☉浙江省臺州學院附屬中學 王飛兵

一、背景

運算能力是指能夠根據(jù)法則和運算律準確進行運算的能力，運算的正確、靈活、合理和簡潔是運算能力的主要特征.運算能力是《課程標準（2011年版）》強調(diào)的十個核心概念之一，它也是數(shù)學學科六大核心素養(yǎng)之一，這說明在任何教學改革的背景下，運算能力都是中學生極為重要的基本能力，而且培養(yǎng)運算能力有助于學生理性思維的發(fā)展.各地中考試題也凸顯了對學生運算能力的關注.

但是，每當進行有理數(shù)的混合運算教學時，學生的各類錯誤讓教師倍感頭痛，教師總覺得自己已經(jīng)講得很透徹，學生也認為這些內(nèi)容并不困難，可到最后還是錯得莫名其妙，有的是因為對運算意義的理解錯誤，有的是因為錯用運算律，有的則是弄錯運算的順序，而學生的這些運算錯誤會導致許多后續(xù)學習的問題，如整式的運算、方程與不等式的解法、函數(shù)求解及幾何計算等，這些知識的靈活運用都是以學生的運算能力為基礎的，所以，在七年級以有理數(shù)混合運算為載體來提升學生的運算能力，教學意義重大.筆者認為，只有拋棄生硬的記憶式教學方法，先讓學生透徹地領悟算理，理解并認同運算法則的合理性，才能在練與悟的過程中提高學生的運算能力，繼而增強學生的理性思維能力.

二、理解算理

圖1

1.算理與算法

算理、算法與運算三者的關系如圖1所示，算理是運算過程中的道理，是運算過程中的思維方式，主要解釋為什么這樣算的道理，包含兩個方面，一是列式的依據(jù)，二是運算的依據(jù)；算法是指運算的方法，主要解決“怎樣計算”的問題，它是將復雜的思維過程簡約化后，人為規(guī)定的程序化操作步驟，主要解決如何算得方便、準確的問題.

算理是客觀存在的規(guī)律，算法是人為規(guī)定的操作方法；算理為運算提供了正確的思維方式，保證了運算的合理性和正確性，算法為運算提供了快捷的操作方法，提高了運算的速度；算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理的提煉和概括，它們是相輔相成的.基于以上關系，筆者認為，對七年級的學生而言，先以形象、直觀的具體事例引導學生理解算理是提高運算能力的前提條件.

2.常見算理

（1）加法的算理.

表示兩部分數(shù)量合在一起，因為加數(shù)與加數(shù)之間的地位是相等的，所以加法有交換律：a+b=b+a.

（2）減法的算理.

表示從總數(shù)量中去掉一部分，因為從a中去掉b與從b中去掉a是不一樣的，所以減法沒有交換律.

（3）乘法的算理.

乘法是自相加的縮寫，因為a個b的和與b個a的和是一樣的，所以因數(shù)與因數(shù)之間的地位是相等的，乘法具備交換律：a×b=b×a.

（4）除法的算理.

除法表示把總體分成幾個部分，因為把a分成b等份與把b分成a等份是不一樣的，所以除法沒有交換律，也可以理解為：除法是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另外一個因數(shù)的運算，如果交換位置，就如同交換一個因數(shù)與積的位置一樣，它們是不同意義的運算，結(jié)果是不一樣的.同樣不能對除法使用結(jié)合律，如8÷4÷2≠8÷（4÷2），因為式子左邊是以（8÷4）作為被除數(shù)，2作為除數(shù)，而右邊則是以8為被除數(shù)，（4÷2）作為除數(shù)，它們是不同意義的運算，結(jié)果自然不一樣.

（5）乘方的算理.

乘方表示幾個相同因數(shù)（式）的乘積，是自相乘的縮寫，乘法是加法的簡便運算，所以，最根本的運算還是加法，學生采用運算法則進行運算能達到化繁為簡、以簡馭繁的目的，這也是培養(yǎng)學生運算能力與發(fā)展理性思維的要求.

