☉江蘇省江陰市暨陽(yáng)中學(xué) 浦旦君

初中階段銳角三角函數(shù)在學(xué)段最后階段才開(kāi)始教學(xué)，而且多是安排在相似三角形之后引出.從知識(shí)連貫與必要準(zhǔn)備來(lái)看是有道理的.然而幾種版本的教材在引出銳角三角函數(shù)這個(gè)概念時(shí)多采取利用生活情境中梯子或坡度大小來(lái)分析直角三角形邊角的關(guān)系，接著定義正切、正弦、余弦等概念，最后往往是“一帶而過(guò)”直接告知學(xué)生它們都是三角函數(shù)，對(duì)函數(shù)本質(zhì)的揭示不夠到位.本文先整理近期筆者開(kāi)設(shè)的一節(jié)“銳角三角函數(shù)”起始課的教學(xué)環(huán)節(jié)，并給出教學(xué)立意的闡釋，供研討.

一、“銳角三角函數(shù)”起始課教學(xué)課例

教學(xué)環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)舊知

問(wèn)題1：同學(xué)們?cè)诎四昙?jí)學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，是如何定義函數(shù)的？

問(wèn)題2：到目前為止，同學(xué)們已學(xué)習(xí)了哪些函數(shù)？你認(rèn)為最簡(jiǎn)單的函數(shù)是哪種？（預(yù)設(shè)，學(xué)生已學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，等等，最簡(jiǎn)單的函數(shù)是一次函數(shù)中的正比例函數(shù)）

教學(xué)組織：在以上兩個(gè)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)之下，師生對(duì)話，在黑板的副板區(qū)形成函數(shù)定義，便于后續(xù)進(jìn)一步定義銳角三角函數(shù).并安排學(xué)生在準(zhǔn)備好的坐標(biāo)紙上畫(huà)出幾個(gè)特殊的正比例函數(shù)的圖像，教師在下面觀察學(xué)生所畫(huà)，請(qǐng)幾個(gè)有代表性的學(xué)生到黑板上畫(huà)出相應(yīng)的圖像（如圖1~3），便于進(jìn)一步研究.

圖1

圖2

圖3

采集到圖1~3到黑板上之后，邀請(qǐng)這些學(xué)生上臺(tái)講解這些正比例函數(shù)圖像的“特殊之處”，即這些圖像與x軸的夾角都是一些特殊角度（30°、45°、60°）.進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生把目光聚焦在這些圖像在第一象限內(nèi)的部分，研究第一象限內(nèi)這些圖像上任意一點(diǎn)的縱、橫坐坐標(biāo)的比值，發(fā)現(xiàn)在各個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)，隨著角度確定之后，這些比值也隨之唯一確定.于是引出新知.

教學(xué)環(huán)節(jié)2：定義新知

從圖1~3中分離、聚焦一個(gè)直角三角形，如圖4，我們把PQ與OQ的比值定義為正切函數(shù)，像圖4中可記作tan45°==1，并指出，在圖4中，如果記點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為r，則、也是確定的，進(jìn)一步也定義它們分別為正弦函數(shù)、余弦函數(shù).

圖4

在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)完善定義，用Rt△ABC來(lái)表示正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，書(shū)寫(xiě)在黑板左側(cè)的“主板區(qū)”，漸次生成結(jié)構(gòu)化板書(shū).

教學(xué)環(huán)節(jié)3：初步運(yùn)用

例題講評(píng)：整理特殊銳角30°、45°、60°的三種銳角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）數(shù)值表格.

教學(xué)組織：安排學(xué)生由黑板上生成的一些特殊三角形，對(duì)照剛剛定義的三種三角函數(shù)，分別求出特殊銳角30°、45°、60°的函數(shù)值（共9個(gè)），并讓學(xué)生列表整理出來(lái)，由一個(gè)小組派學(xué)生代表到黑板上書(shū)寫(xiě)出表1：

表1

跟進(jìn)追問(wèn)1：既然是函數(shù)，往往要研究函數(shù)的一些性質(zhì)或圖像，由于初中階段只研究銳角范圍內(nèi)的三角函數(shù)，并不涉及三角函數(shù)更多的內(nèi)容，所以我們就初步研究一下這三種函數(shù)的增減性.先在小組內(nèi)研討再全班匯報(bào)交流.學(xué)生將分別猜想得出，對(duì)于銳角，隨著自變量銳角度數(shù)的增大，它的正弦函數(shù)值隨之增大、余弦函數(shù)值隨之減小、正切函數(shù)值隨之增大．

跟進(jìn)追問(wèn)2：從表格中還有一些發(fā)現(xiàn)，比如，sin30°＝cos60°，sin45°＝cos45°，這種性質(zhì)能否“一般化”？比如，猜想對(duì)于銳角α，是否一定有sinα＝cos（90-α）？能否利用三角函數(shù)的定義證明這個(gè)性質(zhì)呢？接著安排學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組交流討論，并確認(rèn)這個(gè)性質(zhì)．

跟進(jìn)追問(wèn)3：計(jì)算sin230°＋cos230°和sin245°＋cos245°.

