張東鎖

摘 要：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)壓軸試題，體現(xiàn)了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化和分類討論思想，從培養(yǎng)學(xué)生“三種意識(shí)”入手，分析其解題策略，培養(yǎng)解題能力。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)解題;三種意識(shí);解題策略

將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容引入高中數(shù)學(xué)教材，極大地豐富了學(xué)生研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用實(shí)現(xiàn)了函數(shù)與不等式、方程等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的交匯，受到命題者青睞。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題是近些年來(lái)高考數(shù)學(xué)壓軸試題，每年的考題新穎不重復(fù)，難度大。此題把高中數(shù)學(xué)的函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想體現(xiàn)得淋漓盡致。許多學(xué)生遇到導(dǎo)數(shù)試題就不知所措，常常感到 “似曾相逢不相識(shí)，無(wú)可奈何花落去”。本文從培養(yǎng)學(xué)生“三種意識(shí)”入手對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題進(jìn)行分析，說(shuō)明其解題策略，以突破求解瓶頸。

一、觀察意識(shí)

數(shù)學(xué)解題中，觀察是一種很重要的思維活動(dòng)。為了順利求解，首先要學(xué)會(huì)觀察，觀察對(duì)象可分為兩類：一是符號(hào)（數(shù)字、字母、運(yùn)算符號(hào)、關(guān)系式）或文字所表示的數(shù)學(xué)關(guān)系式，命題或問(wèn)題;另一種是圖形、圖象和圖表。在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問(wèn)題中，常常涉及確定方程的解，當(dāng)通過(guò)解方程無(wú)法求出該方程的解時(shí)，就需要對(duì)方程特征進(jìn)行分析，觀察出f′（x）=0的解，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

例1.已知函數(shù)f（x）=x2-ax，g（x）=lnx。

若f（x）≥g（x）對(duì)于公共定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：由f（x）≥g（x）得：x2-ax≥lnx（x>0），則不等式a≤x- 對(duì)任意x>0恒成立。

設(shè)h（x）= （x>0），于是h（x）= ①。

觀察①式，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=1時(shí)，h（x）=0。

因?yàn)閤∈（0，1）時(shí)，h′（x）<0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減;當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）>0，函數(shù)單調(diào)遞增。所以函數(shù)h（x）的最小值是h（1）=1。

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤1。

點(diǎn)評(píng)：本題求解的關(guān)鍵是研究函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，而確定函數(shù)單調(diào)性不可回避的一點(diǎn)就是求方程h′（x）=0即x2+lnx-1=0的根。如何求這一方程的根呢？這是用代數(shù)方法不能解決的，要善于觀察，發(fā)現(xiàn)x=1是方程h′（x）=0的根。解方程時(shí)，分析方程特點(diǎn)，通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)方程的根看起來(lái)沒(méi)有道理，實(shí)際上是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)，這方面的能力培養(yǎng)在我們平時(shí)的教學(xué)中是不容忽視的。

二、構(gòu)造意識(shí)

構(gòu)造模型解題是根據(jù)題目的特征，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入分析，找出“已知”與“所求（或所證）”之間的聯(lián)系紐帶，另辟蹊徑解題。用構(gòu)造法解題被構(gòu)造內(nèi)容是多樣的，沒(méi)有固定模式。在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題中，構(gòu)造函數(shù)、不等式或方程是解決參數(shù)范圍、證明不等式和討論函數(shù)的零點(diǎn)等問(wèn)題的一種行之有效的方法。

例2.已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（a∈R）

（1）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍。

（2）設(shè)n∈N+，證明： + +…+

解（1）由lnx-ax+1≤0（x>0）知，a≥ + 。

設(shè)h（x）= + ，對(duì)于任意x∈（0，+∞），f（x）≤0恒成立的充要條件是當(dāng)x>0時(shí)，a≥h（x）max。

h′（x）= ，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）>0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x>（1+∞）時(shí)，h′（x）<0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減。

所以當(dāng)x=1時(shí)，h（x）的最大值是h（1）=1，故a≥1。

（2）取a=1，由（1）知lnx≤x-1，令x= （n∈N+），則ln ≤ -1。

即lnn-ln（n+1）<- 。

從而ln1+ln2-ln3+…+lnn-ln（n+1）<-（ + +…+ ），故 + +…+

點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)栴}（2）求解的關(guān)鍵是取a=1，構(gòu)造不等式lnx≤x-1，令x= （n∈N+），再結(jié)合不等式性質(zhì)解答。根據(jù)所證不等式結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)或不等式，研究該函數(shù)單調(diào)性是解決這一問(wèn)題的基本方法，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具性及函數(shù)與方程思想。

三、圖象意識(shí)

函數(shù)圖象是函數(shù)性質(zhì)的直觀體現(xiàn)，借助圖象可以把某些抽象的函數(shù)問(wèn)題形象化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。在導(dǎo)數(shù)試題中，涉及方程的根或函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)最值、解不等式及求參數(shù)范圍等的問(wèn)題屢見(jiàn)不鮮，這類試題綜合性強(qiáng)，求解時(shí)要善于構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象“以形助數(shù)”。

例3.已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常數(shù)。

討論函數(shù)y=f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

解：令f（x）=lnx-ax+1=0（x>0），則a= 。

設(shè)g（x）= ，y=a，則g′（x）= =- 。

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x∈（1，

+∞）時(shí)，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減。所以當(dāng)x=1時(shí)，g（x）有最大值g（1）=1。

由于g（ ）= =0，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，g（x）<0，當(dāng)x∈（ ，1）時(shí)，

g（x）>0;當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）>0。

作出函數(shù)g（x）= （x>0）及y=a的圖象（如下圖），觀察兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a≤0或a=1時(shí)，函數(shù)y=g（x）與y=a的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)01時(shí)，函數(shù)y=g（x）與y=a的圖象無(wú)交點(diǎn)，所以函數(shù)f（x）無(wú)零點(diǎn)。

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究方程的根或函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，就是利用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)找到方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的各種情況所滿足的關(guān)系式.在本題中函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題最終歸結(jié)為函數(shù)g（x）= （x>0）圖象

與直線的交點(diǎn)問(wèn)題，而這個(gè)問(wèn)題的解決要通過(guò)作函數(shù)

g（x）= （x>0）的圖象來(lái)完成。

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題是每年高考必考試題之一，近幾年在高考中的考查力度不斷加強(qiáng)。在日常教學(xué)中，教師要注重從解題思路的探尋上下功夫，弄清解法的根源所在，這樣學(xué)生才能做到“悟其必然，品其真味”，進(jìn)而提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳少春，虞關(guān)壽.淺談立體幾何解題教學(xué)的三種意識(shí)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2018（7）：12-15.

[2]萬(wàn)軍.導(dǎo)數(shù)解題中思維障礙的突破[J].高中數(shù)理化，2016（6）：13.

編輯 杜元元