童衛(wèi)華

[摘? 要] 數(shù)學(xué)好題要有利于學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生不僅掌握知識(shí)的運(yùn)用，又洞悉知識(shí)的產(chǎn)生;有利于溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，完成知識(shí)重組，完善知識(shí)體系;有利于優(yōu)化思維品質(zhì)，提升理解層次，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu).

[關(guān)鍵詞] 通性通法;解題方法;試題賞析;核心概念

試題呈現(xiàn)

（2018年杭州卷第22題）設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx-（a+b）（a，b是常數(shù)，a≠0）.

（1）判斷該二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，說(shuō)明理由.

（2）若該二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A（-1， 4），B（0，-1），C（1，1）三個(gè)點(diǎn)中的其中兩個(gè)點(diǎn)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式.

（3）若a+b<0，點(diǎn)P（2，m）（m>0）在該二次函數(shù)圖像上，求證：a>0.

解法賞析

1. 關(guān)于第（1）問(wèn)的解題方法

解法1：公式法（常規(guī)方法）. 當(dāng)y=0時(shí)，ax2+bx-（a+b）=0（a≠0），因?yàn)棣?b2-4a[-（a+b）]=（b+2a）2，所以當(dāng)b+2a=0時(shí)，即Δ=0，函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b+2a≠0時(shí)，即Δ>0，函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

解法2：因式分解法（十字相乘法）. 當(dāng)y=0時(shí)，ax2+bx-（a+b）=0（a≠0），將方程利用十字相乘法分解得（x-1）（ax+a+b）=0，所以x=1，x=-. 當(dāng)b=-2a時(shí)，x=1，此時(shí)x=x=1，函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b≠-2a時(shí)，x≠1，此時(shí)x≠x，函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

解法3：因式分解法（分組分解法）. 當(dāng)y=0時(shí)，ax2+bx-（a+b）=0（a≠0），將方程左邊拆解，分組ax2+bx-（a+b）=（ax2-a）+（bx-b）=（x-1）（ax+a+b），所以（x-1）·（ax+a+b）=0，方程的解為x=1，x=-. 接下來(lái)同解法2.

解法4：觀察函數(shù)解析式的系數(shù)特點(diǎn)，常數(shù)項(xiàng)是-（a+b），與二次項(xiàng)系數(shù)a，一次項(xiàng)系數(shù)b的和恰好互為相反數(shù)，所以猜測(cè)函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，當(dāng)把x=1代入函數(shù)解析式時(shí)，發(fā)現(xiàn)y=a+b-（a+b）=0，即不論a，b取何值，函數(shù)都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)E（1，0）. 然后根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性，當(dāng)對(duì)稱軸直線x=-≠1，即b+2a≠0時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn);當(dāng)對(duì)稱軸直線x=-=1，即b+2a=0時(shí)，函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).

2. 關(guān)于第（2）問(wèn)的解題方法

解法1：由（1）問(wèn)的解法2，3，4可知，函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn)E（1，0），所以函數(shù)圖像不可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，1），因此函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)A（-1，4），B（0，-1）兩點(diǎn)，從而a-b-（a+b）=4，

-（a+b）=-1， 解方程組得a=3，

b=-2， 所以函數(shù)解析式為y=3x2-2x-1.

解法2：當(dāng)學(xué)生沒(méi)有發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，0），就不能直接排除點(diǎn)C（1，1），這樣學(xué)生只能分類討論，分別把點(diǎn)A與點(diǎn)B、點(diǎn)A與點(diǎn)C、點(diǎn)B與點(diǎn)C這三組點(diǎn)分別代入二次函數(shù)求解析式. 在解方程組時(shí)，發(fā)現(xiàn)a+b-a-b=1即0=1不合理，檢查后發(fā)現(xiàn)原因， C點(diǎn)在函數(shù)圖像上這個(gè)假設(shè)不成立，應(yīng)舍去. 所以只有將點(diǎn)A（1，4）和B（0，-1）代入時(shí)能求解，接下來(lái)同解法1.

3. 關(guān)于第（3）問(wèn)的解題方法

點(diǎn)P（2，m）（m>0）在圖像上，所以m=a×22+b×2-（a+b）=3a+b>0①，結(jié)合條件a+b<0②，有以下解法.

解法1：①-②得（3a+b）-（a+b）>0，所以a>0.

解法2：利用字母b“中轉(zhuǎn)”，分別由①②可得3a>-b，a<-b，利用不等式傳遞性可得3a>-b>a，可得2a>0，所以a>0.

解法3：利用字母m“換元”，由①得b=m-3a③，把③代入②可得a+（m-3a）<0，從而2a>m>0，所以a>0.

