【摘 要】核心知識是指蘊含同一個基本的、反映學(xué)科本質(zhì)特征的主要內(nèi)容或關(guān)鍵內(nèi)容，抓住核心知識而教有助于發(fā)展學(xué)生的學(xué)科關(guān)鍵能力。教師從教材內(nèi)容解讀、學(xué)科思維方式、教與學(xué)的方式等方面探尋把數(shù)學(xué)抽象能力、推理能力有機融合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的策略，將有助于學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中積淀理性精神之核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】學(xué)科關(guān)鍵能力；核心知識；抽象能力；推理能力；核心素養(yǎng)

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2019）01-0037-05

【作者簡介】劉曉萍，江蘇省蘇州市教育科學(xué)研究院（江蘇蘇州，215004）數(shù)學(xué)教研員，高級教師，蘇州市優(yōu)秀教育工作者。

美國“21世紀(jì)學(xué)習(xí)框架”指出，21世紀(jì)的教育要建立在核心知識基礎(chǔ)之上。這里的核心知識不是指一個個零散的知識點，而是指蘊含同一個基本的、反映學(xué)科本質(zhì)特征的主要內(nèi)容或關(guān)鍵內(nèi)容，這些本質(zhì)特征往往能反映共同的學(xué)科學(xué)習(xí)方法、學(xué)科觀念和思維方式等，是一組內(nèi)容或一類內(nèi)容組成的知識群，指向人的精神、思想情感、思維方式以及價值觀的生成與提升，其目的在于讓學(xué)生像學(xué)科專家那樣去思考。2017年11月，教育部印發(fā)的《中小學(xué)幼兒園教師培訓(xùn)課程指導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)（義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)）》將小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容歸納為8個方面，即數(shù)與符號的認(rèn)識、數(shù)的運算、數(shù)量關(guān)系、圖形的認(rèn)識與測量、圖形的運動與位置、數(shù)據(jù)收集、整理與表達(dá)、隨機事件與可能性、綜合與實踐等。

關(guān)鍵能力是一個比知識和技能包含范圍更廣的假設(shè)結(jié)構(gòu)。作為一個心理學(xué)術(shù)語，它是指潛在于個體身上并通過學(xué)習(xí)活動表現(xiàn)出來的個體關(guān)鍵特征，表現(xiàn)為學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用至關(guān)重要的能力。按照教育部印發(fā)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的界定，數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力可劃分為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析。

本文從小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識的視角解讀小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)內(nèi)容，在發(fā)展學(xué)生學(xué)科關(guān)鍵能力的框架下，從教材內(nèi)容解讀、學(xué)科思維方式、教與學(xué)的方式等方面進(jìn)行探尋，試圖研究與把握每一類核心內(nèi)容教學(xué)中的一些共同要素，挖掘其中蘊含的數(shù)學(xué)思想與方法，以期用有效的策略與方法引導(dǎo)學(xué)生探索、思考、理解其內(nèi)容本質(zhì)，進(jìn)而發(fā)展他們的核心素養(yǎng)。

一、高觀點：分析內(nèi)容的地位與價值

數(shù)學(xué)核心知識在學(xué)科本質(zhì)與學(xué)習(xí)價值方面有共同的追求。例如：“圖形的認(rèn)識”是一類具有共同本質(zhì)特征的內(nèi)容，包括圖形構(gòu)成要素、立體圖形、平面圖形等的認(rèn)識。作為核心知識，其學(xué)習(xí)價值在哪里呢？

首先，學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容可以幫助學(xué)生更好地了解和描述他們生存的空間，提高其分析和解決相關(guān)實際問題的能力；其次，小學(xué)階段立體和平面這些基本圖形的認(rèn)識，是學(xué)生以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)論證幾何必不可少的基礎(chǔ)，也能為其學(xué)習(xí)物理、地理等其他學(xué)科做好必要的準(zhǔn)備；再次，數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)之一是發(fā)展學(xué)生的學(xué)科關(guān)鍵能力。這些內(nèi)容在學(xué)科本質(zhì)上都具有抽象的特征，從現(xiàn)實的生活原型到抽象的數(shù)學(xué)圖形，其教學(xué)核心就是培養(yǎng)抽象能力。另外，在觀察、比較、分析、抽象、概括等學(xué)習(xí)過程中可以積累大量的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，它們對培養(yǎng)空間觀念的作用盡管比較有限，但其影響著學(xué)生今后對圖形與幾何知識和其他知識的學(xué)習(xí)與理解。可見，“圖形的認(rèn)識”對培養(yǎng)兒童的抽象思維能力和空間觀念具有獨特的、不可替代的作用。

