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(海安市實(shí)驗(yàn)中學(xué),江蘇 海安 226600)

這是江蘇省海安市高三期中調(diào)研考試中的一道填空題，得分較低.題意用文字語言可敘述為：函數(shù)f(x)=|x2+ax+b|(其中x∈[1,2])，對于取定的實(shí)數(shù)組(a,b)，函數(shù)f(x)的最大值為M(a,b)，其中c≤M(a,b)，當(dāng)取遍所有實(shí)數(shù)組(a,b)時(shí)，c≤M(a,b)，從而c≤M(a,b)min，因此c的最大值就是函數(shù)f(x)最大值M(a,b)的最小值,即M(a,b)min．由此可見，求解本題的關(guān)鍵是研究M(a,b)min．

1 分析求解

該題絕對值內(nèi)是關(guān)于x的二次函數(shù)，研究函數(shù)f(x)=|x2+ax+b|(其中x∈[1,2])的最大值轉(zhuǎn)化為研究二次函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的最大值和最小值，根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，可分4種情形討論如下：

分析1由題意知存在x∈[1,2]，使g(x)=x2+ax+b的最大值不小于c或g(x)=x2+ax+b的最小值不大于-c對任意的a,b均成立.

2 抽象、概括、再出發(fā)

圖1

函數(shù)g(x)=x2+ax+b(其中x∈[1,2])圖像上點(diǎn)到x軸距離的最大值就是函數(shù)f(x)=|x2+ax+b|(其中x∈[1,2])的最大值M(a,b).通過觀察圖像可以發(fā)現(xiàn)，在圖1-3中，當(dāng)最大值與最小值互為相反數(shù)時(shí)，M(a,b)最?。?/p>

3 換角度再論證

回顧分析2，利用函數(shù)g(x)圖像上的點(diǎn)到x軸的距離就是函數(shù)值g(x)的絕對值|g(x)|，借助于圖形直觀，快速破解一道難題，心有快意，但又忐忑，因?yàn)檫@有猜的嫌疑．

從分析2的過程注意到絕對值的幾何意義是表示距離，若取函數(shù)h(x)=x2+ax，則f(x)=|x2+ax+b|=|h(x)-(-b)|表示函數(shù)y=h(x)上的點(diǎn)到直線y=-b的距離．

分析3記函數(shù)h(x)=x2+ax(其中x∈[1,2])的最大值為s，最小值為t；函數(shù)f(x)=|x2+ax+b|(其中x∈[1,2])的最大值為M(a,b).

由上述過程可得結(jié)論1：

4 抓住細(xì)節(jié),挖掘本質(zhì)

關(guān)注到當(dāng)函數(shù)h(x)=x2+ax(其中x∈[1,2])最大值與最小值的差取到最小值時(shí)，函數(shù)y=h(x)在區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等，這是因?yàn)槎魏瘮?shù)y=h(x)的特性，還是因?yàn)橛猩顚哟蔚谋厝辉蚰?？為排除疑惑，將函?shù)h(x)=x2+ax(其中x∈[1,2])換成y=lnx+ax(其中x∈[1,e])等多個(gè)函數(shù)，均有在兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值相等、最大值與最小值的差取到最小值的情形．據(jù)此提出猜想：

證明(充分性)因?yàn)閜(x)為凹函數(shù)，所以p(x)的導(dǎo)函數(shù)p′(x)在區(qū)間[m,n]上單調(diào)遞增.

1)若q(x)的導(dǎo)函數(shù)q′(x)=p′(x)+a在區(qū)間(m,n)上存在零點(diǎn)，記為x0，則

-p′(n)

因?yàn)閜′(x)為增函數(shù)，所以在區(qū)間[m,x0)上q′(x)<0，得q(x)在區(qū)間[m,x0)上單調(diào)遞減；在區(qū)間(x0,n]上q′(x)>0，得q(x)在區(qū)間(x0,n]上單調(diào)遞增.

①若q(m)=q(n)，即

則函數(shù)q(x)最大值與最小值的差是

q(m)-q(x0)=p(m)-p(x0)+(m-x0)a=

或q(n)-q(x0)=p(n)-p(x0)+(n-x0)a=

②若q(m)>q(n)，即

則函數(shù)q(x)最大值與最小值的差是

q(m)-q(x0)=p(m)-p(x0)+(m-x0)a>

p(m)-p(n)+p(n)-p(x0)+

參照情形②的證明過程可得

q(n)-q(x0)>p(m)-p(x0)+

q(m)-q(n)>q(m)-q(x0)=

p(m)-p(x0)+(m-x0)a>

q(n)-q(m)>p(n)-p(x0)+

綜合1)～3)可知：當(dāng)q(m)=q(n)時(shí)，q(x)的最大值與最小值的差取到最小值．

(必要性，用反證法)假設(shè)q(x)=p(x)+ax(其中a為常數(shù))最大值與最小值的差取到最小值時(shí)，q(m)≠q(n).

當(dāng)q(m)≠q(n)時(shí)，由充分性的證明過程可知q(x)=p(x)+ax(其中a為常數(shù))最大值與最小值的差不是最小，矛盾，假設(shè)不成立．

由上可知猜想成立．對于凸函數(shù)同理可證，于是有結(jié)論2：

綜合結(jié)論1和結(jié)論2,可得結(jié)論3：

圖2

依據(jù)結(jié)論3，常數(shù)a的幾何功能是將函數(shù)y=p(x)+ax在區(qū)間[m,n]上兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值調(diào)節(jié)到相等，-b的幾何特征類似于中位線(如圖2)，如此函數(shù)y=|p(x)+ax+b|的最大值方能取到最小值．

5 結(jié)論應(yīng)用

例1設(shè)k,m為實(shí)數(shù)，不等式|x2-kx-m|≤1對所有的x∈[a,b]成立，則b-a的取值范圍是______．

(2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試A卷第9題改編)

即

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

故

例3已知x∈[1,e]，存在常數(shù)a,b使不等式|lnx+ax+b|≤c恒成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是______．

故

眾所周知，自主招生題、高考?jí)狠S題、競賽題通常都是集知識(shí)、方法、能力于一體，綜合考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)、技能、方法和經(jīng)驗(yàn)在有限的時(shí)間內(nèi)解決問題的能力．不少學(xué)優(yōu)生反映，如果時(shí)間充裕，他們一定能解決．俗話說：場內(nèi)考試，場外功，這需要教師在日常解題教學(xué)中，不僅要教授“四基”，還要注重深入探究典型題、熱點(diǎn)題，揭示問題本質(zhì)，讓學(xué)生不在考場手忙腳亂，考后痛心疾首．探究挖掘問題本質(zhì)的過程，是引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，是激發(fā)學(xué)生求知欲、提升思維能力的過程，是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的過程，通過教師的引領(lǐng)和帶動(dòng)，讓學(xué)生逐步養(yǎng)成敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求真的科學(xué)精神．