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(華僑中學(xué)，福建 福州 350004)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)注的核心能力，反映數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《新課標(biāo)》)指出：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等[1].由此可見，數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅是《新課標(biāo)》中所指的六大核心素養(yǎng)之一，更是六大核心素養(yǎng)中最基本、最基礎(chǔ)的素養(yǎng).沒有最基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析都將變?yōu)闊o源之水、無本之木.數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)既是各種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個最基本的出發(fā)點(diǎn)，也是一個最重要的落腳點(diǎn)，更是最具有綜合性的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因此我們要落實(shí)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算，就必須貫徹到每一節(jié)課的課堂教學(xué)之中，就必須落實(shí)到每一個具體問題的解決過程之中.下面筆者以高一數(shù)學(xué)教學(xué)過程兩個典型案例的解決為例，說明如何落實(shí)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

1 問題提出

在新一輪課程改革過程中，如何讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)到課堂，教師首先要更新教育理念，要以人為本，尊重學(xué)生的個性發(fā)展，積極引導(dǎo)，善于引導(dǎo)，面對問題不抱怨、不氣餒、不等待、不觀望、不推卸、不盲目，讓數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)真正落地，讓滋潤學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的舉措真正有效.筆者從高一年段開始，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面狠下功夫，堅持“平平常常有素，點(diǎn)點(diǎn)滴滴滋養(yǎng)”，卓有成效.

數(shù)學(xué)運(yùn)算問題不僅是困擾學(xué)生學(xué)習(xí)的“絆腳石”，也是教師教學(xué)質(zhì)量和效率提高的突出障礙.在以往的教學(xué)過程中，常常聽到教師抱怨學(xué)生的運(yùn)算能力差，并把原因歸結(jié)為小學(xué)、初中階段，認(rèn)為高中數(shù)學(xué)教學(xué)重要的不再是運(yùn)算能力的培養(yǎng)，而是思維能力的培養(yǎng)，因此忽視對運(yùn)算能力的培養(yǎng)與關(guān)注.針對這種情況，筆者在高一年級新學(xué)期就開始關(guān)注數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，努力做到“訓(xùn)練有素，滋養(yǎng)有方”.

2 問題的探究

2.1 讓數(shù)學(xué)課堂成為培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的“良田”

學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)要貫徹到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，不能有半點(diǎn)懈怠，小學(xué)、初中階段要培養(yǎng)運(yùn)算能力，高中階段更要培養(yǎng)運(yùn)算能力，只是層次更高、水準(zhǔn)更高，培養(yǎng)運(yùn)算素養(yǎng)更是刻不容緩！

案例1在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性時，教師在課堂上和學(xué)生一起品嘗了一個看似普通、但是又極具教學(xué)意義的數(shù)學(xué)問題.其實(shí)作為數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該意識到核心素養(yǎng)的落實(shí)一定要貫徹問題解決過程的始終，也就是一定要有新課程改革的教學(xué)理念.首先我們給出原問題如下：

例1已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(其中a≠0,a,b是常數(shù))滿足下列條件:①f(x-1)=f(3-x)；②方程f(x)=2x有兩個相等的實(shí)數(shù)根.

1)求函數(shù)f(x)的解析式.

2)問：是否存在實(shí)數(shù)m,n(其中m

當(dāng)遇到問題時，尤其是學(xué)生感到陌生的問題時，如何解決、如何思考、如何運(yùn)算正是考量師生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)高低、數(shù)學(xué)能力強(qiáng)弱的絕佳素材，如何開展教學(xué)呢？筆者的做法是：

1)理解運(yùn)算對象，感受運(yùn)算過程.

首先要求每一個學(xué)生都要仔細(xì)閱讀問題，明晰問題的條件是什么？想到了哪些與之相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，最終要想解決一個什么問題？此時有學(xué)生提出：明白第二個條件的含義，但是第一個有點(diǎn)難懂.于是筆者帶領(lǐng)學(xué)生重點(diǎn)攻克和理解第一個條件，先引導(dǎo)學(xué)生理解高中數(shù)學(xué)中函數(shù)符號的意義，把能夠想到的問題加以解決，于是有了下面的解法：

解法1根據(jù)題意得

即

亦即

解得a=-1,b=2,從而f(x)=-x2+2x.

