王慧玲

江漢油田廣華中學(xué) 湖北潛江 433124

在立體幾何中有一個(gè)問(wèn)題：“3個(gè)相互平行的平面可將空間分成幾部分？”答案是“4個(gè)部分?！苯又岢觯骸?個(gè)平面可將空間分成幾部分？”的問(wèn)題，由于去掉了“相互平行”的條件，這個(gè)問(wèn)題必須分類討論回答：

1.當(dāng)3個(gè)平面相互平行時(shí)，分空間為4個(gè)部分；

2.當(dāng)有且僅有兩個(gè)平面平行時(shí)，分空間為6個(gè)部分；

3.當(dāng)3個(gè)平面兩兩相交于一條直線時(shí)，分空間為6個(gè)部分；

4.當(dāng)3個(gè)平面兩兩相交，3條交線不交于同一點(diǎn)時(shí)，分空間為7個(gè)部分；

5.當(dāng)3個(gè)平面兩兩相交，3條交線交于一點(diǎn)時(shí)，分空間為8個(gè)部分。

于是我們得出“3個(gè)平面最多可將空間分為8個(gè)部分”的結(jié)論。在這一背景下，提出了值得深入研究的新課題：“4個(gè)平面最多可將空間分為多少部分？n個(gè)平面又將空間最多分成多少部分？”

首先應(yīng)明確，當(dāng)這n個(gè)平面滿足以下條件時(shí)，所分割的部分?jǐn)?shù)是最多的。

1.這n個(gè)平面兩兩相交；

2.沒(méi)有三個(gè)以上的平面交于一點(diǎn)；

3.這n個(gè)平面的交線任兩條都不平行。

對(duì)于一般情況一下子不易考慮，我們不妨試著從簡(jiǎn)單的，特殊的情況入手來(lái)尋找規(guī)律。設(shè)n個(gè)平面分空間的部分?jǐn)?shù)為an，易知：

當(dāng)n=1時(shí)，a1=2；

當(dāng)n=2時(shí)，a2=4；

當(dāng)n=3時(shí)，a3=8；

當(dāng)n=4時(shí)，情況有些復(fù)雜，我們以一個(gè)四面體為模型來(lái)觀察，三棱錐的4個(gè)面延展后就成了4個(gè)平面兩兩相交，且交線互不平行，每3個(gè)平面相交于一點(diǎn)，4個(gè)交點(diǎn)就是三棱錐的4個(gè)頂點(diǎn)。每個(gè)頂點(diǎn)各自“對(duì)著”一部分空間，4個(gè)頂點(diǎn)，6條棱，4個(gè)面“對(duì)著”14個(gè)部分空間，但4個(gè)面中間圍了一部分空間，所以4個(gè)平面最多可將空間分成15個(gè)部分?？芍猘4=15。

從以上幾種情況，很難找出一個(gè)一般性的規(guī)律，而且當(dāng)n的值繼續(xù)增大時(shí)，情況更復(fù)雜，看來(lái)這樣不行。那么，我們把問(wèn)題再進(jìn)一步簡(jiǎn)單化，將空間問(wèn)題退化到平面問(wèn)題，三維退化到二維，二維退化到一維。

一、n個(gè)點(diǎn)最多可將一條直線分割成多少個(gè)部分

記n個(gè)點(diǎn)最多可將一條直線分成部分?jǐn)?shù)為cn，易知，且每增加一個(gè)點(diǎn)，會(huì)把原有的線段（射線）中的某一個(gè)線段（射線）一分為二，即

二、n條直線最多可將平面分割成多少個(gè)部分

假設(shè)這n條直線中，任兩條不平行，任三條不交于同一點(diǎn)，設(shè)n條直線最多可將平面分割成 個(gè)部分，那么：

當(dāng)n=k時(shí)，設(shè)k條直線將平面分成了bk個(gè)部分，接著當(dāng)添加上第k+1條直線時(shí)，這條直線與前k條直線相交有k個(gè)交點(diǎn)，這k個(gè)交點(diǎn)將第k+1條直線分割成k+1段，而每一段將它所在的區(qū)域一分為二，從而增加了k+1個(gè)區(qū)域，故得遞推關(guān)系

顯然當(dāng)k=1時(shí)， ，當(dāng)k=1，2，……n-1時(shí)，我們得到個(gè)式子：

我們來(lái)歸納一下解決這個(gè)問(wèn)題的思路：從簡(jiǎn)單情形入手，確定bk與bk+1的遞推關(guān)系，最后得出結(jié)論。接下來(lái)我們回到原問(wèn)題，用剛才的思路來(lái)解決空間的問(wèn)題。

三、n個(gè)平面最多可將空間分割成多少個(gè)部分

設(shè)k個(gè)平面將空間分割成ak個(gè)部分，再添加上第k+1個(gè)平面，這個(gè)平面與前k個(gè)平面相交有k條交線，這k條交線，任意三條不共點(diǎn)，任意兩條不平行，因此這第k+1個(gè)平面就被這k條直線分割成bk個(gè)部分。

而這個(gè)bk部分平面中的每一個(gè)，都把它所通過(guò)的那一部分空間分割成兩個(gè)較小的空間。所以，添加上這第k+1個(gè)平面后就把原有的空間數(shù)增加了bk個(gè)部分。由此的遞推關(guān)系

當(dāng)k=1，2，3……n-1時(shí)，我們得到如下n-1個(gè)關(guān)系式：