劉國鋒 蔣曉云 楊起群 鄺佰燕

【摘要】本文以《三角形內(nèi)角和定理的證明》一課為例，針對學生課后沒有真正理解邏輯規(guī)則的思維方式、背后的數(shù)學思想和數(shù)學證明本質(zhì)的現(xiàn)狀，論述優(yōu)化教學設計的途徑，提出通過“三段論”推理規(guī)則引導學生對證明過程進行分段分析的教學建議，以期提高學生分析證明、有序書寫的能力，進而逐步形成嚴密的邏輯思維。

【關(guān)鍵詞】《三角形內(nèi)角和定理的證明》 三段論 演繹推理 數(shù)學證明

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）01A-0032-04

在以“基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的初中數(shù)學課例研究”為主題的教學研討和展示平臺“寶賢課堂”上，劉國峰老師展示了《三角形內(nèi)角和定理的證明》一課。本課中“定理證明”的教學片段引導學生分析已知，讓學生在“拼一拼”中找到證明的思路，了解演繹推理規(guī)則中最常用、最重要的“三段論”，加深學生對邏輯推理的理解，提高邏輯推理能力。證明的過程應體現(xiàn)嚴格的邏輯推理論證，事實上學生這方面做得還不夠，往往是敘述性證明。通過課后訪談，我們發(fā)現(xiàn)學生并沒有真正理解邏輯規(guī)則的思維方式、背后的數(shù)學思想和數(shù)學證明的本質(zhì)。于是我們在課后對學生進行問卷調(diào)查和訪談的基礎(chǔ)上，對這個教學片段進行了反思，優(yōu)化了教學設計，劉國鋒老師指導漓江學院的實習教師鄺佰燕重新演繹了這一節(jié)課，取得了較好的效果。

一、“原行為”，真實錄

師：讓我們一起來思考“如何用我們所學過的知識來證明‘任意三角形的內(nèi)角和為180°”。首先用語言表述出來。

（學生回答，教師板書——已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°）

師：分析已知和求證之間的關(guān)聯(lián)，聯(lián)系我們已經(jīng)學過的知識，有哪些可能用得上，大膽猜想和嘗試。大家不難想到我們熟悉的“平行線的性質(zhì)”，結(jié)合之前的同學到講臺拼的兩個拼圖，得到一些啟發(fā)（見圖1）。

（經(jīng)過教師的引導，學生把圖1中的兩個圖形抽象出來得到了兩種畫輔助線的方法，見圖2）

師：用數(shù)學符號語言將推理過程寫出來如下。

證明：（如圖3）延長BC到D，過點C作CE∥AB

∴∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∠2=∠B（兩直線平行，同位角相等）

∵∠BCA+∠1+∠2=180°（平角的定義）

∴∠BCA+∠A+∠B=180°（等量代換）

師：同學們，大家看得懂我寫的這個推理過程嗎？

生（齊聲）：看得懂。

師：這個推理過程其實隱含著邏輯推理的一種重要規(guī)則，這種規(guī)則是中學數(shù)學最常用的推理方法，叫三段論。三段論必定包含大前提、小前提和結(jié)論三部分，以上面的證明過程為例，“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是大前提，“CE∥AB，∠1和∠A是內(nèi)錯角”是小前提，“∠1=∠A”是結(jié)論。但是，在書寫幾何邏輯推理過程時，為了簡潔明了，我們通常把“大前提”以理由（備注）形式寫在“結(jié)論”的后面。所以才有了上面簡潔的推理過程。

二、“微調(diào)查”，尋癥結(jié)

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）對核心素養(yǎng)“推理能力”作了如下要求（見下表）。它將《全日制義務教育數(shù)學課程標準》（實驗稿）提出的“發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”的要求刪去“初步”二字，提高了對“演繹推理能力”的要求，又因為“邏輯推理”被列為六大數(shù)學核心素養(yǎng)之一，因此，初中階段培養(yǎng)“推理能力”的核心目標是培養(yǎng)學生的演繹推理能力。

“推理能力”課程目標學段分布表

本課中的“數(shù)學證明”教學片段，引導學生分析已知，讓學生在“拼一拼”中找到證明的思路，體會通過合情推理探索數(shù)學結(jié)論、運用演繹推理加以證明的過程。同時也讓學生了解演繹推理規(guī)則中最常用、最重要的“三段論”，加深學生對邏輯推理的理解，提高學生的邏輯推理能力。

課后，我們及時開展現(xiàn)場限時問卷調(diào)查，調(diào)查對象為課堂上的八年級學生，問卷內(nèi)容如下。

問題1：推理過程“因為一切奇數(shù)都不能被2整除，2007是奇數(shù)，所以2007不能被2整除”是必然推理（或有效推理，即前提為真時就能確保結(jié)論一定為真）嗎？它與課堂上推理過程（如圖3）“延長BC到D，過點C作CE∥AB，∴∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）”的推理形式（或者“規(guī)則”）相同嗎？為什么？