解法4：結(jié)合函數(shù)圖像，利用函數(shù)單調(diào)性判斷. 由第（1）小題的解法2，3，4可知函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn)E（1，0），點(diǎn)P（2，m）（m>0），將條件a+b<0，轉(zhuǎn)化為圖像與縱軸的交點(diǎn)D（0，-a-b），這三個(gè)點(diǎn)分別在x軸的正半軸上，第一象限，y軸的正半軸上，大致位置如圖1所示.

假設(shè)當(dāng)a<0時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)D（0，-a-b），E（1，0）兩點(diǎn)時(shí)，如圖2，圖像不經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，因?yàn)楦鶕?jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)自變量x增大時(shí)，函數(shù)值變小，即當(dāng)x=2，函數(shù)值為負(fù)數(shù)，所以不可能經(jīng)過(guò)P點(diǎn). 同理，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)E（1，0），P（2，m）兩點(diǎn)時(shí)，如圖3，圖像不經(jīng)過(guò)D點(diǎn). 當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)D（0，-a-b），P（2，m）兩點(diǎn)時(shí)，如圖4，圖像不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)E，綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，拋物線不可能同時(shí)經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)，以退為進(jìn)，排除可能性. 而當(dāng)a>0時(shí)，拋物線可以同時(shí)經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)，如圖5，所以a>0成立.

個(gè)性解讀

1. 聚焦重點(diǎn)內(nèi)容，核心素養(yǎng)的考查

試題設(shè)計(jì)聚焦初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容“二次函數(shù)”，考查了函數(shù)研究的基本方面：求解函數(shù)解析式，函數(shù)圖像，涉及圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（圖像上的特殊點(diǎn)），圖像的位置與函數(shù)解析式中系數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的性質(zhì). 在問(wèn)題解決的過(guò)程中，考查了運(yùn)算能力，推理能力，模型思想. 其中試題第（1）問(wèn)側(cè)重運(yùn)算素養(yǎng)的考查，具體解決方法為兩種方案，方案一：定性分析，計(jì)算Δ，然后比較Δ與0的大小關(guān)系. 方案二：定量刻畫(huà)，直接求解方程，不僅回答了交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，還解決交點(diǎn)在哪里. 試題的第（2）問(wèn)，在考查運(yùn)算素養(yǎng)的同時(shí)，蘊(yùn)含了邏輯推理能力的考查，C（1，1）這個(gè)點(diǎn)不在函數(shù)圖像上，要求學(xué)生對(duì)“不合理的等式”能做出正確的判斷. 第（3）問(wèn)側(cè)重邏輯推理能力的考查，在條件“a+b<0”和“點(diǎn)P（2，m）（m>0）在該二次函數(shù)圖像上”的靈活處理中，嘗試用不同的方法表述論證的過(guò)程，掌握數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)推理.

2. 突出通性通法，思維層次的表達(dá)

試題中每一小問(wèn)的解決反映了數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的通性通法，如第（1）問(wèn)求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，只需轉(zhuǎn)化成求一元二次方程解的個(gè)數(shù)來(lái)解決;第（2）題求二次函數(shù)的解析式中待定系數(shù)a，b，只需將圖像上的兩個(gè)已知點(diǎn)代入列方程組求解;第（3）題要求證“a>0”，可以借助不等式求解. 在具體的解答過(guò)程中，解法的多樣性、靈活性和創(chuàng)造性適合不同層次、不同思維品質(zhì)的學(xué)生需求. 如第（1）小題的解法2、解法3、解法4就體現(xiàn)了創(chuàng)新性，利用系數(shù)特點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，開(kāi)創(chuàng)性地解決了問(wèn)題，體現(xiàn)了創(chuàng)新意識(shí). 第（2）題中的解法1和解法2實(shí)際上是同一種方法，但用解法1更能體現(xiàn)學(xué)生的整體意識(shí). 第（3）題中的解法1、解法2、解法3都用到了不等式的知識(shí)，但是解法1用到了“a+b<0”這個(gè)整體，體現(xiàn)整體思想;解法2利用“b”中轉(zhuǎn)，運(yùn)用不等式的傳遞性，得到3a>-b>a;解法3利用“m”換元，結(jié)合“m>0”這個(gè)隱含條件，得到了2a>m>0，使不同學(xué)生的不同思維方式得以展示，不同的數(shù)學(xué)思想（整體思想、換元思想、類比思想）得以體現(xiàn).

