摘 要：微積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，對處理復(fù)雜問題有著優(yōu)越的作用。微元思想時(shí)常滲透在高中物理教學(xué)中，為了更好地認(rèn)識微元思想在物理教材的應(yīng)用，筆者從微元思想在必修教材中的應(yīng)用，如何將微元思想在物理課堂教學(xué)中拓展，以及微元思想對物理教學(xué)意義的三個(gè)方面進(jìn)行闡述。

關(guān)鍵詞：微元思想；物理教學(xué)；學(xué)科素養(yǎng)

常言道，數(shù)理不分家，數(shù)學(xué)方法及思想在解決物理問題中常起著重要的作用。一代偉人牛頓提出牛頓三大定律及萬有引力定律，奠定了經(jīng)典物理的基礎(chǔ)。他的這些成就絕不能說與他出色的數(shù)學(xué)能力無關(guān)。在數(shù)學(xué)上，牛頓與戈特弗里德·萊布尼茨分享了發(fā)展出微積分學(xué)的榮譽(yù)。在高中物理學(xué)習(xí)中，我們時(shí)常會用到許多的數(shù)學(xué)方法來解決物理問題。

在處理中學(xué)物理問題時(shí)，對某事件做整體的觀察后，從對事物的極小部分（微元）分析入手，先分割逼近，取出事件的某一微小單元分析，找到規(guī)律，再累計(jì)求和，最終達(dá)到解決事物整體的方法，稱為微元法。這是一種深刻的思維方式，通過對物體微小單元的分析和描述，最終解決整體的問題。微積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)雖也介紹，但比較淺顯，學(xué)生在物理課程中接觸到微積分思想要先于數(shù)學(xué)，具體微積分計(jì)算高中物理中也不作要求，所以教師在教學(xué)中傳授給學(xué)生的只是一種思想，重要的是讓學(xué)生理解、體會到這樣一種思想，且把這種思想稱作“微元思想”吧。今天這里筆者將談?wù)勎⒃枷朐诟咧形锢肀匦迌?nèi)容中的應(yīng)用。

一、 微元思想在物理必修教材中的滲透

筆者經(jīng)過高中物理三輪的完整教學(xué)，該學(xué)年剛好任教高一年級，在教學(xué)過程常做小結(jié)與反思，我發(fā)現(xiàn)，必修教材中多處滲透著微元思想。

（一） 瞬時(shí)速度定義

《運(yùn)動快慢的描述——速度》教學(xué)目標(biāo)指出：在討論平均速度與瞬時(shí)速度聯(lián)系的過程中，初步體會極限的思想方法。

如變速直線運(yùn)動中的瞬時(shí)速度概念，是先建立粗略地描述運(yùn)動快慢的平均速度的概念v=ΔxΔt，然后為了使描述精確，我們把變速直線運(yùn)動的過程取得越來越小，即時(shí)間越來越短，在t到t+Δt這個(gè)較小的時(shí)間間隔內(nèi)平均速度ΔxΔt就越來越接近t時(shí)刻的瞬時(shí)速度，當(dāng)我們把過程取得無限小時(shí)，位移也接近零，但位移與時(shí)間的比值卻是一個(gè)確定的值，這就是運(yùn)動物體在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度。

意義：學(xué)生第一次在高中物理中接觸微元、極限思想，學(xué)生雖不能很快接受，但給學(xué)生初次體會，為今后學(xué)習(xí)埋下伏筆。

（二） 勻變速直線運(yùn)動位移時(shí)間關(guān)系式的推導(dǎo)

教學(xué)目標(biāo)指出：理解勻變速直線運(yùn)動的位移與vt圖形中四邊形面積的對應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生感受利用微元思想解決物理問題的科學(xué)思維方法。

在推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動的位移時(shí)，用到了微元思想，如圖1所示，把整個(gè)運(yùn)動過程分成多段勻速直線運(yùn)動，當(dāng)時(shí)間分得非常細(xì)，小矩形就會非常多，它的面積也就等于圖像與坐標(biāo)軸所圍成的面積，即整個(gè)運(yùn)動的位移，從而得出了位移公式。

意義：“一個(gè)變化過程在極短時(shí)間內(nèi)可以認(rèn)為是不變的”，這種“化變?yōu)槌！?，突破常?guī)的思想，使學(xué)生如沐春風(fēng)、清新異常，讓學(xué)生的思維得以震撼，使學(xué)生對微元思想的感受不斷加深，拓展了思維深度。