問題2：亞里士多德所創(chuàng)立的古典邏輯體系的主要內(nèi)容是三段論，最經(jīng)典、最著名、最標準的“三段論”推理案例如下。

大前提：所有的人都會死，

小前提：蘇格拉底是人，

結(jié)論：蘇格拉底也會死。

問：（1）說一說，上述推理案例是必然推理（或有效推理）嗎？

（2）課堂上的推理過程“延長BC到D，過點C作CE∥AB，∴∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）”是“三段論”的推理形式，請寫出亞里士多德式的“三段論”推理格式。

問題3：如圖4，已知△ABC，過A作輔助線AD∥BC，

求證：∠A+∠B+∠C=180°

請寫出完整的證明過程。

問題4：如圖5，已知在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，

∠ABE=∠CBE，∠ADF=∠CDF，

求證：（1）∠ABE+∠CDF=90°;

（2）BE∥DF.

問題1學生做題的正確率為28%，問題2學生做題的正確率為16%，說明學生并沒有真正理解“三段論”的邏輯規(guī)則的表達形式、正確有效性、思維方式和數(shù)學思想。問題3學生做題的正確率達到86%，說明學生能模仿教師的寫書過程，甚至能舉一反三，學生對模仿書寫證明過程掌握得較好。問題4學生做題的正確率為68%，說明學生是會做這道題的，按平時考試的評分標準，得分率還是比較高的，但是邏輯結(jié)構(gòu)和書寫步驟混亂，說明多數(shù)學生未能把握證明題的條理性和規(guī)范性。

數(shù)學證明就是由已知（前提），通過有效推理，得出有效的結(jié)論。因此，數(shù)學證明的教學核心是教學生演繹規(guī)則（有效推理規(guī)則）。本課的重點就是用“三段論”的演繹推理規(guī)則來證明“三角形內(nèi)角和定理”，它屬于邏輯思維中最“燒腦”的一環(huán)，對部分初中生而言，這部分知識又是學習中的難點。

三、循“規(guī)則”，明道理

初中階段培養(yǎng)“推理能力”的核心目標是培養(yǎng)學生演繹推理能力?！读x務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）對演繹推理定義如下：“演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。”推理是邏輯思維的基本形式之一：由一個或幾個已知的判斷（前提）推出新判斷（結(jié)論）的過程——設A1，A2，……，Ak是幾個已知的判斷（前提），判斷B（結(jié)論）。當A1，A2，……Ak都為真時，B也為真，則稱由前提A1，A2，……，Ak推B的推理有效或推理正確，并稱B是有效的結(jié)論。

演繹推理有三段論、假言推理、選言推理、關(guān)系推理等形式。小學二年級數(shù)學《推理》一課就教給學生“選言推理”，這是一個有效的邏輯推理規(guī)則。初中數(shù)學教師應該明明白白告訴學生亞里士多德所創(chuàng)立的古典邏輯體系的最重要“三段論”規(guī)則是必然推理。據(jù)此，我們優(yōu)化了“證明過程的分析與表述”片段的教學設計。

（一）學生在生活情境和已有知識中感悟“三段論”

亞里士多德所創(chuàng)立的古典邏輯體系中的最重要的“三段論”推理規(guī)則，是人類最基本的邏輯推理方法。教師首先帶領(lǐng)學生看一些最典型、最標準的“三段論”推理案例。

案例一 大前提：所有的人都會死;

小前提：蘇格拉底是人;

結(jié) 論：蘇格拉底會死。

案例二 大前提：所有的金屬都能導電;

小前提：銅是一種金屬;

結(jié) 論：銅能導電。

案例三 大前提：一切奇數(shù)都不能被2整除;

小前提：2007是奇數(shù);

結(jié) 論：2007不能被2整除。

案例四 大前提：所有個位上是0的整數(shù)都是5的倍數(shù);

小前提：1050個位上的數(shù)是0;

結(jié) 論：1050是5的倍數(shù)。

隨后，教師為學生講解三段論的相關(guān)知識。三段論是演繹推理的一般模式，它包含大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情況，結(jié)論——根據(jù)一般原理對特殊情況做出的判斷。三段論蘊含著“從一般到特殊”的推理思想。事物有共性，必然蘊藏著個別，所以“一般”中必然能夠推演出“個別”。因此，若大前提和小前提正確，則演繹推理得到的結(jié)論一定正確。而三段論推演出來的結(jié)論是否正確，取決于大前提和小前提是否正確、是否合乎三段論邏輯規(guī)則。

（二）劃分邏輯推理段，循規(guī)、守則、明理

[已知：△ABC（如右圖）.

求證：∠A+∠B+∠C=180°.

證明：如圖6，過點A作直線l，使l∥BC.

∵l∥BC，

∴∠2=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

同理 ∠3=∠5.

∵∠1，∠4，∠5組成平角，

∴∠1+∠4+∠5=180°（平角定義）.

∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）.

