楊艷秋
摘要:函數(shù)極限是極限的一個重要內(nèi)容,求函數(shù)極限的方法多種多樣,本文主要通過例題來闡述了幾種求函數(shù)極限的方法。求極限的方法不可能全部列舉出來,希望通過這幾種求解方法的介紹展現(xiàn)極限思想的本質(zhì)。
關(guān)鍵詞:函數(shù)極限;四則運(yùn)算法則;洛必達(dá)法則
中圖分類號:TP393 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A
文章編號:1009-3044(2019)35-0247-02
極限是數(shù)學(xué)中一個非常重要的概念,廣義上的極限是指無限接近而永遠(yuǎn)無法到達(dá),數(shù)學(xué)中的極限是指某一個變量在變化的過程中,逐漸逼近某一個確定的數(shù)值,但是永遠(yuǎn)不能等于這個數(shù)值。數(shù)學(xué)中的極限一般分為數(shù)列極限和函數(shù)極限,本文主要介紹函數(shù)極限及其求法。
1 函數(shù)極限的定義
設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義,如果存在常數(shù)A,對于任意給定的正數(shù)ε,存在正數(shù)δ,使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-x0|<δ時(shí),對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式:f(x)-A|<ε。那么常數(shù)A就叫作函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限,記作lim f(x)=A。
2 求函數(shù)極限的方法
2.1利用連續(xù)性求極限
設(shè)函數(shù)f(x)在某u(x0)內(nèi)有定義,如果lim f(x)=f(x0).則稱f(x)在x0連續(xù)。反之,如果要求lim f(x),可以由以上等式直接求f(x)在x0處的函數(shù)值就可以。
例1求lim(3x2-x+ 7).
解:由初等函數(shù)的連續(xù)性,將1直接代人函數(shù)中有意義,所以:
原式=3x1 2-1+7 =9.
2.2消公因子法求極限
有些具有分?jǐn)?shù)結(jié)構(gòu)的函數(shù)用上面的代入法可能會出現(xiàn)分子或分母為零的情況,使得原函數(shù)沒有意義,所以無法直接代入求極限。
2.3利用無窮大無窮小的關(guān)系求極限
無窮大量和無窮小量的定義:如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的極限為零,則稱函數(shù)f(x)為x→x0(或x→∞)時(shí)的無窮小量;如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)對應(yīng)的f(x)無限增大,則稱函數(shù)f(x)為x→x0(或x→∞)時(shí)的無窮大量。
這里是利用無窮大量無窮小量的倒數(shù)關(guān)系求極限。
2.4分子分母降冪法求極限
在某些函數(shù)極限求解過程中,可以通過分子分母同時(shí)除以最高次冪來求極限。
該題目中分子分母的最高次冪是x3,同時(shí)除以x3然后求極限可知分子分母的后兩項(xiàng)極限為零,由此我們得到其極限值。
當(dāng)a0≠0,b0≠0,m和n為非負(fù)整數(shù)時(shí),有
2.5利用兩個重要極限求極限
首先介紹一下兩個重要極限,我們通過幾個例題來看一下如何利用重要極限求解極限。
我們可以看到在求極限的過程中,有的式子并不能直接利用重要極限的公式,需要進(jìn)行一定程度的變形,在變形的過程中要注意保持原式的恒等性,靈活變換。
2.6利用四則運(yùn)算法則求極限
極限的四則運(yùn)算法則如下:如果limf(x)=A,limg(x)=B,則
2.7利用洛必達(dá)法則求極限
洛必達(dá)法則有兩種,0/0型和∞/∞型,即分子分母同時(shí)是無窮小或同為無窮大,這種情況極限可能存在也可能不存在,稱為未定式。
若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件:
3 小結(jié)
以上求極限的幾種方法互相之間有交叉,說明求極限需要靈活應(yīng)用不同的方法,學(xué)會融會貫通。當(dāng)然除了上面介紹的幾種方法,還有很多其他的方法,比如利用中值定理求極限,利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限,利用泰勒公式求極限等等。極限思想的理解是比較大的一個難點(diǎn),只有理解好極限思想才能在求極限的過程中得心應(yīng)手。
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【通聯(lián)編輯:光文玲】