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(嚴(yán)州中學(xué)新安江校區(qū),浙江 建德 311600)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中表現(xiàn)，它在學(xué)生自主發(fā)展中發(fā)揮不可替代的作用，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步形成的.核心素養(yǎng)的培育離不開(kāi)解題，著名數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題[1]，由此可見(jiàn)解題教學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中極為重要，以題為載體、以解題能力培養(yǎng)為抓手是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.但在實(shí)際教學(xué)中，“灌輸”還是主旋律，“題型+技巧”還很普遍，這樣的解題教學(xué)只是一味模仿，學(xué)生參與缺少、思考缺乏、遷移缺失.筆者認(rèn)為解題教學(xué)要注重解題思想和方法的滲透，充分暴露思維過(guò)程，做到精準(zhǔn)把握問(wèn)題本質(zhì)，精細(xì)處理過(guò)程，精巧規(guī)范思維，激活學(xué)生的思維，使學(xué)生摒棄僅靠模仿的解題習(xí)慣，真正在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)思考、提升能力.

1 精準(zhǔn)把握問(wèn)題本質(zhì)

張奠宙先生認(rèn)為：如果用一個(gè)關(guān)鍵詞來(lái)概括數(shù)學(xué)思維的特征,那就是“精準(zhǔn)思維”.“精準(zhǔn)”是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的體現(xiàn),是數(shù)學(xué)科學(xué)的主要特征,一切數(shù)學(xué)都是為了精準(zhǔn)[2]，數(shù)學(xué)教育是為人們精準(zhǔn)思維和行為的養(yǎng)成提供服務(wù).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，否則會(huì)將生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維淹沒(méi)在形式化的海洋里.筆者認(rèn)為解題教學(xué)既要有數(shù)學(xué)味又能接地氣，在解題教學(xué)中要精準(zhǔn)把握學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，在認(rèn)真研究學(xué)生的基礎(chǔ)上明確學(xué)生“在哪里，到哪里去，怎樣去”，積極引導(dǎo)學(xué)生思考；在研究問(wèn)題(全面了解問(wèn)題)的基礎(chǔ)上明確問(wèn)題的背景，深挖問(wèn)題的本質(zhì)特征，揭示方法與本質(zhì)，讓解法更自然、更易于接受.

(2018年浙江省紹興市第二次數(shù)學(xué)模擬試題第15題)

分析本題主要考查三角形外心的概念和性質(zhì)、向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的要求較高.

教師從外心的概念和性質(zhì)入手，引導(dǎo)學(xué)生思考，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，給出如下的思路：

即

兩邊取模平方，得

(α+β-1)2=α2+β2-αβ,

則

3αβ=2(α+β)-1.

思路2因?yàn)橥庑氖侨切?條中垂線的交點(diǎn)，考慮運(yùn)用向量數(shù)量積的投影.設(shè)∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a,b,c,則

整理得

c=2αc+βb,

同理可得

b=2αb+βc,

消去b,c，得 3αβ=2(α+β)-1,

思路3考慮到向量中α+β的本質(zhì)，聯(lián)系等和線的性質(zhì)，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D.因?yàn)辄c(diǎn)B，D，C共線，所以

分析如果僅僅是表面觀察該題，無(wú)論條件式還是所求式都比較繁瑣，但只要?jiǎng)內(nèi)ネ饷娴摹鞍b”進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，通過(guò)適當(dāng)變形或換元，便可得到以下思路：

因?yàn)?x2+5xy-2y2=(x+2y)(3x-y),設(shè)x+2y=a,3x-y=b,則

評(píng)注例1抓住外心的概念與性質(zhì)以及α+β的本質(zhì)，從3個(gè)角度入手展開(kāi)思考，得到較為精準(zhǔn)的把握和處理；例2在精準(zhǔn)結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)上，剝?nèi)ァ鞍b”，回歸題目的本來(lái)面目，讓思維更自然，使問(wèn)題獲得更形象、直觀的解法.在解題教學(xué)中，要高度重視精準(zhǔn)的概念思考、精準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)分析，重視方法的本質(zhì)探究，找準(zhǔn)問(wèn)題的突破口，讓學(xué)生真正學(xué)會(huì)分析、學(xué)會(huì)獨(dú)立解題，能夠十分精準(zhǔn)地進(jìn)行直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模，從而有利于學(xué)生重構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò),有效提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 精細(xì)處理解題過(guò)程

數(shù)學(xué)特級(jí)教師孫維剛曾說(shuō)：“教學(xué)不是自然主義，隨便怎么做都可以達(dá)到目的，而是在教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)、每一個(gè)細(xì)節(jié)，都要周密考慮、精心安排.”在解題教學(xué)中，教師要精心布局,從問(wèn)題串的設(shè)計(jì)、素材的選取、例題的選擇,到方法的預(yù)設(shè)都要作細(xì)致處理，既要有預(yù)設(shè)又要有生成，還要充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程,強(qiáng)調(diào)學(xué)生的積極參與.例如對(duì)于解題過(guò)程中學(xué)生思維終止的“節(jié)點(diǎn)”，包括思維的“受阻點(diǎn)”、運(yùn)算的“盲點(diǎn)”等都要作細(xì)致分析和指導(dǎo)，并合理優(yōu)化.

分析本題主要考查最值問(wèn)題、基本不等式的應(yīng)用，對(duì)學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力要求較高，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

解因?yàn)閍+b=4，所以可設(shè)a=2+x,b=2-x(均值代換),則

評(píng)注如果解題到此為止，那么這樣的教學(xué)只是重現(xiàn)了解題過(guò)程.教師忽視總結(jié)提煉，從而失去了深層探究的機(jī)會(huì).教師要提醒學(xué)生思考：此時(shí)經(jīng)檢驗(yàn)a與b不相等，這是什么原因；什么情況下當(dāng)a=b時(shí)取到最值呢……帶著這些問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生深度研討，得出結(jié)論：當(dāng)換元后關(guān)于ab或a+b的函數(shù)是單調(diào)的，其最值就在端點(diǎn)處取到，此時(shí)a=b，否則就不一定在a=b時(shí)取到最值，這就是細(xì)節(jié)的把握.

(2010年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

證明由題意

(1)

當(dāng)n≥2時(shí)，

(2)

式(1)-式(2)，得

從而

2=nan-(n-1)an+1.

由2=(n+1)an+1-nan+2,得

2nan+1=nan+nan+2,

即2an+1=an+an+2(其中n≥2,且n∈N*)，將n=1代入已知條件,得

即

2a2=a1+a3,

從而2an+1=an+an+2(其中n∈N*),于是數(shù)列{an}為等差數(shù)列．

評(píng)注本例著眼于計(jì)算細(xì)節(jié)的處理，教師把為何要檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí)的情況講清楚，讓學(xué)生明白在解決這類問(wèn)題時(shí)一定要注意n的范圍，當(dāng)n≥2時(shí)成立再加上a3+a1=2a2才能得到本題的完整證明.

又如在解決“ax3-3x+2≥0在x∈[-2,2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍”時(shí)，教師對(duì)于細(xì)節(jié)的處理可見(jiàn)一斑：一方面滲透必要條件，縮小參數(shù)a的范圍，然后討論求解的重要思考方法；另一方面給出數(shù)形結(jié)合的圖形，引導(dǎo)學(xué)生搞清問(wèn)題的由來(lái)，實(shí)際上是函數(shù)f(x)=ax3的圖像恒在直線g(x)=3x-2的上方，過(guò)(-2,-8a)的直線g(x)=3x-2剛好與f(x)=ax3相切于(1，1)，故a=1.

當(dāng)一個(gè)教師開(kāi)始關(guān)注解題教學(xué)中的每一個(gè)細(xì)節(jié)、關(guān)注問(wèn)題的呈現(xiàn)時(shí)機(jī)、關(guān)注難點(diǎn)突破、關(guān)注方法的聯(lián)系和遷移、關(guān)注解題規(guī)律的本質(zhì)揭示……，就一定會(huì)有意想不到的效果.因此，教師要注意運(yùn)算與推理的有機(jī)結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)的整體框架下進(jìn)行解題分析，要不斷揭示解題的套路和緣由，讓學(xué)生認(rèn)清知識(shí)不足，對(duì)錯(cuò)誤作歸因分析，從而明確運(yùn)算方向，選擇恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算策略和靈活的運(yùn)算途徑，進(jìn)一步降低運(yùn)算難度，提高準(zhǔn)確性，提升數(shù)學(xué)解題能力.

3 精巧規(guī)范數(shù)學(xué)思維

《新課標(biāo)》指出：數(shù)學(xué)不僅是運(yùn)算和推理的工具，還是表達(dá)和交流的語(yǔ)言，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.周密準(zhǔn)確的表達(dá)對(duì)培養(yǎng)思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性具有十分重要的作用.談到規(guī)范，我們想到的往往是書寫的規(guī)范，只有重視解題過(guò)程的語(yǔ)言表述，將解題過(guò)程轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)，這樣“會(huì)做”的題才能“得分”.書寫主要靠準(zhǔn)確完整的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述，提供合理的文字說(shuō)明，例如答題過(guò)程要整潔美觀、概念表達(dá)準(zhǔn)確、答出關(guān)鍵語(yǔ)句和關(guān)鍵詞，不要出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)”“對(duì)而不全”的情況.

推理、運(yùn)算的核心都是邏輯思維活動(dòng)，事實(shí)上,書寫的規(guī)范更多反映的是學(xué)生是否能夠規(guī)范合理地進(jìn)行思考.課堂教學(xué)的一個(gè)首要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生思考并尋找思路,這就需要教師必須是“明白人”(明白之人使人明白)，明白問(wèn)題的思維邏輯，能夠站在數(shù)學(xué)研究的高度揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，摒棄缺乏解題思想引領(lǐng)的所謂的解題技法，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

波利亞曾指出:數(shù)學(xué)教學(xué)首先和主要的目標(biāo)是“教會(huì)那些年輕人去思考”.布魯納也指出:教授一門學(xué)科,就是要學(xué)生參與知識(shí)的建構(gòu),掌握該學(xué)科的思維方式.教給學(xué)生的思維應(yīng)該符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，符合數(shù)學(xué)的邏輯順序，也就是說(shuō)必須“規(guī)范地”思維,促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考、理性地思考、有條理地思考.

1)求a,b的值；

2)證明：f(x)>1.

(2014年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第21題)

分析1)a=1,b=2.

評(píng)注本例教師通過(guò)幾個(gè)重要函數(shù)的研究以及函數(shù)凹凸性的比較不斷優(yōu)化解法，以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程和理解數(shù)學(xué)知識(shí)的心理過(guò)程為基本線索，為學(xué)生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程，使他們?cè)谡莆諗?shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考[4].在教學(xué)中，教師要積極探索和實(shí)踐高中數(shù)學(xué)的解題思維，關(guān)注課堂內(nèi)容的知識(shí)邏輯和思維邏輯，暴露解題思路的探索過(guò)程,讓學(xué)生清晰認(rèn)識(shí)破解及轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵，通過(guò)對(duì)話展示學(xué)生的思維過(guò)程和規(guī)范數(shù)學(xué)語(yǔ)言的應(yīng)用，提升邏輯推理數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，在解題教學(xué)中，教師要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生展示并感悟數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程，在清楚“如何做”的基礎(chǔ)上，更要理解“為何這樣做”，避免機(jī)械盲目地生搬硬套[5].通過(guò)精準(zhǔn)把握問(wèn)題本質(zhì)、精于細(xì)節(jié)處理、精巧規(guī)范數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)清晰地分析問(wèn)題，能直接道出問(wèn)題的本質(zhì)和解決問(wèn)題所用的思想方法，建立知識(shí)之間的聯(lián)系、對(duì)比、分析，并能合理遷移，進(jìn)而提升解題能力.