（三） 重力做功的特點(diǎn)

教學(xué)目標(biāo)指出：要知道重力做功與路徑無關(guān)。

創(chuàng)設(shè)情景，計(jì)算下列三種情況下重力做的功：

圖2

教材從學(xué)生的認(rèn)知角度，由淺入深逐步深入地設(shè)置情景，先研究豎直下落，再研究沿傾斜直線向下運(yùn)動，最后到任意曲面下滑過程，通過計(jì)算物體從A點(diǎn)到B點(diǎn)的不同路徑所做的功，得出重力做功與物體運(yùn)動路徑無關(guān)的結(jié)論。以下作簡單的推導(dǎo)：

①豎直下落：WG=mgh

②沿斜面下落：WG=mgssinθ=mgh

③沿曲面下滑：將曲面分割成一小段一小段，足夠小時(shí)，曲面就可看成斜面，就可以利用上面②中的結(jié)論求出各小段重力做的功，最后將各段累積求和，微元思想再次呈現(xiàn)出來。

W=W1+W2+W3+…Wn

=mg·Δh1+mg·Δh2+mg·Δh3+…mg·Δhn

=mg（Δh1+Δh2+Δh3+…Δhn）

=mgh

意義：這里“化曲為直”顛覆了學(xué)生思想中原有的“曲直”觀念。這種“曲”“直”的相對性讓學(xué)生的心靈再一次升華，讓懵懂青春的他們，思想再一次地開闊。

（四） 推導(dǎo)彈性勢能的表達(dá)式

教學(xué)目標(biāo)指出：領(lǐng)會求彈力做功時(shí)通過細(xì)分過程化變力為恒力的思想方法。

從彈力做功來探究彈性勢能的表達(dá)式的方法、探究過程中化變?yōu)楹愕乃枷牒屠脠D像法進(jìn)行處理是本節(jié)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。

在研究重力勢能時(shí)從重力做功入手，研究彈性勢能時(shí)也可以從分析彈力做功入手。彈簧的彈力和彈簧受到的拉力等大反向，拉力做功等于克服彈簧彈力做功，也就等于彈性勢能的變化量。用類比的方法分析時(shí)要注意區(qū)別重力做功和彈力做功的不同特點(diǎn)。在地球附近，重力為恒力，而拉伸彈簧過程中，拉力隨彈簧形變量的變化而變化，拉力還因彈簧不同而不同，因此拉力做功不能直接用功的公式W=Flcosα。那么，如何求拉力做功呢？回顧勻變速直線運(yùn)動位移時(shí)采用的方法，通過類比，提出解決方法——將彈簧的形變過程分成很多小段，每一小段中近似地認(rèn)為拉力是不變的，所以每小段的拉力做功分別為：

與勻變速直線運(yùn)動中利用vt圖像求位移x相似，我們也作Fl圖像（圖3），每段拉力的功就是圖中細(xì)窄的矩形面積，對這些面積求和，就得到了F與l所圍成的三角形的面積?？紤]到新課程標(biāo)準(zhǔn)對彈性勢能的表達(dá)式?jīng)]有任何要求，對彈性勢能表達(dá)式的處理就比較的靈活。這里我們可以根據(jù)三角形面積公式得到彈性勢能的表達(dá)式：

Ep=12kx2

圖3

意義：書本獨(dú)具匠心，讓我們的學(xué)生在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上有了一個(gè)用武之地，充分貫徹了新課程對三維目標(biāo)的落實(shí)，同時(shí)這種“化變?yōu)楹恪彼枷雽θ蘸蠼鉀Q變力做功問題也有啟發(fā)。

二、 微元思想在高中物理教學(xué)中的拓展

學(xué)生在解決問題中希望能夠用比較簡便有效的方法去解決，當(dāng)碰到一些用現(xiàn)有知識無法解決的時(shí)候，他們會渴望獲得解決方法。微元思想在教學(xué)中已經(jīng)多次滲透，學(xué)生對此漸漸領(lǐng)會其解決相關(guān)問題的優(yōu)越性，所以在平時(shí)的教學(xué)中作必要的拓展，對培養(yǎng)學(xué)生能力和思維方法有著很大的幫助，培養(yǎng)學(xué)生物理學(xué)科素養(yǎng)。

