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        洛必達(dá)法則的合理應(yīng)用

        2017-03-27 03:00:51隋姜昊
        關(guān)鍵詞:洛必達(dá)法則極限數(shù)學(xué)

        隋姜昊

        【摘要】本文全面闡述了如何使用洛必達(dá)法則,以及在使用的過(guò)程中存在的問(wèn)題,并通過(guò)實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明和分析.

        【關(guān)鍵詞】極限;洛必達(dá)法則;數(shù)學(xué)

        一、常規(guī)洛必達(dá)求解極限問(wèn)題

        L′Hospital法則(洛必達(dá)法則):

        設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域U0(a,δ)內(nèi)有定義,且滿(mǎn)足:

        (1)limx→af(x)=0(∞)及l(fā)imx→ag(x)=0(∞);

        (2)f(x)和g(x)在U0(a,δ)內(nèi)可導(dǎo),且g′(x)≠0;

        (3)limx→af′(x)g′(x)=A(A為常數(shù),或?yàn)椤蓿瑒t有l(wèi)imx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=A.

        其中第三個(gè)條件極為重要.在求極限時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到兩個(gè)無(wú)窮小量之比的極限或者兩個(gè)無(wú)窮大量之比的極限,這類(lèi)極限有的存在,有的不存在,通常稱(chēng)這種類(lèi)型的極限式為未定式.以下是常見(jiàn)的情形.

        二、分析并解決問(wèn)題

        (一)變形求解

        洛必達(dá)法則作為如此重要的法則,是不是可以解決所有的問(wèn)題,答案是否定的,例如limx→+∞e-1x2x100,使用洛必達(dá)法則,得到limx→+∞e-1x2200x102,看到這個(gè)式子,我們完全不能繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算,但通過(guò)觀(guān)察,運(yùn)用換元法,易得令t=1x2,可以得到limx→0e-1x2x100=limt→∞t50et=0,上式是經(jīng)過(guò)了簡(jiǎn)單的變形,順利使用了洛必達(dá)法則求解問(wèn)題.

        以上的問(wèn)題很顯然需要經(jīng)過(guò)變形輔助求解極限,可以作為洛必達(dá)法則的變形分析,同樣可以運(yùn)用這種方式求解limx→-∞x1+x2,分子分母同時(shí)除以x,可以求得如limx→-∞11+1x2=1.

        (二)使用洛必達(dá)法則需謹(jǐn)慎

        洛必達(dá)在求解極限問(wèn)題時(shí)存在著較大的優(yōu)勢(shì).但洛必達(dá)法則是否是萬(wàn)能的呢?

        xx=limx→+∞1+cosx1,其極限不存在,那么可以得到不可使用洛必達(dá)法則.出現(xiàn)這種問(wèn)題主要是由于求導(dǎo)后的式子無(wú)法求極限或者不能繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.

        三、總結(jié)

        通過(guò)上述分析,洛必達(dá)法則使用時(shí)需要注意以下幾點(diǎn):(1)滿(mǎn)足定理?xiàng)l件下的某些計(jì)算無(wú)法解決計(jì)算問(wèn)題;(2)洛必達(dá)法則需要和其他數(shù)學(xué)方法進(jìn)行結(jié)合使用,比如換元法,結(jié)合使用才能發(fā)揮作用;(3)被求極限的式子必須為未定式才可以使用洛必達(dá)法則;(4)若limf′(x)F′(x)不存在,不能使用洛必達(dá)法則.

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