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(閩清教師進修學校,福建 閩清 350800)

“交流與反思”是數(shù)學核心素養(yǎng)的主要體現(xiàn)之一，其主要是指“能夠用數(shù)學語言直觀地解釋和交流數(shù)學的概念、結(jié)論、應用和思想方法，并能進行評價、總結(jié)與拓廣”[1].對話是交流與反思的主要途徑．數(shù)學教學是一場深度對話，是師生、生生間的語言對話，也是師生與數(shù)學文本的對話，還是師生教學反思的自我對話，更是師生與數(shù)學本質(zhì)的對話．通過深度對話讓學生在“對話”中經(jīng)歷數(shù)學概念和結(jié)論的形成與發(fā)展過程，提升交流與反思能力，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)．本文以一道高考壓軸題的探究為例，闡述數(shù)學對話教學的體會．

1 標解疑惑

筆者課前把2018年浙江省數(shù)學高考壓軸題及命題組給出的參考答案印發(fā)給學生，要求學生與參考答案對話，思考命題組的思路是怎樣形成的，是否還有不同的思路．

1)若f(x)在x=x1,x=x2(其中x1≠x2)處導數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)>8-8ln 2.

2)若a≤3-4ln 2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點．

(2018年浙江省數(shù)學高考試題第22題)

命題組給出的第2)小題的參考答案為：

f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0，

于是存在x0∈(m，n)使f(x0)=kx0+a．因此，對于任意的a∈R及k∈(0，+∞)，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有公共點……

對話體會數(shù)學文本一般只呈現(xiàn)邏輯結(jié)論，省略了數(shù)學概念、結(jié)論、應用的形成發(fā)展過程．因此要求師生與文本進行對話，從本質(zhì)上把握文本意義．在與文本對話時要努力挖掘被省略的知識發(fā)生、發(fā)展過程，把數(shù)學文本的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)．

2 問題探究

f(m)-km-a>0,f(n)-kn-a<0,

讓人如墜煙海，百思不得其解．

生1：直線y=kx+a與曲線y=f(x)公共點個數(shù)等價于方程f(x)=kx+a實根的個數(shù).設(shè)

等價于函數(shù)g(x)零點的個數(shù)．對k>0，當x→0+時，g(x)→+∞，當x→+∞時，g(x)→-∞，由圖像知，連續(xù)函數(shù)g(x)在(0，+∞)上至少存在一個零點．

師：直觀想象有助于思維，但不能替代邏輯推理．

生2：根據(jù)零點存在定理，要找到正數(shù)m，n使g(m)>0，g(n)<0．根據(jù)以往經(jīng)驗，取特殊函數(shù)值

g(1)=1-k-a，

但都不能確定其符號．

生3：g(x)中含有k,a，所找正數(shù)m，n應該也含有k,a，但具體是什么很難知道．

(學生苦思冥想，找不到突破的方向，求助的目光投向教師．)

師：以前所找的特殊函數(shù)值能確定符號可能是巧合或函數(shù)比較簡單．能否把g(x)化歸為簡單的函數(shù)，即把g(x)放縮為簡單的函數(shù)h(x)，使g(x)>h(x)(或g(x)

h(m)≥0(或h(n)≤0)，

則

g(m)>0(或g(n)<0)．

-(1+k)x+1-a.

(全班為生4鼓掌.)

師：生4利用重要不等式lnx≤x-1把超越函數(shù)g(x)放縮為一次函數(shù)后找到m．還可怎么找？

則

當x∈(4,+∞)時，t′(x)>0，t(x)單調(diào)遞增；當x∈(0,4)時，t′(x)<0，t(x)單調(diào)遞減，故

t(x)≥t(4)=2-2ln 2,

令2-2ln 2-kx-a=0，解得

生6：當x>0時，由k>0得-kx<0，方向不對，無法縮?。?/p>

師：是啊方向不對，希望得到-kx>____的不等式．

生6：當x>0時，得不到-kx>____的不等式．

師：對，除非對x設(shè)定范圍，怎么設(shè)定？

生6：-kx>____,即x<____，最簡單就是設(shè)0-k，從而

令-lnx-k-a=0，解得

x= e-(k+a)，

于是取m= e-(k+a)時，g(m)>0．

生7：似乎不妥．當00，當k>0,a≤3-4ln 2時，不能保證k+a>0．

生8：取m= e-(k+|a|)，滿足0

師：是從參考答案中看到的還是自己想到的？

生8：修改一下生6的解法就可以了！當0

-lnx-k-|a|,

令-lnx-k-|a|=0，解得x= e-(k+|a|)，于是取m= e-(k+|a|)時，g(m)>0．

(教室里掌聲雷動．)

