福建省漳州市第三中學(xué) 吳 攀

福建省平和第一中學(xué) 賴平民

解題析題是數(shù)學(xué)教師必須具備的一種基本能力，析題是教師在解題的基礎(chǔ)上，從學(xué)生的角度對(duì)試題的解題方法、解題依據(jù)和實(shí)施過程進(jìn)行分析，并在此基礎(chǔ)上挖掘試題的背景和變式，讓學(xué)生在析題中學(xué)會(huì)解決問題.解題析題常從分析試題考查的基礎(chǔ)知識(shí)入手，分析試題考查的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).通過分析試題的亮點(diǎn)，指出試題的側(cè)重點(diǎn)和設(shè)置脈絡(luò)，通過分析試題的設(shè)計(jì)理念，指出試題發(fā)揮的評(píng)價(jià)功能和教學(xué)導(dǎo)向功能，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思，反思試題表述是否符合邏輯，總結(jié)解題方法，并反思方法能否再優(yōu)化，能否變式，能否挖掘試題背景或相關(guān)結(jié)論等.

本文擬以一道函數(shù)導(dǎo)數(shù)解答題為例進(jìn)行析題展示，以期拋磚引玉，求教于同行.

一、展示題目

（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)g（x）在R 上存在最大值0，求函數(shù)f（x）在［0，+∞）上的最大值；

（Ⅲ）求證：當(dāng)x≥0 時(shí)，x2+2x+3≤e2x（3-2sinx）.

二、析題分析

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、函數(shù)的圖像與零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等.本題通過在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)三處設(shè)置知識(shí)交匯，試題設(shè)問脈絡(luò)清晰，層層遞進(jìn)，符合《課程標(biāo)準(zhǔn)》的設(shè)計(jì)理念，很好地考查了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，立足基礎(chǔ)，關(guān)注過程.

第（Ⅰ）問：

已知條件：g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù).

解決的問題：求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間.

數(shù)學(xué)語言：討論a，判斷g′（x）的符號(hào).

解題分析：g（x）=f′（x）=x+a-aex，則g′（x）=1-aex，（含有參數(shù)a，無法確定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)正負(fù)，如何確定討論標(biāo)準(zhǔn)？因?yàn)閑x＞0，確定討論標(biāo)準(zhǔn)為a≤0 和a＞0 兩種）當(dāng)a≤0 時(shí)，g′（x）≥0，所以g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為R，無減區(qū)間；當(dāng)a＞0 時(shí)，解得x＜-lna 時(shí)，g′（x）＞0，x＞-lna 時(shí)，g′（x）＜0，所以g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-lna），單調(diào)遞減區(qū)間為（-lna，+∞）.

第（Ⅱ）問：

已知條件：g（x）在R 上存在最大值0.

解決的問題：f（x）在［0，+∞）上的最大值.

數(shù)學(xué)語言：（1）對(duì)x∈R，gmax（x）=0，求a；（2）對(duì)x∈［0，+∞），求fmax（x）.

解題分析：由（Ⅰ）知，a＞0 且g（x）在x=-lna 處取最大值，g（-lna）=a-lna-1，則a-lna-1=0，觀察易得a=1.（a=1 是方程a-lna-1=0 的唯一解嗎？不確定時(shí)如何處理？有幾種思路？通過常用對(duì)數(shù)不等式lnx≤x-1 當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立，下面通過導(dǎo)數(shù)給出方程根的唯一性的嚴(yán)格證明，證明略）所以由題意知f ′（x）=g（x）≤0，所以f（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞減.所以f（x）在x=0 處取得最大值f（0）=-1.（本試題的背景為麥克勞林展開式ex=f（0）++…易得不等式由此命制試題）

第（Ⅲ）問：

已知條件：x≥0.

解決的問題：x2+2x+3≤e2x（3-2sinx）.

數(shù)學(xué)語言：令h（x）=e2x（3-2sinx）-（x2+2x+3），求證h（x）≥0 在x∈［0，+∞）上恒成立.

解題分析：證明此類不等式的常用方法有直接構(gòu)造函數(shù)法、綜合分析比較法、替換構(gòu)造法、放縮法、不等式兩邊取最值法等.此題我們先選用直接構(gòu)造法進(jìn)行解題嘗試.令h（x）=e2x（3-2sinx）-（x2+2x+3），化為求h（x）在［0，+∞）上的最小值，求得h′（x）=2e2x（3-2sinx-cosx）-（2x+2），如何研究導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)？考慮二次求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)h″（x）=2e2x（6-3sinx-4cosx）-2=2e2x［6-5sin（x+φ）］-2≥2e2x-2≥0在［0，+∞）恒成立，可知h′（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增，可得h′（x）≥h′（0）=2，所以h（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增，可得h（x）≥h（0）=0恒成立，原式得證.

解題反思：我們常說，沒有無緣無故的第（Ⅰ）問，前兩問是否對(duì)第（Ⅲ）問有所提示，從而得到不同的解題思路？我們說此類證明不等式問題常可以通過放縮法處理，下面我們做不同解法嘗試.由（Ⅱ）知，若a=1，有ex≥化為x2+2x≤2ex-2，所以x2+2x+3≤2ex+1，原題即證2ex+1≤e2x（3-2sinx），即證ex［ex（3-2sinx）-2］≥1，因?yàn)楫?dāng)x∈［0，+∞）時(shí)，ex≥1，所以只需證ex（3-2sinx）-2≥1.即證ex（3-2sinx）-3≥0在［0，+∞）上恒成立.構(gòu)造函數(shù) φ（x）=ex（3-2sinx）-3，x∈［0，+∞）.易證得φ（x）≥0（證略），原題得證.至此，我們通過分析法和指數(shù)不等式放縮得到新解法.

三、總結(jié)思路，解題反思

本題通過構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的工具探究函數(shù)的單調(diào)性和最值，當(dāng)一次導(dǎo)函數(shù)含參數(shù)時(shí)，常考慮因式分解后進(jìn)行分類討論，若不能按如上處理，常要二次求導(dǎo)，或化為乘積函數(shù)部分求導(dǎo)，若觀察不出零點(diǎn)時(shí)，常考慮虛設(shè)零點(diǎn)研究問題.本題第（Ⅲ）問入口寬，不同的方法各有優(yōu)劣，讓學(xué)生在已有的解題經(jīng)驗(yàn)上，突破思維限制，獲取新的解題經(jīng)驗(yàn).同時(shí)我們不難看出本題的第（Ⅲ）問命題手法類似于2014 年新課標(biāo)全國卷Ⅰ理科第21 題和2011 年新課標(biāo)全國卷Ⅰ理科第21 題.

本題能否變式呢？基于上述反思，我們可對(duì)試題進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣棺兪剑?/p>

變式二：其他不變，第（Ⅲ）問改為：求證當(dāng)x≥0 時(shí)，x2+2x+3≤e2x（3-2cosx）；

解題析題的前提是要會(huì)解，其次才是析，這就要求執(zhí)教者在平時(shí)的教學(xué)中扎實(shí)自身的學(xué)科素養(yǎng)，潛心研究試題，感悟試題，將解題教學(xué)與學(xué)生的學(xué)相結(jié)合，達(dá)成師生共同成長(zhǎng)的良好局面.F