因此，教學(xué)長方形、三角形、圓柱體等圖形的認(rèn)識，其教學(xué)目標(biāo)已遠(yuǎn)不止是認(rèn)識圖形的特點與性質(zhì)而已，其中蘊含的豐富的學(xué)科基本思想、基本方法、理性精神等才是學(xué)科核心知識教學(xué)研究的重要價值追求。

二、結(jié)構(gòu)化：關(guān)聯(lián)內(nèi)容的聯(lián)系與發(fā)展

1.數(shù)學(xué)核心知識在學(xué)科內(nèi)容呈現(xiàn)上具有共同特征。

以“數(shù)的運算”中“運算律”這一內(nèi)容為例，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材按照前有孕伏、分散與集中相結(jié)合的原則，先在整數(shù)范圍內(nèi)教學(xué)運算律，然后逐步推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運算中，體現(xiàn)了逐步滲透、集中教學(xué)、拓展延伸的內(nèi)容展開思路。

關(guān)于“加法交換律”，學(xué)生在一年級剛開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時教材就有所滲透。如：一上“10以內(nèi)的加法和減法”單元例5如下圖1所示。5+1=6，1+5=6，盡管列出的算式不同，但它們都表示把兩部分人數(shù)合起來，求參加植樹勞動的總?cè)藬?shù)，所以計算結(jié)果自然也是相同的。這樣的教學(xué)內(nèi)容能使學(xué)生初步體會到“兩個數(shù)相加的順序變化，但結(jié)果不會變”，而這其實就是加法交換律的基本內(nèi)涵。

有了諸多感性認(rèn)識與積累之后，教材安排在四下進(jìn)行“運算律”知識的集中教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生由具體實例開始，經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)過程，最終抽象出規(guī)律，并在問題解決中自覺應(yīng)用規(guī)律。而每個運算律的探索和發(fā)現(xiàn)過程，教材均通過“解決一個實際問題—看到一個數(shù)學(xué)現(xiàn)象—列舉更多例子—在眾多實例中抽象概括—用符號表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律”這樣的方式來呈現(xiàn)內(nèi)容，幫助學(xué)生進(jìn)行探究，進(jìn)而獲得正確的數(shù)學(xué)結(jié)論。如：第55頁例1“加法交換律”這一內(nèi)容，教材呈現(xiàn)“男女生開展跳繩活動”這個實例，引發(fā)學(xué)生提出問題、列式解答，在對幾組具有共同運算現(xiàn)象的算式進(jìn)行觀察、比較的過程中產(chǎn)生猜想，進(jìn)而展開驗證、推理活動，最終抽象、概括出加法交換律和加法結(jié)合律。

無論學(xué)科核心素養(yǎng)是什么，都不是教師直接教出來的，而是在問題情境中借助問題解決的實踐慢慢培育起來的?！斑\算律”教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，蘊含著教材編者對學(xué)生數(shù)學(xué)推理等學(xué)科關(guān)鍵能力培養(yǎng)的內(nèi)容和價值挖掘。

2.數(shù)學(xué)核心知識在學(xué)科思維方式上具有同一性。

借助數(shù)學(xué)內(nèi)容這一載體的學(xué)習(xí)發(fā)展學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的重要目標(biāo)之一，而同類數(shù)學(xué)核心知識在學(xué)科思維方式上具有很大的一致性。

