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(惠州市實驗中學，廣東 惠州 516008)

1 試題及其解答

例1已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

1)若f(x)≥0，求a的值；

(2017年全國數(shù)學高考卷Ⅲ理科試題第21題)

1.1 考查目標

第1)小題的設計面向全體考生，在理解導數(shù)概念的基礎上，考生如果能夠準確應用導數(shù)公式和求導法則進行運算，根據(jù)題目條件即可確定參數(shù)的取值；第2)小題以第1)小題為起點，推出ln(1+x)≤x，對題目中的連乘式取對數(shù)，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，展開成和的形式，借助前面得到的不等式，轉化為等比數(shù)列的和，求出等比數(shù)列和的上界，考查應用“以直代曲”思想證明較復雜數(shù)列不等式的能力，試題難度較大.

1.2 解法探究

1.2.1 第1)小題的解答

f(a)=a-1-alna,

因此當x∈(0,+∞)時，f(x)≥0的充要條件是a-1-alna≥0.

設g(x)=x-1-xlnx，則

g′(x)=-lnx,

從而g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，于是g(x)在(0,+∞)上的最大值為g(1)=0，因此當a≠1時，

a-1-alna<0,

故a=1.

解法2f(1)=1-1-aln 1=0,由f(x)≥0知x=1為f(x)的極小值點，從而

f′(1)=1-a=0，

因此a=1.

因為f(1)=0，所以f(x)≥0，故a=1.

1.2.2 第2)小題的解答

因此

從上述解答可以看出，該題是一道常規(guī)導數(shù)壓軸試題，層次分明，內(nèi)容豐富，區(qū)分度較高，使不同考生理性思維的廣度和深度得到了充分展示，可以較好地考查考生進一步學習的潛能，可以引導中學數(shù)學教學注意認真提煉和總結解題方法，不斷提高考生的邏輯推理能力、分析綜合能力、運算求解能力和問題轉化能力[1].實際上，這道試題是源于課本又不拘泥于課本的高考題，考生的解答并不理想，讓筆者陷入了深深的沉思……

2 追根溯源——“以直代曲”思想

例2[2]利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過函數(shù)直觀驗證：

1) sinx

2)x-x2>0,其中x∈(0,1)；

3) ex>1+x,其中x≠0；

4) lnx0．

(人教A版《數(shù)學(選修2-2)》的習題1.3B組第1題)

可以看出，例1是由例2的第4)小題改編而來的，這正是“以直代曲”思想的集中體現(xiàn).

“以直代曲”思想，即是用簡單、熟悉的直線去逼近復雜、陌生的曲線．我們常用直線(更多的時候是用曲線在某點處的切線)去逼近指數(shù)曲線、對數(shù)曲線等復雜的曲線，即

ex≥x+1,

(1)

lnx≤x-1,

(2)

式(1)和式(2)可以改寫為下面的等價形式

ln(x+1)≤x,

(3)

ex-1≥x,

(4)

上述不等式(2)正是例1第2)小題所使用的不等式.

顯然，上述4個不等式實質(zhì)上是等價的，左邊為學生較為害怕的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，右邊是學生最為熟悉的也是最簡單的一次函數(shù)．有時還會遇到更為復雜的函數(shù)，如

(5)

xlnx≥x-1

(6)

(其中函數(shù)y=xlnx出現(xiàn)在人教A版《數(shù)學(選修2-2)》第18頁第6題),

ln(x2+1)0),

(7)

當然，也可以用二次函數(shù)(即拋物線)去逼近較為復雜的指數(shù)型或對數(shù)型函數(shù)，如

(任意x≥0).

(8)

早在2013年，筆者有幸參加廣東省惠州市高中數(shù)學青年教師改編題(說題)比賽，要求參賽教師參照現(xiàn)行教材，獨立改編教材中的典型例題、習題、練習題等，改編的試題要求符合(或者基本符合)高考考試大綱,并具有一定的創(chuàng)新性.為此筆者基于“以直代曲”思想對上述課本習題進行了改編嘗試，得到了評委的一致好評.現(xiàn)整理出來，與廣大讀者共勉.

3 改編題

3.1 改編題賞析

例3(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+1),其中a∈R.

1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

2)若a>0時，函數(shù)f(x)恰有一個零點，求實數(shù)a的值；

3.2 改編思路及考查目標

本改編題將例2第3)小題的“以直代曲”思想及其“累乘法”有機地融合在一起，采用“遞進”的設問方式，考查函數(shù)與導數(shù)、函數(shù)與數(shù)列、數(shù)列與不等式等熱點知識.例3難度設置合理，區(qū)分度較好:第1)小題考查含參函數(shù)的單調(diào)性判斷，突出分類討論思想；第2)小題在第1)小題的基礎上，考查由單調(diào)性畫出函數(shù)草圖，進而求得函數(shù)恰好有一個零點時實數(shù)a的值，突顯數(shù)形結合的優(yōu)越性；第3)小題考查“以直代曲”思想在證明數(shù)列不等式中的應用，考查轉化與化歸、函數(shù)方程不等式的數(shù)學思想方法．

3.3 詳細過程及評分標準

1)解因為f(x)=ex-a(x+1),其中a∈R，所以

f′(x)=ex-a(得1分).