3. 關(guān)注問(wèn)題結(jié)構(gòu)，整體思想的把握

試題中有三小問(wèn)，表面上看第（1）問(wèn)，函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，第（2）問(wèn)，求函數(shù)解析式，第（3）問(wèn)，證明a>0. 這三小問(wèn)，分屬于函數(shù)研究的三個(gè)方面，每個(gè)方面都對(duì)應(yīng)著各自的通法. 但是這三個(gè)方面都是函數(shù)圖像的一個(gè)方面，是函數(shù)圖像的一個(gè)局部，因此我們可以將這三個(gè)問(wèn)題當(dāng)成一個(gè)整體，嘗試?yán)脠D像法來(lái)解決問(wèn)題. 有了這個(gè)想法后，再審視題干，二次函數(shù)y=ax2+bx-（a+b）（a，b是常數(shù)，a≠0），只能從系數(shù)特點(diǎn)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)它的不變性：過(guò)定點(diǎn)E（1，0）. 所以在解決本題的三個(gè)小問(wèn)時(shí)都可以從這個(gè)隱含條件出發(fā)，于是第（1）題就有了解法4：利用函數(shù)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像的對(duì)稱性. 在第（2）題的解題過(guò)程中，既然發(fā)現(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（1，0），就排除過(guò)點(diǎn)（1，1），直接用解法1. 在第（3）題的解題過(guò)程中，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了過(guò)定點(diǎn)（1，0）這個(gè)隱含條件，結(jié)合題目中的兩個(gè)條件：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，m）（m>0）和a+b<0，就可以利用圖像法，數(shù)形結(jié)合，直觀地解決問(wèn)題. 使學(xué)生深深體會(huì)到“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”以及“數(shù)形結(jié)合真奇妙”.

教學(xué)啟示

1. 課堂教學(xué)時(shí)要注重?cái)?shù)學(xué)素養(yǎng)的落實(shí)

初中數(shù)學(xué)素養(yǎng)可以理解成由以下“十個(gè)核心概念”組成：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

在課堂教學(xué)時(shí)不僅要加強(qiáng)常規(guī)形代數(shù)式的化簡(jiǎn)、變形教學(xué)，使同學(xué)們掌握計(jì)算原理，同時(shí)更應(yīng)加強(qiáng)關(guān)于x的代數(shù)式的化簡(jiǎn)、變形，如將代數(shù)式ax2+bx-（a+b）因式分解. 關(guān)于x的方程的求解，如ax2+bx-（a+b）=0（a≠0）（方程的解是一個(gè)代數(shù)式），字母x可以是一個(gè)數(shù)，如x=1，可以是整式，如x=a，也可以是代數(shù)式，如x=-，x=能促使學(xué)生較深刻地理解代數(shù)式，理解方程的解，實(shí)現(xiàn)從數(shù)字到字母，從算術(shù)到代數(shù)，從具體到抽象的跨越，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.

2. 習(xí)題講解時(shí)要注重解題思路的提煉

習(xí)題的講解不僅要解決問(wèn)題，更應(yīng)關(guān)注解法的由來(lái). 你是怎么想到的？除了這種想法外還有別的想法嗎？這些想法的區(qū)別和聯(lián)系又是什么？能運(yùn)用到別的問(wèn)題中嗎？關(guān)注習(xí)題中各小問(wèn)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，它們之間的區(qū)別和聯(lián)系在哪里？如文中的第（2）問(wèn)與第（3）問(wèn)，第（2）問(wèn)解決的是方程求解問(wèn)題，它通常的解題思路是什么？是消元，變二元為一元. 依據(jù)是什么？是等式的性質(zhì). 在解題時(shí)，通常還要用到整體思想，那么根據(jù)此想法，結(jié)合第（2）問(wèn)分析第（3）問(wèn)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)第（3）問(wèn)的解法就會(huì)顯得“順理成章”，解二元一次方程的思路、解法、思想方法，就會(huì)順勢(shì)遷移到解二元一次不等式組上來(lái).

3. 單元復(fù)習(xí)時(shí)要注重整體觀念的把握

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是通過(guò)單元教學(xué)來(lái)落實(shí)的，單元的復(fù)習(xí)教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的夯實(shí)、解題方法的提煉、數(shù)學(xué)思想的體會(huì)起著重大作用. 因此在復(fù)習(xí)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生從整體出發(fā)，分析該單元的核心內(nèi)容和核心方法，以形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化、結(jié)構(gòu)化，防止知識(shí)的碎片化.

如“二次函數(shù)”這一章，我們更應(yīng)把函數(shù)的圖像看成一個(gè)載體，利用這個(gè)載體將二次函數(shù)的核心內(nèi)容整合在一起. 本題中的（3）小問(wèn)，既可以單獨(dú)利用通法求解，也可以利用挖掘出的共性，利用圖像法“一解到底”. 用一題多解的方式，從不同的角度復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)，注重知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別，方法的類比和遷移，從多角度比較解題方法，能提升學(xué)生的整體觀念，并在新情境下得到新的體驗(yàn)，學(xué)到新的解題方法，形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu).