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(湖州市第二中學(xué),浙江 湖州 313000)

●王勇強(qiáng)

(湖州市教科研中心,浙江 湖州 313000)

1 “同構(gòu)式”源頭——阿基米德三角形

1.1 阿基米德三角形性質(zhì)證明

圖1

我們知道，圓錐曲線的弦與過(guò)弦端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫阿基米德三角形.其中拋物線的阿基米德三角形(如圖1)有許多著名的性質(zhì)，首當(dāng)其沖的便是：

性質(zhì)1[1]阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸.

證明設(shè)P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)，則過(guò)點(diǎn)A的切線方程為

y1y=p(x+x1)，

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，得

同理可得

由上述兩個(gè)同構(gòu)式可得y1,y2為方程y2-2y0y+2px0=0的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,因此y1+y2=2y0,故PM∥x軸.

1.2 類阿基米德三角形性質(zhì)

圖2

上述證明方法與之前阿基米德三角形性質(zhì)1的證明如出一轍，均采取“設(shè)而不求”的思想方法，從點(diǎn)坐標(biāo)的“同構(gòu)式”角度出發(fā)，利用韋達(dá)定理得到結(jié)論[2].事實(shí)上，我們亦可以結(jié)合平面幾何知識(shí)給予證明.

即

同理可得

因?yàn)锳B∥CD,所以

即

yM=yN,

因此MN∥x軸.特殊地，若x1=x2,則△ABC為等腰三角形，結(jié)論亦成立.

思路2結(jié)合平面幾何知識(shí)，更為簡(jiǎn)潔，從AB,CD的斜率表達(dá)式上看，也是一組同構(gòu)式.由此看來(lái)，正因?yàn)閮蓷l割線PA,PB本身具有“同構(gòu)形態(tài)”，所以無(wú)論是代數(shù)方法還是結(jié)合幾何證明，同構(gòu)式的構(gòu)造必然是正確的思考方向.

2 “同構(gòu)式”的應(yīng)用

2.1 同構(gòu)式解類阿基米德三角形

圖3

例1如圖3，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿足PA,PB的中點(diǎn)均在C上.

1)設(shè)AB的中點(diǎn)為M,證明：PM⊥y軸；

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第21題)

2.2 基于真題的“再創(chuàng)造”

既然例1第1)小題的源頭是“阿基米德三角形”性質(zhì)1，那筆者就可以從阿基米德三角形的其他性質(zhì)入手，并可類比到“類阿基米德三角形”中進(jìn)行探究和證明.

性質(zhì)2如圖4，若阿基米德△ABQ底邊即弦AB過(guò)拋物線內(nèi)一定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線.

圖4 圖5

性質(zhì)3如圖5，若阿基米德△ABQ的底邊AB過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F，則頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積最小值為p2.

事實(shí)上，性質(zhì)3是性質(zhì)2的特殊情況，而且此結(jié)論是高中解析幾何試卷中的“常客”.于是筆者猜想：

猜想若類阿基米德△ABP的底邊AB過(guò)拋物線內(nèi)一定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)P的軌跡也是一條直線.

證明令P(x0,y0)，C(a,b),設(shè)直線AB的方程為y-b=k(x-a),與拋物線y2=2px聯(lián)立得

ky2-2py-2pka+2pb=0，

(1)

又由思路1中同構(gòu)式得

(2)

由式(1)和式(2)得點(diǎn)P的軌跡方程為

y2+2pbλy=2p(1+λ)x+2paλ.

(3)

由此得到結(jié)論：類阿基米德三角形底邊AB過(guò)拋物線內(nèi)一定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)P的軌跡方程為拋物線,猜想并不成立.

由此結(jié)論，筆者創(chuàng)編了以下題目：

例2已知A,B為拋物線C:y2=4x上的兩個(gè)點(diǎn)，且直線AB過(guò)定點(diǎn)(1,0)，現(xiàn)存在C外一點(diǎn)P,使得AP,BP的中點(diǎn)均在C上.

1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

2)求S△PAB的取值范圍.

圖6

解1)設(shè)P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2).因?yàn)镻A,PB的中點(diǎn)在拋物線上，所以y1,y2為方程

又因?yàn)锳B過(guò)定點(diǎn)(1,0)，可令其方程為x=ty+1,代入拋物線C的方程，得

y2-4ty-4=0,

則

y1y2=-4,

故

即點(diǎn)P的軌跡方程為

y2=8x+4.

