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        高等數(shù)學(xué)中洛必達(dá)法則的教學(xué)研究

        2017-03-27 21:37:44梁金華
        關(guān)鍵詞:洛必達(dá)法則高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究

        梁金華

        【摘要】洛必達(dá)法則是求極限的一種重要而有效的方法.在教學(xué)實(shí)踐中,筆者發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的教學(xué)安排教學(xué)效果并不好.本文分析了其中的原因,并針對工科學(xué)生的特點(diǎn)對洛必達(dá)法則的教學(xué)進(jìn)行了深入研究,采用“先使用,后證明”的教學(xué)方式進(jìn)行教學(xué),并對洛必達(dá)法則使用中容易出錯的地方進(jìn)行了分析和改進(jìn).

        【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);洛必達(dá)法則;教學(xué)研究

        高等數(shù)學(xué)的通用教材是同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等數(shù)學(xué)》,該書目前已是第七版.這本教材條理清晰,數(shù)學(xué)邏輯強(qiáng),但有時(shí)完全按課本的安排教學(xué)效果并不是最好的.比如在講“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”這一節(jié)的內(nèi)容時(shí),洛必達(dá)法則的教學(xué)通常是定理介紹→定理證明→定理的應(yīng)用,這樣的順序是數(shù)學(xué)思維發(fā)展的要求,對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是合理而且科學(xué)的.奇怪的是,照這樣的順序來教學(xué),教學(xué)效果并不好.

        不妨來分析一下原因.按照課本的安排,我們至少需要一個(gè)課時(shí)的時(shí)間來給出定理的內(nèi)容,并對定理進(jìn)行證明.而洛必達(dá)法則的證明要用到柯西中值定理,對學(xué)生而言,并不是很容易理解.當(dāng)學(xué)生集中注意力來聽完一個(gè)證明,大家的思想普遍會有一個(gè)放松,待第二課時(shí)來介紹定理的應(yīng)用,學(xué)生的注意力明顯沒有第一課時(shí)那么集中,很容易只顧表面,而忽視洛必達(dá)法則的使用條件.一個(gè)課時(shí)要介紹洛必達(dá)法則在各類未定式求極限中的使用,時(shí)間緊,內(nèi)容多,學(xué)生不容易完全接受,這是造成教學(xué)效果不好的主要原因.

        對理工科的學(xué)生而言,應(yīng)側(cè)重于例題的講解和練習(xí).

        在洛必達(dá)法則的引入上,為了能激發(fā)學(xué)生的興趣,可以借用文學(xué)里常用的“倒敘”手法,先使用,后證明.

        先給出一個(gè)“00”例題,讓學(xué)生去求極限.

        例1求limx→asinx-sinax-a.

        在大家費(fèi)了九牛二虎之力求出答案后,教師直接把分式極限轉(zhuǎn)化為對分子分母各自求導(dǎo)后再求極限.求解如下:

        limx→asinx-sinax-a=limx→acosx1=cosa.

        這時(shí)大部分學(xué)生都會很吃驚,進(jìn)而就會產(chǎn)生興趣,想弄明白為什么可以這么求.

        先不作證明,接下來再給一個(gè)“∞∞”的例子,要求學(xué)生去求極限.

        例2求limx→+∞lnxxn.

        這個(gè)題用以前學(xué)過的方法比較困難.這時(shí)部分學(xué)生會使用以前的方法求,部分學(xué)生會依葫蘆畫瓢,把題目轉(zhuǎn)化為分子分母各自求導(dǎo)后再求極限.最后學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種方法求出來結(jié)果是一樣的.學(xué)生會更吃驚,學(xué)習(xí)的興趣也就更濃.

        這時(shí)再引出定理1和定理2,并對定理進(jìn)行分析和證明.重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)定理的條件:

        (1)limx→af(x)=0(或∞),limx→ag(x)=0(或∞);(2)f(x)和g(x)在x=a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo);(3)limx→af′(x)g′(x)=A(或∞).則limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=A(或∞),x→∞時(shí)定理同樣成立.

        并注意定理的延伸,可以提問:“若一次求導(dǎo)后不能求出極限而又滿足洛必達(dá)法則的條件又該怎么做?”引導(dǎo)學(xué)生得出limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=limx→af″(x)g″(x)=….

        注意強(qiáng)調(diào)反復(fù)使用洛必達(dá)法則的條件.此時(shí)學(xué)生對洛必達(dá)法則的使用已經(jīng)有了清晰的認(rèn)識,可以回到剛才給出的例題,結(jié)合例題,分析鞏固使用洛必達(dá)法則求00和∞∞兩類最基本類型的極限.

        第二個(gè)課時(shí),則是洛必達(dá)法則使用的拓展.00和∞∞是最基本的類型,除了這兩種,還有0·∞,∞-∞,00,∞0,1∞等類型的未定式.對這些未定式可以采取經(jīng)過恒等變形,化成00和∞∞后再使用洛必達(dá)法則.通常分為三類來處理.

        (1)0·∞型.根據(jù)“無窮小的倒數(shù)是無窮大”化成00或∞∞型,再使用洛必達(dá)法則.轉(zhuǎn)化遵循“復(fù)雜置上”的原則,即形式復(fù)雜、求導(dǎo)復(fù)雜的函數(shù)放在分子上,形式簡單,求導(dǎo)容易的函數(shù)放在分母上,盡可能保證分母部分求導(dǎo)簡單.這樣可以減少計(jì)算錯誤.

        (2)∞-∞型.這通常會出現(xiàn)分式運(yùn)算,如果沒有分式要盡可能轉(zhuǎn)化為分式,通分后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為00型,再使用洛必達(dá)法則.

        (3)00,∞0,1∞也稱冪指類型,是使用洛必達(dá)法則中較為復(fù)雜的類型.課本上的方法是“先取對,求極限,再代值”,但使用這個(gè)方法時(shí),經(jīng)過繁雜的運(yùn)算,很多學(xué)生會忘記“代值”這一步,求出對數(shù)的極限后就以為得到了答案,因此常常出錯.事實(shí)上,為了避免代值,這種類型的題我們可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的關(guān)系做恒等變形,再利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),一步到位,解法更為簡捷.

        洛必達(dá)法則在求極限的問題中占有很重要的作用,方法雖好,但不能濫用,在洛必達(dá)法則的教學(xué)中,有兩點(diǎn)要注意強(qiáng)調(diào).

        (1)使用前判斷是否滿足定理的條件.如課本134頁例2,每次使用洛必達(dá)法則前都要判斷是否是00或∞∞型,否則不能用;(2)有的式子極限存在,但不能用洛必達(dá)法則,我們稱之為“洛必達(dá)法則失效”.

        例如limx→∞x+sinxx,它的極限存在,而使用洛必達(dá)法則,極限不存在.這是因?yàn)槭褂脮r(shí)違背了定理的第三個(gè)條件limx→af′(x)g′(x)=A(或∞),因此洛必達(dá)法則失效了.由于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的特殊性,sin′x=cosx,cos′x=-sinx,一般而言,當(dāng)x→∞,出現(xiàn)sinx,cosx,或當(dāng)x→0,出現(xiàn)sin1x,cos1x,都不能使用洛必達(dá)法則.

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