以“數(shù)的運算”教學(xué)為例，學(xué)生學(xué)習(xí)、理解和掌握數(shù)的運算的有關(guān)內(nèi)容，既是他們關(guān)于整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等運算知識、運算能力的形成過程，也是促進(jìn)其思維能力發(fā)展的過程。寧波大學(xué)邵光華教授在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法》一書中指出：事實上，運算也是推理，對數(shù)值計算而言，對一系列數(shù)實施運算無非是根據(jù)該運算所遵循的法則、運算律逐步推導(dǎo)，將所求對象有根有據(jù)地推導(dǎo)出結(jié)果，因此，運算可以在一定程度上提高學(xué)生的推理能力，而數(shù)學(xué)推理正是數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力之一。

“數(shù)的運算”的教學(xué)內(nèi)容具有很強的系統(tǒng)性和邏輯關(guān)聯(lián)，新的運算都是相關(guān)舊知識的延伸和發(fā)展。在這個過程中，轉(zhuǎn)化的思維方法具有不可替代的作用。如小數(shù)乘小數(shù)運算、除數(shù)是小數(shù)的除法運算、異分母分?jǐn)?shù)加減法運算、分?jǐn)?shù)除法運算等，都是用“轉(zhuǎn)化”的策略化未知為已知，理解計算原理，進(jìn)而探索并建構(gòu)運算法則，形成計算方法的。

因此，教學(xué)“數(shù)的運算”既要用好學(xué)生已有的經(jīng)驗，找到學(xué)科教學(xué)的起點，又要充分展開推理和發(fā)現(xiàn)的過程，讓學(xué)生深刻感悟?qū)W科思維與方法，為其后續(xù)“數(shù)的運算”的自主學(xué)習(xí)做好方法與思維的鋪墊。

三、重發(fā)展：探尋核心知識在教學(xué)設(shè)計上的共同路徑

基于上述幾個問題的分析，基于學(xué)科關(guān)鍵能力發(fā)展的小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識教學(xué)設(shè)計可以從以下幾方面考慮：一是核心內(nèi)容教學(xué)價值的準(zhǔn)確引領(lǐng)；二是數(shù)學(xué)問題情境創(chuàng)設(shè)；三是以兒童的方式組織學(xué)科學(xué)習(xí)活動；四是適時回顧反思，架構(gòu)核心知識的結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。

1.價值引領(lǐng)：以多維視角挖掘內(nèi)容教學(xué)價值。

福建師范大學(xué)余文森教授指出，任何學(xué)科知識就其結(jié)構(gòu)而言，都可以分為表層結(jié)構(gòu)和深層結(jié)構(gòu)。表層結(jié)構(gòu)就是語言文字符號所直接表述的學(xué)科內(nèi)容（概念、命題、理論），深層結(jié)構(gòu)是蘊含在學(xué)科知識內(nèi)容和意義之中或背后的精神、價值、方法論、生活意義。表層結(jié)構(gòu)和意義的存在方式是顯性的、邏輯的、明線的。深層結(jié)構(gòu)和意義的存在方式則是隱性的、滲透的、暗線的。但它是學(xué)生素養(yǎng)形成和發(fā)展的根本。

每一類數(shù)學(xué)核心知識在教學(xué)內(nèi)容中的地位是一致的。例如：在“圖形的認(rèn)識”教學(xué)中，教材往往會安排讓學(xué)生做（畫、圍、搭、拼等）一個圖形的環(huán)節(jié)。為了追求教學(xué)效果，公開課上有些教師就不惜花費大量的時間和精力準(zhǔn)備各種材料（釘子板、橡皮筋、格子紙、吸管等），甚至讓學(xué)生進(jìn)行演練。課堂上，學(xué)生操作規(guī)范、到位，精彩紛呈，而之后的比較和分析，教師往往會輕描淡寫地一帶而過。當(dāng)被問及“為什么要讓學(xué)生做圖形”時，教師卻一臉茫然和無辜——“教材上不就這樣安排的嗎？”

顯然，這樣的教學(xué)更多只是在追求一種外在的形式。一味地追求教學(xué)形式，造成的可能是數(shù)學(xué)本質(zhì)的流失，是課堂教學(xué)的失真，是學(xué)生學(xué)習(xí)的失效，是數(shù)學(xué)文化品格的迷失。教師應(yīng)準(zhǔn)確定位教學(xué)內(nèi)容的價值，情境背后還有知識和能力，知識背后還有文化和精神，技巧背后還有思想和方法，邏輯背后還有直覺和猜想，應(yīng)用背后還有原理與模型?？梢?，教學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確定位，即從教學(xué)內(nèi)容的表層結(jié)構(gòu)和深層結(jié)構(gòu)兩方面去把握內(nèi)容的實用價值、理性價值和發(fā)展價值，是發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的根。