數(shù)的范圍擴充到有理數(shù)后，加法與減法統(tǒng)一為加法運算，交換律與結(jié)合律也能應用了，這使運算更加簡約.如圖2，錯解的原因是認為減法有交換律，但當加法、減法統(tǒng)一為加法后，原式可以理解為負3.2、正2.5、負1.2與負1.5的和，再運用交換律或結(jié)合律是不影響結(jié)果的.

同樣，依據(jù)小學所學的除以一個數(shù)（不為0）等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，將乘法與除法統(tǒng)一為乘法運算后，運算中也能使用結(jié)合律與交換律，從而簡化運算，如圖3，原

圖2

圖3

將加法、減法統(tǒng)一為加法，將乘法、除法統(tǒng)一為乘法，不僅簡化了運算，也比較符合數(shù)學思考問題的方式，因為數(shù)學中的許多規(guī)定都是從統(tǒng)一性的角度來思考以解決矛盾或悖論.

三、掌握算法

理解算理后，算法是算理的外顯式概括，是一些程序性的規(guī)定.數(shù)學辭海第一卷中對算術運算劃分了運算等級：

表1

數(shù)學辭海也對運算順序進行了說明：算術運算的基本規(guī)則是指一個運算中包含多種運算時，運算先后順序的約定：

（1）算式中不包含括號時，遇到同級運算，按從左到右的順序進行運算時；若含有不同級的運算，先做高級運算，再做低級運算，即先乘方、開方，再乘法、除法，最后是加法和減法.

（2）算式中包含括號時，先做括線下的運算，再做小括號內(nèi)的運算，再做中括號內(nèi)的運算，最后做大括號內(nèi)的運算.同一括號內(nèi)的運算，則按上一條的規(guī)定順序進行運算.

基于以上規(guī)定，考慮到七年級學生的認知水平，教師還需要具體、直觀地輔助學生理解以下問題：

1.為什么要先乘方，再乘除，最后加減

乘方是自相乘的縮寫，乘法是自相加的縮寫，無論是乘方還是乘法，最終都是做加法運算.當它們在同一個運算式中出現(xiàn)時，加法是最本源的運算，而加法的加數(shù)可能是乘方的結(jié)果或乘除法的結(jié)果，所以應該先算.例如24÷4+4×5，這個運算式的意義是4個2的積與4的商，再和4與5的積的和，可分為兩部分，前半部分為24÷4，做除法運算，被除數(shù)為24，后半部分為4×5，做乘法運算，所以，必須依序進行.

2.為什么要先算括號內(nèi)的

括號具有優(yōu)先級，當括號出現(xiàn)時，括號內(nèi)優(yōu)先運算得到一個數(shù)（結(jié)果），再與其他數(shù)進行運算. 為便于學生理解，現(xiàn)以 ①（3+6）×4與②3+6×4為例說明，可賦予以上兩個式子具體情景：

①操場上有4排同學，每排同學中有3個女同學和6個男同學，問：操場上有多少名同學？

對于這樣一個問題，計算的方式為每排同學數(shù)×排數(shù)，可見，括號內(nèi)表示的是一個量，即每排的同學數(shù)，應該先算括號內(nèi).

②操場上原有3名同學，現(xiàn)在來了一些同學，這些同學每排6人，共4排，問：操場上一共有多少同學？

對于這樣一個問題，計算的方式為原來同學數(shù)+后來同學數(shù)，因此先計算乘法得到后來的同學數(shù)才正確.

用以上具體實例解釋抽象的法則更容易讓學生理解，形象來說，所有的混合運算都是在講兩個或兩個以上的故事，可能是大故事包含小故事，也可能是講幾個并列的故事，但這些故事需要分別計算，早期的數(shù)學運算都是這樣分步完成的，若希望只在一個式子中表達這些運算，混合運算就產(chǎn)生了，括號的作用就是用來規(guī)定混合運算時的優(yōu)先權(quán).