(4)

2)如圖6，取AB的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)PM,則

于是PM∥x軸.而

評(píng)注若將p=2,λ=1,a=1,b=0代入式(3)，即為式(4)，再次驗(yàn)證前文的證明成立.同時(shí)當(dāng)S△PAB最小時(shí)，點(diǎn)P位于對(duì)稱軸上，△PAB為等腰三角形，符合數(shù)學(xué)上的對(duì)稱和諧之美.

3 評(píng)價(jià)及其素養(yǎng)

3.1 運(yùn)算水平的層次解讀

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》)將數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)分成3個(gè)遞進(jìn)的層次.

筆者以例1為例解讀運(yùn)算水平的3個(gè)層次如下：

首先，在例1所呈現(xiàn)的“類阿基米德三角形”圖形中要能夠發(fā)現(xiàn)兩條割線PA,PB具有“同構(gòu)形態(tài)”，從而將該幾何特征轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式的同構(gòu)式.而這個(gè)轉(zhuǎn)化決定了整個(gè)計(jì)算的繁簡(jiǎn)程度，對(duì)素養(yǎng)要求頗高，應(yīng)該算“水平三”；緊接著，通過(guò)同構(gòu)式歸納出方程，在“中點(diǎn)坐標(biāo)”與“韋達(dá)定理”的關(guān)聯(lián)情境中通過(guò)計(jì)算公式進(jìn)行表達(dá)與證明，此處為“水平二”;最后在學(xué)生熟知的情境下，利用“點(diǎn)到直線距離公式”與“弦長(zhǎng)公式”求解三角形面積自然是“水平一”.我們發(fā)現(xiàn)，利用同構(gòu)式求解解析幾何大題時(shí)，最關(guān)鍵的是從幾何特征到同構(gòu)式的轉(zhuǎn)化計(jì)算，是素養(yǎng)要求最高的“水平三”，為后續(xù)的計(jì)算指明了方向.而這轉(zhuǎn)化的過(guò)程中不僅需要運(yùn)算能力，更需要深刻理解、反向推演.因此，計(jì)算的高層次素養(yǎng)中一定蘊(yùn)含了邏輯推理等其他重要素養(yǎng).

3.2 數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的思辨

《新課標(biāo)》對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是這樣描述的：“數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等.數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段.數(shù)學(xué)運(yùn)算是一種演繹推理，是計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的基礎(chǔ).”因此，我們有必要讓學(xué)生體悟數(shù)學(xué)運(yùn)算的演繹特征，無(wú)論計(jì)算的繁簡(jiǎn)，都應(yīng)該遵循“有理有據(jù)”的邏輯要求.“數(shù)學(xué)運(yùn)算”作為核心素養(yǎng)，在教學(xué)中不僅要讓學(xué)生掌握一些數(shù)式運(yùn)算的技能、技巧，而且要讓學(xué)生對(duì)運(yùn)算的本質(zhì)有所認(rèn)識(shí)、對(duì)運(yùn)算的價(jià)值有所感悟、對(duì)運(yùn)算的算理有所掌握.

具體到解析幾何的同構(gòu)式算法教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生把解析幾何大題的關(guān)注點(diǎn)從粗放的“聯(lián)立求解”轉(zhuǎn)移到分析推理上來(lái)，要讓學(xué)生能真正“辨圖識(shí)圖”，從而自然地將幾何問(wèn)題代數(shù)化，這本身也是解析幾何的精髓所在.

解析幾何中的“同構(gòu)式”算法充分體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)計(jì)算”與“邏輯推理”兩大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的完美交融.在教學(xué)實(shí)踐中，教師不僅可以就地取材，讓學(xué)生多從高考真題中體會(huì)其“設(shè)而不求”的計(jì)算精髓，更要帶領(lǐng)學(xué)生拓展探究，甚至改編、原創(chuàng).真正從源頭上感受與發(fā)現(xiàn)同構(gòu)式算式優(yōu)美的對(duì)稱形態(tài)以及背后所蘊(yùn)含的核心優(yōu)勢(shì).