以上我們就證明了任意一個三角形的內(nèi)角和都等于180°，得到如下定理：

教師出示課本上的證明過程（如圖6）并引導學生，教學片段如下。

師：證明過程是由若干個推理組成的，每個推理過程，我們將它看成“一段”，下面我們將課本上的證明過程劃分為四個邏輯推理段進行分析。

1.第一段推出結(jié)論：∠2=∠4

（大前提：任意兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等;小前提：l∥BC且被AB所截，∠2和∠4是同位角;結(jié)論：∠2=∠4）

師：從思維過程來看，任何三段論都必須包含大、小前提和結(jié)論，缺一不可。但是，在具體的語言表述中，無論是口頭表述還是書寫證明過程，為了簡潔明了，我們常常把三段論中的某些部分省去不說，或是大前提，或是小前提。我們從圖中可以得出小前提是“l(fā)∥BC且被AB所截，∠2和∠4是同位角”，把“大前提”以備注形式寫在“結(jié)論”的后面，于是才有了課本上的簡潔的表述，你看懂了嗎？

2.第二段推出結(jié)論：∠3=∠5

師：第二段推理得出的結(jié)論是“∠3=∠5”，請同學們自己寫出亞里士多德式的“三段論”推理格式，并簡化。

3.第三段推出結(jié)論：∠1+∠4+∠5=180°

（大前提：所有的平角都是180°;小前提：∠1，∠4，∠5組成的“和角”是平角;結(jié)論：∠1+∠4+∠5=180°）

師：第三段推理的簡潔表達如圖所示，∵∠1，∠4，∠5組成平角。∴∠1+∠4+∠5=180°（平角的定義）。

4.第四段推出結(jié)論：∠1+∠2+∠3=180°

[大前提：所有的等式，它里面的數(shù)（量）用相等的數(shù)（量）來代替，它仍為等式（等量代換）;小前提：∠1+∠4+∠5=180°，∠2=∠4，∠3=∠5;結(jié)論：∠1+∠2+∠3=180°]

師：第四段推理得出的結(jié)論是∠1+∠2+∠3=180°，簡潔表達為∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）。

師：把這四個邏輯推理片段整合寫在一起就是課本上的證明過程，同學們讀懂了嗎？下面同學們自己寫出用另一種添輔助線的方法證明這一結(jié)論的過程。

師：證明思路明確以后，證明是否正確，就看每一個邏輯推理過程是否為“有效推理”（或演繹推理）。請同學們采取“逐段分析推理過程”的方法，看看你的證明是否正確。

（三）學會書寫證明并自我分段診斷

[教師再次出示問題四并將其作為練習，“四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線。求證：（1）∠1+∠2=90°;（2）BE∥DF”，學生自主解答、教師巡堂，隨后教師進行講解]

師：我們來看看這名同學證明第（1）問的過程（展示圖7）。他的證明過程中沒寫理由，我們?nèi)杂弥鸲畏治鐾评淼姆椒◣退治鲈\斷一下。

師：上面的第①②句作為一個邏輯推理段，怎樣表達？

生1：大前提——角平分線將角平分為兩個相等的角（角平分線的定義），小前提——BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線（已知），結(jié)論——∠1=∠3=[12]∠ABC，∠2=∠4=[12]∠ADC。

生2：簡潔表達是，∵BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線（已知），∴∠1=∠3=[12]∠ABC，∠2=∠4=[12]∠ADC（角平分線的定義）

生3：第④句作為一個邏輯推理段的結(jié)論，明顯使用了四邊形內(nèi)角和公式。大前提——所有四邊形內(nèi)角和為360°（公式），小前提——圖形ABCD是四邊形（已知），結(jié)論——∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，簡潔表達是，在四邊形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°（四邊形內(nèi)角和公式）。

師：同學們說得非常好！完整的證明過程應該是這樣的（出示圖8）。

（四）課后小結(jié)

教師在課堂的最后帶領(lǐng)學生進行課堂小結(jié)，總結(jié)處理幾何證明題目的關(guān)鍵步驟如下。

（1）分析“已知”和“求證”，兩邊推進，尋找思路;

（2）羅列證明中關(guān)鍵的邏輯節(jié)點，思考以哪些已有的事實 （包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）為前提，用什么樣的演繹推理規(guī)則;

（3）復查推理過程：前提是否真確，是否合乎演繹的邏輯規(guī)則，書寫時做到理由充分、簡潔表達。

研究者事后對學生進行了訪談，結(jié)果表明：新的教學設計對提高學生的分析證明、自我診斷證明過程、快速地從別人的證明中識別出無效推理、分段組合及有序書寫證明過程的能力有明顯的幫助。

作者簡介：

劉國鋒（1981— ），男，漢族，廣西博白人，中學一級教師，2006年至今在廣西師范大學附屬中學寶賢中學擔任班主任和數(shù)學教學工作，教學成績突出，研究方向：中學數(shù)學教育。

蔣曉云（1963— ），男，漢族，廣西全州人，桂林師范高等?？茖W校教授，理學學士，研究方向：數(shù)學教育和基礎(chǔ)教育。

楊起群（1970— ），女，漢族，湖南雙峰人，桂林師范高等專科學校教授，理學學士，研究方向：數(shù)學教育和教育管理。

鄺佰燕（1997— ），女，漢族，廣西欽州人，廣西師范大學漓江學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)學生。