3.如何理解“同級運算按從左到右的順序進行運算”

如表2，筆者摘錄了不同版本教材對混合運算法則的描述：

表2 初中數(shù)學部分不同版本教材對有理數(shù)四則混合運算法則的表述

教材版本 表述方式人教版1.先乘方，再乘除，最后加減；2.同級運算，從左到右進行；3.如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行1.同級運算中應按從左到右的順序進行；2.不同級運算，按“先乘方，再乘除，最后加減”的順序進行北師大版 先算乘方，再算乘除，最后算加減，如有括號，先算括號里面的浙教版 先算乘方，再算乘除，最后算加減，如有括號，先進行括號里的運算蘇科版 先乘方，再乘除，最后加減，如果有括號，先進行括號內(nèi)的運算北京版1.若只有加減或只有乘除運算，通常由左而右計算；2.若同時有加、減、乘、除運算，要先做乘除再做加減；3.若有括號，括號內(nèi)的運算必須先算，或利用去括號規(guī)則去括號后再算；4.若算式中有絕對值，應當先計算絕對值內(nèi)的值，再做其他的運算臺灣康軒文教版

可見不同版本教材對同級運算順序的描述不同，要求也不一樣，事實上，基于算理的理解，對于只有加法或只有乘法的運算沒有必要一定從左往右運算，如：8×4×3=8×12=96；8+4+3=8+7=15.但是對只有減法與除法的運算則必須要從左往右運算，如：48÷8÷2≠48÷4，48-8-2≠48-6，原因是被除數(shù)與被減數(shù)不一樣.個人認為臺灣地區(qū)康軒文教版教材的講法較全面.

4.為什么沒有除法對加（減）法的分配律

乘法對加（減）法的（左）分配律成立，即a×（b±c）=a×b±a×c.以乘法對加法的分配律為例，可通過圖形的面積來直觀解釋，如圖4，大長方形的面積可以表示為長乘寬，也可表示為兩個小長方形的面積和，如此理解，去括號法則的解釋就很自然了.

圖4

但除法對加（減）法分配律不成立，可分以下兩種情況來討論：

（1）除法左分配律：（a±b）÷c=a÷c±b÷c，可化為（a±b）如圖5，右邊兩個寬同為m，長分別為a、b的長方形，面積都被同樣方式等分為c份，在兩個圖形中各取一份后求和，依然等于左邊大長方形（長為a+b，寬為m）按同樣方式等分為c份后，其中一份的面積，所以（a±b）÷c=a÷c±b÷c成立.

圖5

（2）除法右分配律：a÷（b±c）=a÷b±a÷c不成立，因為除數(shù)不能分配，左邊只能化為c）為例說明，如圖6右邊，分別將面積為a的長方形分成b份、c份后，取其中一份求和，顯然不等于將左邊面積為a的長方形分成（b+c）份后其中一份的面積，所以a÷（b±c）=a÷b±a÷c不成立.

圖6

四、精準訓練

當學生領悟了算理，認同算法的合理性后，教師再引導學生進行精準訓練，就有了理論基礎，學生也更容易接受.精準訓練的目的是促使學生準確、熟練地掌握“觀察、分析、運算、查驗”的操作步驟，如圖7，第一步要仔細觀察，分析運算類別，然后在理解運算式意義的基礎上確定運算順序，再運用運算律進行簡便運算，最后檢驗運算結(jié)果是否符合運算法則與運算律.當只有兩個數(shù)參與運算時，直接應用運算法則化新為舊；有三個及以上的數(shù)進行同級運算時，則依據(jù)運算法則、運算律化繁為簡；有三個及以上數(shù)進行不同級運算時，則依據(jù)運算順序、法則化繁為簡進行運算.

圖8

如圖8所示，教師對任何數(shù)學知識的教學都應有明確的目標指向，所采取的教學策略既要促進知識目標的達成，也要促進學生認知的發(fā)展，這就要求數(shù)學的教學不僅要讓學生知其然，還要知其所以然，最好能達到知何由以知其所以然的境界.對于有理數(shù)的混合運算，科學訓練只是算法內(nèi)化的手段，而透徹領悟算理才是熟練掌握算法的前提，是運算能力提升和理性思維發(fā)展的必經(jīng)之路.