胡霞

【摘要】 本文重點(diǎn)分析了高中數(shù)學(xué)例題解題中使用均值不等式的相關(guān)問(wèn)題，并圍繞具體的試題，對(duì)均值不等式的使用方法進(jìn)行了研究.從本次研究結(jié)果可知，巧用均值不等式能夠提高高中數(shù)學(xué)解題能力，幫助學(xué)生尋找解題的新路徑，所以應(yīng)該做進(jìn)一步推廣.

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)解題;均值不等式

一、對(duì)均值不等式確定最值問(wèn)題的研究

在當(dāng)前數(shù)學(xué)問(wèn)題的計(jì)算中，均值不等式是計(jì)算最值問(wèn)題的有效手段，同學(xué)們?cè)诶镁挡坏仁絹?lái)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，需要先明確均值不等式的概念，并且均值不等式本身并不產(chǎn)生最值問(wèn)題，而要產(chǎn)生最值問(wèn)題必須要明確不等式的變量情況，并且在確定定式數(shù)據(jù)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，確定兩個(gè)變量所產(chǎn)生的其他代數(shù)值參數(shù)水平.

在這種情況下可以認(rèn)為，在利用均值不等式解答問(wèn)題時(shí)，需要了解兩個(gè)變量數(shù)據(jù)的變化情況，在保障不等式定值s確定的情況下，則有乘積的最大值： s2 4 ;并且在兩個(gè)變量乘積是定值P的情況下，有最小值2 P ;在和是定值的基礎(chǔ)上，其積是定值時(shí)也不一定能獲得乘積的最大值與和的最小值.

二、均值不定式在高中數(shù)學(xué)例題解題中的應(yīng)用研究

（一）掌握均值不等式的解題技巧，深入剖析問(wèn)題的要點(diǎn)

在利用均值不等式解題時(shí)，通過(guò)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題變換能夠進(jìn)一步明確問(wèn)題的解題思路，這也是均值不等式解題的最常見(jiàn)的方法.以下面例題為例：

假設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足 （a-4）2 4 + （b-3）2 3 =2，計(jì)算a+b的最大值與最小值.

在上述問(wèn)題的計(jì)算過(guò)程中，分析到：由于2= （a-4）2 4 + （b-3）2 3 ≥ （a+b-7）2 4+3 ，所以- 14 ≤a+b-7≤ 14 ，即- 14 +7≤a+b≤ 14 +7，在這種情況下可以分析認(rèn)為，當(dāng)3（a-4）=4（b-3）時(shí)兩者的關(guān)系是成立的.在這一研究結(jié)論的基礎(chǔ)上，可以判斷得出，在條件 a=4+ 4 14? 7 ，b=3+ 3 14? 7?? 時(shí)，就可以確定a+b的最值情況，其中a+b的最大值等于 14 +7，最小值等于- 14 +7.

在上述問(wèn)題的計(jì)算過(guò)程中，需要通過(guò)均值不等式將問(wèn)題中的兩個(gè)孤立的變量聯(lián)系在一起，通過(guò)確定兩者之間的數(shù)據(jù)關(guān)系，最終完成對(duì)最大值與最小值的計(jì)算.從習(xí)題內(nèi)容來(lái)看，該題型在高中數(shù)學(xué)中較為常見(jiàn)，所以需要同學(xué)們能夠進(jìn)一步掌握均值不等式的概念，并根據(jù)問(wèn)題的已知條件快速確定問(wèn)題的要點(diǎn)，這樣才能在短時(shí)間內(nèi)尋找到問(wèn)題的解題思路.最后在問(wèn)題解題過(guò)程中，需要關(guān)注運(yùn)用均值不等式時(shí)出現(xiàn)等號(hào)不成立的情況，所以在使用均值不等式的情況下，需要使用添項(xiàng)法來(lái)對(duì)不等式的內(nèi)容進(jìn)行明確，獲得更精準(zhǔn)的數(shù)據(jù)結(jié)果[1].

（二）利用均值不等式的成立條件來(lái)計(jì)算最值問(wèn)題

根據(jù)均值不等式的概念（a+b≥2 ab ）可知，若兩個(gè)正數(shù)的和是確定的，那么當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，乘積取最大值.簡(jiǎn)而言之，若兩個(gè)正數(shù)的和是確定的，并且兩個(gè)正數(shù)之間的差是零的條件下，兩個(gè)數(shù)之間的乘積才是最大的.根據(jù)這一定理，我們?cè)趩?wèn)題的分析中，可以嘗試將一個(gè)正數(shù)拆分成為兩個(gè)正整數(shù)的和，在這種情況下，若兩個(gè)正數(shù)之間的差越小，那么兩個(gè)數(shù)之間的乘積將會(huì)越大，例如，x，y∈ N ，且x+y=c，x-y=d（x≥y），則有xy= c+d 2 × c-d 2 = c2-d2 4 .根據(jù)這一結(jié)果可知，在d越小的情況下，xy的取值就越大;當(dāng)d=0時(shí)，xy的取值最大.根據(jù)這一例題可以判斷均值不等式所要闡述的內(nèi)容，即：若c不能有效地分解成兩個(gè)相等的正數(shù)之和時(shí)，此時(shí)如果d=1，則xy的取值最大.

根據(jù)上述研究結(jié)論可以判斷，在利用均值不等式解題時(shí)，需要將一個(gè)正整數(shù)分解成為兩個(gè)相等或者相鄰的整數(shù)和，此時(shí)這些數(shù)據(jù)的乘積最大.那么根據(jù)這一思路，在解題過(guò)程中，可以利用均值不等式的概念，將一個(gè)正整數(shù)分解成為若干個(gè)正整數(shù)的和，并利用不等式的這個(gè)特點(diǎn)完成數(shù)學(xué)例題的解答.

假設(shè)有例題：分別用長(zhǎng)度為1，2，3，4，5的五根細(xì)棒連成三角形（不允許細(xì)棒折斷），計(jì)算三角形的最大面積.

在上述問(wèn)題的解題計(jì)算過(guò)程中，可以假設(shè)三角形的半周長(zhǎng)為l，則此時(shí)三角形面積的計(jì)算公式為S= l（l-a）（l-b）（l-c） ，這是因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)是一致的，所以三邊長(zhǎng)在越接近的條件下，三角形的面積越大.在這種條件的影響下，可以確定三角形的三邊構(gòu)成應(yīng)該為：1+4，5，2+3，則計(jì)算出三角形的最大面積為 25 3? 4 .

三、結(jié) 論

均值不等式在高中例題解題中發(fā)揮著重要作用，通過(guò)進(jìn)一步了解均值不等式的概念與使用方法，同學(xué)們能夠熟練地掌握均值不等式的特征，并根據(jù)數(shù)學(xué)例題要求情況，有計(jì)劃地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分解與優(yōu)化，這樣才能在最大限度上幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題路徑與手段，加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)與了解，最終提高問(wèn)題的解題能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升.

【參考文獻(xiàn)】

[1]羅仕明，李柳青.對(duì)“均值不等式的八種證法”再思考[J].白城師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2017（6）：53-59，66.