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)教學(xué)三維目標(biāo)（即知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價(jià)值觀）的落實(shí)。在過程與方法中提到通過物理概念和規(guī)律的學(xué)習(xí)，了解物理學(xué)習(xí)的研究方法，認(rèn)識物理實(shí)驗(yàn)、物理模型和數(shù)學(xué)工具在物理學(xué)發(fā)展過程中的應(yīng)用。近幾年的《浙江省高考考試說明》中都明確指出考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力：能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論；必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析。說明教師需要在教學(xué)中進(jìn)行拓展引導(dǎo)以促進(jìn)三維目標(biāo)的落實(shí)。

物理教材中多次出現(xiàn)出體現(xiàn)微元極限思想的應(yīng)用。物理中許多物理量以變化率來定義，如速度、加速度等，其實(shí)就是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用。推導(dǎo)勻變速運(yùn)動位移時(shí)間關(guān)系式時(shí)就進(jìn)行無限分割，運(yùn)用到極限的思想。借助微元思想的幫助我們解決實(shí)際問題，同時(shí)豐富拓展了學(xué)生的思維。證明教師在教學(xué)中對微元思想拓展的必要性。

無論從學(xué)生認(rèn)知角度還是三維目標(biāo)落實(shí)及教學(xué)過程的需要，以及培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，都要求教師在教學(xué)進(jìn)行拓展，如何拓展呢？下面我們通過三個(gè)教學(xué)案例來分析。

（一） 新課拓展，提高能力

要提高解決問題的能力，需要形成科學(xué)的思路和掌握基本的方法，科學(xué)思路和基本方法的掌握是不可能通過灌輸達(dá)成的，需要經(jīng)常、適時(shí)地拓展。下面通過案例1來體會。

案例1：萬有引力定律表達(dá)式適用范圍的討論

F=Gm1m2r2

1. 教師提問：通過前面的學(xué)習(xí)我們得出了引力公式，那么公式中“兩物體間距離”指的是物體哪兩部分的距離？

學(xué)生思考：……

2. 教師提問：如果兩物體可看作質(zhì)點(diǎn)呢？

學(xué)生回答：兩質(zhì)點(diǎn)間的距離。

3. 教師提問：若兩物體是勻質(zhì)球體呢？

學(xué)生回答：球心間的距離。

4. 教師提問：你得到這樣答案的依據(jù)是什么？

（預(yù)計(jì)學(xué)生回答不出這個(gè)問題，先討論下面問題后再回過頭解釋）

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：顯然如果兩個(gè)物體可以看成是質(zhì)點(diǎn)，r為兩質(zhì)點(diǎn)間的距離，對于任意形狀的物體不能看成質(zhì)點(diǎn)時(shí)，如果我們把物體分割成無數(shù)足夠小的部分，直到可以將各部分看成質(zhì)點(diǎn)（稍微停頓，留意學(xué)生的表情，引起學(xué)生思考的興趣）。

有學(xué)生就會發(fā)言：這是微元思想。

5. 教師給予肯定，那么之后該怎么處理呢？

學(xué)生回答并提出疑問：各質(zhì)點(diǎn)間的引力是可以求，但是要怎么求的是兩物體間引力。

6. 教師引導(dǎo)：同學(xué)們回想下勻變速運(yùn)動位移公式的推導(dǎo)用到微元思想，從微小部分討論，累積求和，最終解決整體的思想。

學(xué)生回答：求出任意兩質(zhì)點(diǎn)間的引力，再將它們求和。

7. 教師肯定：這位同學(xué)對微元思想的領(lǐng)會比較深刻了，有哪位同學(xué)再來補(bǔ)充下？

學(xué)生修正回答：應(yīng)該是一個(gè)物體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)與另外一個(gè)物體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力之和。

教師小結(jié)：非常正確。

學(xué)生提問：這樣解不是太麻煩了嗎？好像沒法解。

教師回答：該同學(xué)提得好，這里面牽扯到微積分的計(jì)算，這個(gè)內(nèi)容要到大學(xué)才會學(xué)到，現(xiàn)在不作要求，但在這個(gè)過程中我要求大家去體會微元思想的應(yīng)用。