2.情境創(chuàng)設(shè)：以學(xué)科的視角研究現(xiàn)實問題。

發(fā)展學(xué)科關(guān)鍵能力視野下的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的情境創(chuàng)設(shè)已不僅僅是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)情趣，更為重要的是體現(xiàn)核心內(nèi)容的教學(xué)本質(zhì)。例如：“圖形的認(rèn)識”是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容中的核心內(nèi)容，認(rèn)識和理解這些內(nèi)容關(guān)鍵的思維方式是從具體的、現(xiàn)實的情境中提取數(shù)學(xué)圖形。因此，“認(rèn)識長方形和正方形”的教學(xué)設(shè)計就要抓住這類知識教學(xué)的核心要素作為課堂教學(xué)的突破口，如教室里有國旗、黑板、講臺、課桌等物體，可以讓學(xué)生從這些物體上尋找長方形的面和正方形的面，與其已有的直觀認(rèn)識相銜接，進(jìn)而引出例題要教學(xué)的內(nèi)容。使學(xué)生在具體情境中經(jīng)歷由具體物體的面抽象出數(shù)學(xué)圖形的過程。認(rèn)識圖形概念后，還需要創(chuàng)設(shè)情境，將概念的內(nèi)涵遷移到新的對象中，其目的是對概念加以解釋和應(yīng)用，深化學(xué)生對概念內(nèi)涵與外延的理解。

綜上所述，在“圖形的認(rèn)識”教學(xué)中，不論是新知教學(xué)、變式練習(xí)，還是問題解決、梳理回顧，各個教學(xué)環(huán)節(jié)都有發(fā)展學(xué)生抽象能力的空間。教師應(yīng)鼓勵學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)、操作感悟、大膽表征，讓學(xué)生的學(xué)、思、用融為一體，為學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)逐層打好基礎(chǔ)。

3.組織活動：以兒童的方式經(jīng)歷知識形成過程。

兒童認(rèn)知方式的不同及其對教學(xué)價值的豐富追求，必然導(dǎo)致他們學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)方式等的不同。

以“圖形的認(rèn)識”為例。兒童的幾何不是論證幾何，而更多地屬于直觀幾何，直觀幾何就是一種經(jīng)驗幾何或?qū)嶒瀻缀?，因此，兒童獲得幾何知識并形成空間觀念更多是依靠他們的動手操作。他們通過不斷地嘗試搭建、選擇分類、組合分解等活動來增加體驗、積累經(jīng)驗、豐富想象，體現(xiàn)出以經(jīng)驗為起點、以操作為主要形式的兩大學(xué)習(xí)特點。

在“數(shù)的運算”教學(xué)中，為了體現(xiàn)“重視四則運算意義的理解”這一核心要素，教師需要引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注運算的產(chǎn)生。這不僅是一個由現(xiàn)實生活到符號表達(dá)產(chǎn)生認(rèn)識的抽象過程，更是一個由低級到高級產(chǎn)生認(rèn)識飛躍的過程。運算產(chǎn)生研究的教學(xué)過程一般由以下幾個教學(xué)環(huán)節(jié)組成：（1）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)需求。如現(xiàn)實生活中有同數(shù)連加的需要，但是如果有100個這樣的同數(shù)連加，不僅表達(dá)困難而且運算麻煩，從而激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生新運算的需求。（2）聚類抽象，產(chǎn)生運算。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)大量不同情境進(jìn)行聚類分析，從而抽象出新運算的本質(zhì)特征，并用新運算的形式進(jìn)行表達(dá)。（3）相互轉(zhuǎn)換，意義內(nèi)化。新運算產(chǎn)生后，需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)新運算的意義和表達(dá)形式在新運算與舊運算之間實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)換，以幫助學(xué)生實現(xiàn)新運算的意義內(nèi)化。