在這個過程中，學(xué)生經(jīng)歷了什么呢？學(xué)生要對看上去比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)對象進(jìn)行基本的運(yùn)算和化簡整理，從而見到問題的曙光.這一過程是非常必要的，不親身體驗(yàn)無法感知到理解運(yùn)算的重要性，也無法提高對運(yùn)算能力的理解和認(rèn)知水平.至此運(yùn)算這一核心素養(yǎng)的落實(shí)是不是就達(dá)到目的了呢？筆者認(rèn)為還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還要繼續(xù)努力、引導(dǎo)、探索.

2)探究運(yùn)算思路，提升思維能力.

圖1 圖2

① 由f(a+x)=f(a-x)知f(x)圖像的對稱軸為x=a.

解法2根據(jù)題意得

解得a=-1,b=2,從而f(x)=-x2+2x.

學(xué)生真切體會到了思考的成果、思考的樂趣、探究的快樂，深思少算，深思勝算！

3)選擇運(yùn)算方法，滲透數(shù)學(xué)思想.

上述解決問題的過程由繁到簡、由難到易，不斷轉(zhuǎn)化，從而理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的魅力所在.但是我們的數(shù)學(xué)教學(xué)并不能滿足已經(jīng)獲得的知識與經(jīng)驗(yàn)，還要繼續(xù)深刻反思運(yùn)算思路的合理性與簡捷性，不斷思考，不斷創(chuàng)新.前面嘗試了由特殊到一般的思考過程，筆者讓學(xué)生思考“對已知條件還有沒有更好的理解和認(rèn)識”，得到

這里再從一般到特殊，于是有了問題的第3種解法.

解法3根據(jù)題意得f(0)=f(2),且ax2+bx=2x有兩個相等實(shí)數(shù)根，從而

解得a=-1,b=2,于是f(x)=-x2+2x.

4)重視運(yùn)算結(jié)果，提高抽象能力.

對于第2)小題，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生分析思考，首先對函數(shù)f(x)=-x2+2x進(jìn)行整體認(rèn)知

f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,

值域y∈(-∞,1]，對稱軸為x=1，單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).

為了使定義域?yàn)閇m,n]，值域?yàn)閇4m,4n]，則

4m<4n≤1,

即

從而f(x)在[m,n]上單調(diào)遞增，因此

解得

由m

5)變換運(yùn)算背景，提升思維品質(zhì).

為了把數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)落實(shí)到位，不斷提高學(xué)生的思維能力，要不斷變換運(yùn)算背景，提高學(xué)生的應(yīng)變能力，舉一反三.數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和思維能力的提高不能僅僅滿足于模仿與記憶，于是筆者提出下面3個問題(其中m

①是否存在m,n，使得函數(shù)f(x)的定義域和值域都是[m,n]？

②是否存在m,n,使得函數(shù)f(x)的定義域和值域分別是[4m,4n],[m,n]？

③是否存在m,n,使得函數(shù)f(x)的定義域和值域分別是[m,n],[-n,-m]？

對于問題①，②學(xué)生能很快解決，但是對于問題③學(xué)生會有一定的困難，我們就要不失時機(jī)地進(jìn)行有效的引導(dǎo)和點(diǎn)撥，給學(xué)生提供思考的空間.由于-n<-m≤1，即n>m≥-1，因此需要分類討論如下：

當(dāng)-1≤m

即

1=m+n<2n,

從而

即

n2-n-1=n(n-1)-1<0,

與n2-n-1=0矛盾，此時無解.

當(dāng)-1≤m≤11)，于是m=-1,n=3.

綜上所述，m=-1,n=3.

2.2 讓數(shù)學(xué)問題成為滋養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的“沃土”

案例2任何一個數(shù)學(xué)問題的解決都離不開數(shù)學(xué)思考，離不開數(shù)學(xué)運(yùn)算，因此恰當(dāng)選擇數(shù)學(xué)案例，從點(diǎn)滴做起，努力做到“平平常常真功夫，點(diǎn)點(diǎn)滴滴真滋養(yǎng)”.在學(xué)習(xí)分段函數(shù)時，筆者帶領(lǐng)學(xué)生一起探究下面的問題.