我們現(xiàn)在可以來解釋兩勻質(zhì)球體間的距離r為什么是球心間的距離：其實(shí)r是等效距離，就是利用微積分求解后等效得出的。

總結(jié)：引力公式適合計(jì)算：①兩質(zhì)點(diǎn)間；②兩勻質(zhì)球體（球殼）；③質(zhì)點(diǎn)和勻質(zhì)球體（球殼）。

教學(xué)評價(jià)：教學(xué)在講解引力公式的適用條件時(shí)，許多老師直接告知條件，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)就會充滿疑惑，全然不知緣故。該案例，從對兩物體間距離r進(jìn)行討論，由質(zhì)點(diǎn)到一般物體（不能看做質(zhì)點(diǎn)）的討論，將物體微元分割成無數(shù)質(zhì)點(diǎn)，然后求出兩物體間任意兩質(zhì)點(diǎn)間的引力累積求和，教學(xué)中再次滲透微元思想。教學(xué)過程注重過程和方法的培養(yǎng)，學(xué)生有體會、參與過程。

（二） 例題拓展，示范啟發(fā)

物理教學(xué)中選取的例題，在解題的思路與方法上具有典型性和代表性，在由知識轉(zhuǎn)化為能力的過程中具有示范性和啟發(fā)性。

案例2

例1：某力F=20N作用于半徑r=0.5m的轉(zhuǎn)盤的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向始終與作用點(diǎn)的切線方向一致，則轉(zhuǎn)動一周這個(gè)力F做的總功應(yīng)為多少？

解析：把圓周分成無限個(gè)小元段，每個(gè)小元段可認(rèn)為與力在同一直線上，則轉(zhuǎn)一周中各個(gè)小元段做功的代數(shù)和為

W=F×2πr=20N×2π×0.5m=62.8J

例2：一個(gè)質(zhì)量為m的小球放在光滑的水平面上，以v的速度繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，其半徑為r，求運(yùn)動一周繩子對小球所做的功。

解析：受力分析，繩子對小球的拉力始終指向圓心，是變力。同上題把圓周分成無限個(gè)小元段，每個(gè)小元段與力垂直，故不做功。所以拉力不做功。

案例3

如圖4所示，以不變的速率v通過繩拉河中的小船，當(dāng)繩與水平方向成θ角時(shí)，求小船的瞬時(shí)速度。

圖4

解析：取很小段時(shí)間，船從A移到B位置，因?yàn)闀r(shí)間取得非常小，所以有上圖的關(guān)系，v1=ABΔt=ΔscosθΔt=vcosθ。

這個(gè)表達(dá)式的得出，其實(shí)是在Δt很小時(shí)成立的。

在學(xué)習(xí)中時(shí)常會碰到許多需要借助微元思想的題型，在對例題的分析，我們讓學(xué)生進(jìn)一步地體會微元思想的作用，并強(qiáng)化學(xué)生“化變?yōu)楹?，化曲為直”的思想?/p>

三、 微元思想對物理教學(xué)的意義

浙江省普通高中新課程實(shí)驗(yàn)《學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見》將教學(xué)要求分“基本要求”“發(fā)展要求”，微元思想運(yùn)用在教材中多次出現(xiàn)，并且是作為學(xué)生的“發(fā)展要求”，是要求學(xué)生理解、并能運(yùn)用的思想方法。微積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高中涉及比較淺顯，且在高中數(shù)學(xué)教學(xué)上也是晚于物理，作為一種重要的思想方法，在平時(shí)教學(xué)中適時(shí)地拓展，逐漸滲透并掌握，運(yùn)用到今后選修課程的教學(xué)中。

微元思想是高中物理學(xué)習(xí)中的一種重要的思想。對于一個(gè)具體的物理實(shí)體或物理過程，運(yùn)用微元法進(jìn)行無限分割，“化曲為直，化變?yōu)楹恪?。微元思想豐富了處理問題的手段，拓展了我們的思維，使學(xué)生認(rèn)識世界的一種世界觀的轉(zhuǎn)變，達(dá)到一種思想境界的升華，培養(yǎng)學(xué)生物理學(xué)科素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.物理必修教材[M].北京：人民教育出版社，2010.

[2]王溢然，束炳如.中學(xué)物理思維方法叢書[M].鄭州：河南教育出版社，1999.

作者簡介：

吳思大，浙江省麗水市，浙江省慶元中學(xué)。