另外，“數(shù)的運算”教學(xué)還需要讓學(xué)生經(jīng)歷算法建構(gòu)的完整過程。教師既要教“術(shù)”，也要教“理”；既要重視自主探索算法，也要注重引領(lǐng)規(guī)范算法；既要重視精確計算，也要重視發(fā)展估算能力，以突出學(xué)生運算能力的培養(yǎng)。

4.適時反思：架構(gòu)核心知識的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

美國心理學(xué)家、教育學(xué)家布魯納認(rèn)為：掌握事物的結(jié)構(gòu)，就是以允許許多別的東西與它有意義地聯(lián)系起來的方式去理解它。簡單地說，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的。所以，在教學(xué)中，教師應(yīng)一邊引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知，一邊促使他們感悟新知與舊知的關(guān)系。 例如：學(xué)生在會用自己的語言表達(dá)何謂加法交換律后，出示一、二年級的內(nèi)容，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)原來自己很早就接觸過加法交換律了，只是在學(xué)習(xí)數(shù)的分與合、一題多式、驗算等內(nèi)容時不知道加法交換律這個名稱罷了。于是，在對加法交換律、結(jié)合律的前世今生的反思中，學(xué)生就將“點”狀的知識結(jié)構(gòu)化了，明晰了加法交換律、結(jié)合律既是運算的一種規(guī)律，也是計算的算理，還是靈活計算的依據(jù)所在。尤其在教學(xué)的梳理回顧環(huán)節(jié)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生提出：減法有交換律嗎？乘法、除法呢？這樣就將加法運算的規(guī)律交錯成了四則運算的規(guī)律，其之前的舉例子、數(shù)數(shù)、畫圖、講故事等技能又融通成了其他運算是否存在一定規(guī)律的論證方式。最后，當(dāng)學(xué)生用各種圖示勾連上述內(nèi)容時，也就意味著他們?yōu)榧臃ń粨Q律和結(jié)合律制造了一個屬于他們自己的認(rèn)知“匣子”，他們在橫向上體會了知識的來龍去脈，在縱向上領(lǐng)悟了知識背后的思想，在厚度上發(fā)展了抽象能力和推理能力。同時，這個“匣子”會隨著知識的疊加不斷變長、變寬、變厚。

關(guān)鍵能力的形成是一個緩慢的過程，有其自身的特點和規(guī)律，它要求的不是學(xué)生懂了，也不是學(xué)生會了，而是學(xué)生自己悟出了道理、規(guī)律和思考方法等。這種“悟”只有在數(shù)學(xué)活動中才能得以進(jìn)行，因而教學(xué)活動必須給學(xué)生提供探索交流的空間，組織引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，并把推理能力、抽象能力的培養(yǎng)有機融合在這些過程中，在多次回顧與反思中幫助學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)的思維方式和理性的人生態(tài)度。

我們同時也可以看到，聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科核心內(nèi)容，可以更好地幫助教師回答核心素養(yǎng)的理論如何落地的問題，促進(jìn)教師創(chuàng)新專業(yè)素養(yǎng)提升的方式。

【參考文獻(xiàn)】

[1]馬云鵬，朱立明.從應(yīng)用題到數(shù)量關(guān)系：小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決能力培養(yǎng)的新思路[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2018（6）：4-7.

[2]邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]余文森.學(xué)科教學(xué)：為核心素養(yǎng)而教——核心素養(yǎng)的教學(xué)意義及其培育[J].今日教育，2016（3）：10-14.

[4]布魯納.教育過程[M].邵瑞珍，譯.北京：文化教育出版社，1982.

[5]張華.論核心素養(yǎng)的內(nèi)涵[J].全球教育展望，2016（4）：10-24.

[6]黃為良.著眼核心素養(yǎng)的知識遴選與教學(xué)[J].江蘇教育：小學(xué)教學(xué)，2016（5）：10-11，17.

[7]魏光明.產(chǎn)出導(dǎo)向：指向未來的數(shù)學(xué)核心知識教學(xué)[J].江蘇教育：小學(xué)教學(xué)，2016（5）：12-14.