想在數(shù)形轉(zhuǎn)化問題中的應(yīng)用
化歸思想的中心在于事物間的關(guān)系來轉(zhuǎn)變演化,其實(shí)質(zhì)是用發(fā)展的觀點(diǎn)看問題,了解事物間的聯(lián)系或制約關(guān)系,將不熟悉的、難以解決的、抽象模糊的問題轉(zhuǎn)化為更為熟悉的、好解決的、具體明確的問題。
在數(shù)形轉(zhuǎn)化問題中,化歸思想的運(yùn)用也是解決問題的利器之一。數(shù)形轉(zhuǎn)化問題往往涉及圖形問題和函數(shù)、方程等問題,我們可以用作圖的方式解決代數(shù)問題,也可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題?;瘹w思想運(yùn)用的關(guān)鍵在于要通過轉(zhuǎn)化使問題變得更為簡(jiǎn)單、直觀,使問題得以簡(jiǎn)化更容易得出問題答案。
例如,正實(shí)數(shù)x、y、z、r滿足:①x2+y2=z2;②zx2-r2=x2,求證:xy=zr。想用代數(shù)方法轉(zhuǎn)化求證不太容易,但由①可聯(lián)想到直角三角形,實(shí)現(xiàn)了代數(shù)問題與幾何問題的轉(zhuǎn)化。由②聯(lián)想到射影定理,作斜邊上的高CD,得CD=r由三角形的面積得:xy=zr。
四、化歸思想在方程(組)與函數(shù)問題中的運(yùn)用
初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,方程、函數(shù)知識(shí)一直是重點(diǎn)內(nèi)容,化歸思想在這方面的運(yùn)用也是十分有效且廣泛的。
例1:已知x的函數(shù)y=(m+3)x2+2mx+l的圖像與x軸總有交點(diǎn),求m值的范圍。直接求解比較麻煩,也難以轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的圖形問題,我們便可以將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題,我們將這個(gè)函數(shù)問題根據(jù)函數(shù)與方程的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為y=0時(shí)x總有實(shí)數(shù)根,再求m值范圍,就可以很大程度上簡(jiǎn)化問題,通過解方程問題得出函數(shù)問題的解。
例2:如圖3-1-1,反比例函數(shù)y=-[8x]與一次函數(shù)y=-x+2的圖像交于A、B兩點(diǎn)。求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。
解:解方程組[y=-8xy=-x+2]
得[x1=4y1=-2;x2=-2y2=4]。
所以A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,4)B(4,-2)兩個(gè)函數(shù)的圖像相交,說明交點(diǎn)處的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),既適合于第一個(gè)函數(shù),又適合于第二個(gè)函數(shù),所以根據(jù)題意可以將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程組的問題,從而求出交點(diǎn)坐標(biāo).
綜上所述,新課程標(biāo)準(zhǔn)下初中數(shù)學(xué)教學(xué)要重視化歸思想這種數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。應(yīng)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行教學(xué),不但能發(fā)展思維,更促進(jìn)能力的不斷發(fā)展。因此,初中數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中,要注重?cái)?shù)學(xué)方法的滲透,不斷創(chuàng)新教學(xué)方式及內(nèi)容,將數(shù)學(xué)知識(shí)與化歸思想緊密結(jié)合,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
參考文獻(xiàn)
[1]王文昌.化歸思想方法訓(xùn)練淺談[J].內(nèi)蒙古教育,1996(04).
作者簡(jiǎn)介
萬麗,本科,二級(jí)教師,從教3年,研究方向:初中數(shù)學(xué)教學(xué)。
重要榮譽(yù):本文收錄到教育理論網(wǎng)。