李雨薇

【摘要】 函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，有效計算方法的習(xí)得，是實(shí)現(xiàn)函數(shù)極限計算的重要基礎(chǔ).本文立足夾逼準(zhǔn)則的認(rèn)識，闡述了夾逼法在函數(shù)極限計算中的常規(guī)應(yīng)用，就如何合理縮放，構(gòu)建準(zhǔn)則“條件”，做了具體闡述，以強(qiáng)化夾逼法在函數(shù)極限計算中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 函數(shù)極限;夾逼法;計算;實(shí)踐應(yīng)用

函數(shù)極限計算是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，也是難點(diǎn)所在.在實(shí)際學(xué)習(xí)中，強(qiáng)調(diào)計算技巧的有效掌握，提高函數(shù)極限計算的準(zhǔn)確性、簡便性.夾逼準(zhǔn)則是高等數(shù)學(xué)中運(yùn)用于函數(shù)極限計算的重要定理，對很多極限的計算，夾逼準(zhǔn)則可以起到事半功倍的效果.“化繁為簡”“一步到位”的計算效果，往往成為學(xué)生極限計算的重要策略.但如何巧用、妙用，是夾逼準(zhǔn)則應(yīng)用的關(guān)鍵所在.本文立足對夾逼準(zhǔn)則的研究，就如何有效應(yīng)用，做了如下具體闡述.

一、夾逼準(zhǔn)則及應(yīng)用

定理? 如果函數(shù)列{xn}，{yn}，{zn}滿足以下條件：

（1）yn≤xn≤zn（n=1，2，3，…）;

（2） lim n→∞ yn=lim n→∞ zn=a.

那么，函數(shù)列{xn}存在極限，且為 lim n→∞ xn=a.

對夾逼法準(zhǔn)則，現(xiàn)通過兩個例子進(jìn)行探討說明.

例1?? 求 lim n→∞ n? 1 n2+π + 1 n2+2π + 1 n2+3π +…+ 1 n2+nπ? .

分析? 該題看上去比較復(fù)雜，若采用常規(guī)的方法，顯然是無法計算求得極限.這時候，需要轉(zhuǎn)變思考方向，運(yùn)用夾逼法看是否可以求得.對n? 1 n2+nπ? 進(jìn)行縮放，看是否可以出現(xiàn)定理中的兩大條件.很顯然，對通項可以進(jìn)行縮放，構(gòu)建條件（1），這為夾逼法的應(yīng)用，創(chuàng)設(shè)了條件，要進(jìn)一步要求動手實(shí)踐，嘗試性求算.

解? 因為

n n+π ≤lim n→∞ n? 1 n2+π + 1 n2+2π + 1 n2+3π +…+ 1 n2+nπ? ≤ n2 n2+π ，

而 lim n→∞? n n+π =1，lim n→∞? n2 n2+π =1.

因此，運(yùn)用夾逼法，lim n→∞ n? 1 n2+π + 1 n2+2π + 1 n2+3π +…+ 1 n2+nπ? =1.

從上述例子可以看出，在運(yùn)用夾逼法求函數(shù)極限問題時，可以通過夾逼準(zhǔn)則的有效應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)快速地極限求算.對通項為無限項乘積或和的函數(shù)數(shù)列，可以通過合理的縮放，構(gòu)建夾逼準(zhǔn)則的兩大條件，適用夾逼法，獲得較好的計算效果.

二、夾逼法求解含有乘方或階乘形式的函數(shù)的極限

在對常規(guī)函數(shù)的極限求算中，夾逼法的應(yīng)用技巧比較單一，在于如何一目了然的縮放.但是，在含有乘方或階乘形式的函數(shù)的極限求算中，題型相對更加復(fù)雜，乘方函數(shù)的自變量n或包含在冪指數(shù)、根指數(shù)或者對數(shù)中，且有兩處出現(xiàn)該自變量，更加強(qiáng)調(diào)夾逼方法應(yīng)用的靈活性.（1+p）n的二次項展開：

（1+p）n=1+np+ n（n+1） 2 p2+…+pn.

在該類函數(shù)極限的計算中，可以對其進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s放，讓看似繁復(fù)的極限計算，從n或x中進(jìn)行有效解脫，運(yùn)用夾逼法有效計算其極限.這樣的計算思維，能夠獲得更好的計算效果.對很大一部分學(xué)生而言，含有乘方或階乘形式的函數(shù)的極限求算，十分考驗?zāi)芰?但關(guān)鍵還是需要靈活轉(zhuǎn)變，從知識的綜合應(yīng)用中，求得函數(shù)極限.

例2?? 證明 lim n→∞? an nk =+∞（a>1，k∈ N ）.

這道極限證明題，解題方法有多種，但夾逼法的應(yīng)用比較通俗明了，對提高證明效率有較好的作用.我們知道，對該題，我們只需要證明 lim n→∞? nk an =0（a>1，k∈ N ），將思考方向進(jìn)行轉(zhuǎn)換，為夾逼方法的應(yīng)用創(chuàng)造條件，也為縮放提供空間.

解? a=1+p（p>0），

則an=（1+p）n=1+np+…+ n（n-1）…（n-k） （k+1）！ pk+1，

因此，an> n（n-1）…（n-k） （k+1）！ pk+1，

因而，有

0≤ nk an < nk（k+1）！ n（n-1）（n-2）…（n-k）pk+1 < （k+1）！ pk+1 = （k+1）！ pk+1 ·? n n-k? k· 1 n .

此時，我們需要注意， （k+1）！ pk+1 是常數(shù)，并且還有 lim n→∞? 1 n =0，lim n→∞?? n n-k? k=1.因而，可以得出 lim n→∞? （k+1）！ pk+1 = （k+1）！ pk+1 ·?? n n-k? k· 1 n =0.

在此基礎(chǔ)之上，運(yùn)用夾逼方法，可以得：

求 lim n→∞? nk an =0，也就是 lim n→∞? an nk =+∞.

整個的證明過程十分平順，看似十分復(fù)雜的證明，在夾逼法的應(yīng)用中，實(shí)現(xiàn)了有效緩解，且成功證明的關(guān)鍵在于：（1）轉(zhuǎn)換思維方向，將 lim n→∞? an nk =+∞轉(zhuǎn)換為 lim n→∞? nk an =0的證明，為夾逼法的應(yīng)用，創(chuàng)設(shè)了前提條件;（2）善于抓住含有乘方或階乘形式的函數(shù)特點(diǎn)，通過合理的變式、轉(zhuǎn)換，逐漸向目標(biāo)極限值出發(fā)，實(shí)現(xiàn)有效極限計算.

總而言之，夾逼法是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要準(zhǔn)則，廣泛適用于函數(shù)極限的求算.在對函數(shù)極限求算中，要善于抓住“題目”特點(diǎn)，通過準(zhǔn)則條件的構(gòu)建，為夾逼法的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)條件，對快速求算極限，起到重要作用.在本文的探討中得出，科學(xué)有效的縮放，是夾逼法應(yīng)用的關(guān)鍵，要求把握縮放空間，在夾逼準(zhǔn)則的條件之下，求得函數(shù)極限.因此，夾逼法具有化繁為簡的良好效果，讓極限求算從繁雜的函數(shù)項中解脫出來，通過簡單函數(shù)的極限求算，獲得復(fù)雜函數(shù)極限值.

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