當a≤0時,f′(x)>0，從而函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減(得2分)；當a>0時，令f′(x)=ex-a=0，得x=lna(得3分)，從而函數(shù)f(x)在[lna,+∞]上單調(diào)遞增，在(-∞,lna]上單調(diào)遞減(得4分).

2)由第1)小題知：當a>0時，函數(shù)f(x)在[lna,+∞)上單調(diào)遞增，在(-∞,lna]上單調(diào)遞減(得6分).要使函數(shù)f(x)恰有一個零點，只需函數(shù)f(x)的最小值為0，即

f(x)min=f(lna)=0，

解得a=1(得8分).

3)證明由第1)小題知：當a=1時，

f(x)=ex-(x+1)≥f(x)min=0，

4 應用“以直代曲”思想改編試題的兩大方向

方向1改變設問的方式.

變式1(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ex,其中x∈R．

1)求函數(shù)f(x)在點(0,1)處的切線l的方程；

2)證明：除切點(0,1)外，函數(shù)f(x)的圖像總在切線l的上方；

改編思路及考查目標變式1以常用的指數(shù)函數(shù)y=ex為載體，入手既簡單又熟悉，采用“遞進”的設問方式，逐層深入．第1)小題考查指數(shù)函數(shù)的導數(shù)、切線方程的求法，難度較小，屬簡單題；第2)小題考查轉化化歸思想，突顯數(shù)形結合思想的應用；第3)小題考查應用“以直代曲”思想證明較復雜的數(shù)列不等式，難度較大，區(qū)分度較好．

1)解因為f(x)=ex,所以f′(x)=ex(得1分)，則切線的斜率k=f′(0)=e0=1(得2分)，從而函數(shù)f(x)在點(0,1)處的切線方程為y-1=1·(x-0)，即y=x+1(得3分)，于是函數(shù)f(x)在點(0,1)處的切線l的方程為y=x+1(得4分).

2)證明令g(x)=f(x)-(x+1)=ex-x-1，則g′(x)=ex-1(得5分)，從而函數(shù)g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，在(-∞,0]上單調(diào)遞減(得6分)，于是g(x)有最小值，即

g(x)min=g(0)=0(得7分).

因此，當x≠0時，g(x)>0,即f(x)>x+1，也就是除切點(0,1)外，函數(shù)f(x)的圖像總在直線y=x+1的上方(得8分).

即

方向2改變函數(shù).

1)求l的方程；

2)證明：除切點(1,0)之外，曲線C在直線l的下方；

(2013年北京市數(shù)學高考理科試題第18題改編)

(注：其中第1)小題和第2)小題為2013年北京市數(shù)學高考理科試題，第3)小題和第3)′小題為筆者改編.)

改編思路及考查目標變式2第1)小題考查導數(shù)的幾何意義，難度較小，屬常規(guī)題；第2)小題考查函數(shù)不等式的證明，考查轉化化歸思想，突顯數(shù)形結合思想的應用；第3)小題和第3)′小題從兩個不同的角度來命制試題，考查應用“以直代曲”思想證明較復雜的數(shù)列不等式的能力，試題難度較大，區(qū)分度較好．

從而曲線在點(1,0)處的切線斜率為

k=f′(1)=1(得2分),

于是切線方程為y-0=1·(x-1)，即y=x-1(得3分)，因此直線l的方程為y=x-1(得4分).

2)證明令g(x)=x-1-f(x)，則除切點(1,0)之外，曲線C在直線l的下方等價于g(x)>0(任意x>0,x≠1)(得5分)，g(x)滿足g(1)=0，且

當01時，x2-1>0，lnx>0,從而g′(x)>0，于是g(x)單調(diào)遞增(得7分).因此，g(x)>g(1)=0(任意x>0,x≠1)，除切點(1,0)之外，曲線C在直線l的下方(得8分).

即

即

因此結論成立(得12分).

在平時的復習教學中，要重視教材中的例題、習題、練習題、復習參考題、思考或探究問題整合改編而成的高考題，改編的途徑主要有：或者只變換題目數(shù)據(jù)；或者由兩個(或者更多)條件合在一起變更數(shù)據(jù)，有的加強或減少條件，有的降低或提高思維的深度與廣度；或者由教材的多個題目經(jīng)過整合加工而成，在知識的交匯處命題，加強問題的綜合性，增強數(shù)學運算的復雜性,提升數(shù)學思想方法運用的靈活性，增強區(qū)分度[3].