例2已知a>0，函數(shù)

若關(guān)于x的方程f(x)=ax恰有2個互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是______.

(2018年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

選擇這個問題作為學(xué)生運(yùn)算能力培養(yǎng)的素材，最開始教師們的意見很不一致，很多人認(rèn)為太難，要求太高.這樣難度大的高考題不適合高一學(xué)生解決，但是通過探究、嘗試分析，發(fā)現(xiàn)其難度不但不大，而且起到了良好的示范作用，關(guān)鍵是教師不要把自己的想法強(qiáng)加于人，而是循循善誘，不斷開拓，找到學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，過程如下：

方法1分類討論，算出真相.

根據(jù)題意，原問題可轉(zhuǎn)化為

共有兩個不同的實(shí)數(shù)解，即方程x2+ax+a=0(其中a>0)有負(fù)根，方程x2-ax+2a=0(其中a>0)有正根，且兩個方程共有兩個實(shí)數(shù)根，因此有3種可能：

由此可見，運(yùn)用一元二次方程根的判別式解決問題，可以有效降低難度，提高運(yùn)算素養(yǎng)，滲透分類意識.

方法2數(shù)學(xué)結(jié)合，看出真相.

上述問題的解決方法很多，有的教師居高臨下，解決問題喜歡“高大上”，把問題引向多個方向，有運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的，也有運(yùn)用對勾函數(shù)的等等.但是，我們不能強(qiáng)加于人，不能強(qiáng)人所難，要站在學(xué)生的立場上，與學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)接軌，而不是一廂情愿.不能把簡單問題復(fù)雜化，而是要因繁就簡，要因勢利導(dǎo).下面探究更能突出問題本質(zhì)的解法[2].

原問題通過簡單的運(yùn)算變形，可以轉(zhuǎn)化為兩個方程解的問題：x2=-a(x+1)(其中a>0,x≤0)和x2=a(x-2)(其中a>0,x>0)，于是雙邊參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為單邊參數(shù)問題，一邊常態(tài)，一邊動態(tài)，有效降低難度.問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x2與函數(shù)

圖3

(其中a>0)的圖像交點(diǎn)個數(shù)問題.畫出兩個函數(shù)的圖像，如圖3所示：畫出虛線y=a(x-1)(其中a>0,x>0).不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)左邊直線與拋物線有一個公共點(diǎn)時，右邊直線與拋物線相離，因此只有左邊相交、右邊相離時有且只有兩個交點(diǎn)，即

得4

至此，我們認(rèn)真反思解題教學(xué)，深入挖掘數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)特征，深入淺出，拳拳之心，點(diǎn)點(diǎn)滴滴，躍然紙上.愛護(hù)學(xué)生，尊重學(xué)生，不是口號，而是行動，關(guān)注核心素養(yǎng)，首先要更新教育理念，不斷提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3].

3 問題啟示

章建躍教授說：“數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)的‘命根子’，數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)的‘童子功’，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的載體就是推理和運(yùn)算.”因此，我們要把落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)貫徹到具體的數(shù)學(xué)問題的解決過程中，尤其是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)絕非一朝一夕、一日之功，一定要堅持始終，細(xì)雨潤物，潤物無聲.落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)應(yīng)成為教學(xué)過程的常態(tài)理念，把數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)與其他數(shù)學(xué)素養(yǎng)的落實(shí)有機(jī)結(jié)合，有機(jī)整合，有機(jī)融合，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)既是核心素養(yǎng)的出發(fā)點(diǎn)，也是重要的落腳點(diǎn).因此在平時教學(xué)過程中，我們要一以貫之，一絲不茍，始終堅守落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理念，讓核心素養(yǎng)落實(shí)到每一節(jié)課，尤其是數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng)要落實(shí)到每一個具體問題的解決過程之中，真正做到平常有“素”、點(diǎn)滴滋“養(yǎng)”.