師：太棒了，你們還原了命題專家的心路歷程，可以參加高考命題了！

對話體會在問題探究時，教師使用啟發(fā)性話題，即引導學生一步步走向問題解決的鋪墊性話題．話題緊貼學生思維最近發(fā)展區(qū)，在學生思維頓塞處引導學生不斷地運用已有的知識經(jīng)驗，通過一系列循序漸進的感知、體驗和探究，促進數(shù)學知識的建構(gòu)和數(shù)學結(jié)論的發(fā)現(xiàn)．

學生的對話，教師要予以評價．當學生回答不出問題時，教師要予以救場，給學生提供支持和幫助，呵護學生的自尊心；當學生理解錯誤時，教師要予以歸因，讓學生剖析問題的癥結(jié)；當學生觀點可取時，教師要予以采納，保護學生對話的積極性；當學生取得成果時，教師要予以贊賞，促使學生進入情緒高昂和智力振奮的學習狀態(tài)．

師：再尋找n．

生9：要尋找n使g(n)<0，需把g(x)放大為簡單的函數(shù)，為消去lnx，根據(jù)生6、生8的經(jīng)驗，設(shè)x>1，則

師：生11把g(x)放大為h(x)，再通過解不等式h(x)≤0尋找n，這種做法更具一般性．

生12：當x>1時，

生13：當x>1時，kx>k,lnx>0，從而

當x>1時，也不能保證不等式(1-k)x-a≤0有解．

生(眾)：山窮水盡疑無路．

師：當x>1時，影響(1-k)x-a≤0有解的因素有哪些？

生15：x項系數(shù)含有字母k……

師：能否使x項系數(shù)不含k？

生16：提取k，當x>1時，

生17：提取x，當x>1時，

做不下去了．

(全體學生激情綻放.)

對話體會問題是思維的源泉，是對話的焦點．對難度較大的問題，學生往往思路茫然、解題錯誤、答非所問、理解偏差，這些讓教學一波三折的跌跌撞撞真實地反映了學生知識、方法上存在的問題，袒露了學生的思維現(xiàn)狀，使教師能即時掌握學情，極具教學價值．對學生的跌跌撞撞，教師不能置之不理，也不要急于糾正學生的錯誤，更不能直接拋出預設(shè)的方法．教師要因勢利導，引發(fā)師生、生生間的深度對話，在對話中互相修正、互相補充、互相借鑒、互相啟發(fā)，從而激發(fā)學生的元認知活動．

師：我欣慰地感到同學們的邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)學抽象素養(yǎng)在提升．現(xiàn)在反思本課的學習，總結(jié)探求函數(shù)零點存在區(qū)間的策略．

學生踴躍發(fā)言，教師補充整理：

探求函數(shù)零點存在區(qū)間，即在零點兩側(cè)探求實數(shù)m,n(可以是一個具體的數(shù)、式或區(qū)間)，使f(n)f(m)<0．

1)特值驗證：根據(jù)函數(shù)式的特征，取特殊自變量m，驗證是否滿足f(m)>0(或f(m)<0);

2)解不等式：當不等式f(x)>0(或f(x)<0)可解時，可直接通過解不等式求出滿足f(m)>0(或f(m)<0)的實數(shù)m;

3)放縮化歸：當f(x)較復雜時，可將f(x)放縮為簡單的函數(shù)g(x)，使f(x)>g(x)(或f(x)0(或f(m)<0)．

為便于放縮，可根據(jù)函數(shù)圖像和解析式特征在某限定范圍內(nèi)進行放縮．對含有指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的要注意運用重要不等式ex≥x+1,lnx≤x-1進行放縮．

對話體會教師使用反思性話題，讓學生反思學習過程，在自我對話的基礎(chǔ)上師生總結(jié)出解決問題的通法通則，彰顯自我人性，把握數(shù)學本質(zhì)．

師(下課鈴聲響了)：試題是否有幾何背景？試題能否拓展？請同學們課后思考，下課！

對話體會為給學優(yōu)生創(chuàng)設(shè)思維馳騁的空間，教師在課末使用拓展性話題，要求學生進一步提出可拓展延伸的問題．本試題的幾何背景是當直線y=kx+a為過y=f(x)圖像拐點(16,4-4ln 2)的切線時，a=3-4ln 2．由圖形知當a≤3-4ln 2時，對任意k>0，直線y=kx+a與y=f(x)有唯一公共點．

3 結(jié)束語

巴西學者弗萊雷認為：沒有了對話，就沒有了交流；沒有了交流，也就沒有真正意義的教育[2]．在新一輪課程改革中，教師要以“對話教學”為抓手，提升學生交流與反思的能力．通過深度對話，在思維建構(gòu)中把握本質(zhì)，形成素養(yǎng)；在交流中取長補短，互惠共贏；在反思中內(nèi)化醒悟，加深理解；在評價中樹立信心，體驗喜悅；在總結(jié)中揭示規(guī)律，提煉通法；在拓展中深化思維，提出命題．