學(xué)生計(jì)算出答案為1之后，引導(dǎo)學(xué)生思考：這個(gè)問(wèn)題能否“走向一般”？即sin2α＋cos2α是否為定值1？仍然引導(dǎo)學(xué)生“回到定義”來(lái)證明這個(gè)性質(zhì)．

教學(xué)環(huán)節(jié)4：小結(jié)展望

小結(jié)問(wèn)題1：對(duì)于這節(jié)課學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)，大家有什么體會(huì)？能否用幾個(gè)關(guān)鍵詞梳理一下本課所學(xué)？

小結(jié)問(wèn)題2：你覺(jué)得以后學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)時(shí)，還會(huì)學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？

教學(xué)組織：在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師對(duì)黑板上的內(nèi)容進(jìn)行梳理，完善生成結(jié)構(gòu)化板書(shū)．（略）

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.鋪平墊穩(wěn)，定義三角函數(shù)的概念

在引入新課階段，先回顧函數(shù)的定義，然后小組分工討論幾個(gè)特殊的正比例函數(shù)的圖像，并安排學(xué)生代表上臺(tái)畫(huà)出圖像，其他學(xué)生上臺(tái)講解是如何理解這些正比例函數(shù)的特殊性的，教師在這個(gè)過(guò)程中跟進(jìn)追問(wèn)，讓學(xué)生看到這些正比例函數(shù)的圖像與x軸的正半軸的夾角的特殊性，在這個(gè)過(guò)程中，可以換不同學(xué)生上臺(tái)講解各自的理解，重點(diǎn)在這個(gè)特殊角度是如何得到的.學(xué)生如果幾何構(gòu)造能力不強(qiáng)，則常常會(huì)被“問(wèn)住”從而“卡在”那兒，思路難有進(jìn)展，這時(shí)其他學(xué)生參與講解、辨析，把問(wèn)題的本質(zhì)揭示出來(lái)．就是已知一個(gè)直角三角形中確定的邊之比后，如何推導(dǎo)出相應(yīng)的銳角角度？如果不愿意走幾何構(gòu)造的思路，還可以通過(guò)接下來(lái)定義的銳角三角函數(shù)研究它們，讓學(xué)生感受到一個(gè)新的概念或新的定義是自然而然的，很有必要的，能解釋很多以前遺留下來(lái)的較難問(wèn)題．

2.采集生成，讓生成資源驅(qū)動(dòng)學(xué)程

我們知道，開(kāi)放需要放開(kāi)，當(dāng)問(wèn)題放開(kāi)之后，學(xué)生的生成會(huì)很發(fā)散，教師如何駕馭呢？這就對(duì)課前的備課提出了很高的要求．比如，上面課例中安排學(xué)生列舉一些特殊的正比例函數(shù)，就是很開(kāi)放的問(wèn)題，教師需要預(yù)設(shè)學(xué)生各種不同的情形，通過(guò)參與小組內(nèi)交流，采取、捕捉到接下來(lái)教學(xué)進(jìn)程中需要的那幾個(gè)特殊的正比例函數(shù)，讓相應(yīng)學(xué)生到黑板上板演、講解，也就實(shí)現(xiàn)了從學(xué)生的生成性資料來(lái)驅(qū)動(dòng)學(xué)程的教學(xué)立意．我們常常期待選擇一個(gè)好的問(wèn)題情境驅(qū)動(dòng)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題引領(lǐng)、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)功能，如果能在教學(xué)進(jìn)程中通過(guò)恰當(dāng)?shù)脑O(shè)問(wèn)，促進(jìn)學(xué)生生成一個(gè)新的問(wèn)題情境或背景，促進(jìn)后續(xù)學(xué)程的推進(jìn)，則是很有品質(zhì)的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)．

3.初步運(yùn)用，重視回到定義去解題

在定義三種銳角三角函數(shù)之后，需要安排學(xué)生對(duì)定義進(jìn)行初步理解，仍然利用學(xué)生已得出的兩種特殊直角三角形來(lái)研究幾個(gè)特殊銳角的三角函數(shù)值，在學(xué)生“活動(dòng)單”上列出表格，讓學(xué)生先獨(dú)立計(jì)算9個(gè)三角函數(shù)值，小組內(nèi)先核對(duì)交流，然后教師安排學(xué)生觀察表格中的三角函數(shù)值與自變量（角度）的關(guān)系，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)一些特殊的性質(zhì)（比如，互余兩角的正弦、余弦值相等），并促進(jìn)這些發(fā)現(xiàn)走向一般，形成猜想，最后安排學(xué)生“回到定義”去證明．這個(gè)過(guò)程是一次“微型”的“做數(shù)學(xué)研究”的過(guò)程，學(xué)生經(jīng)歷了操作分析、整理數(shù)據(jù)、觀察分析、發(fā)現(xiàn)猜想、走向一般、證明猜想這樣的研究過(guò)程，而且最后的證明滲透了“回到定義去解題”的解題思想．

三、寫(xiě)在后面

教無(wú)定法，課堂教學(xué)更是一門(mén)遺憾的藝術(shù)．筆者曾在不同班級(jí)組織過(guò)上面課例的實(shí)施，然而效果不盡相同．可見(jiàn)上面教學(xué)立意的闡釋多帶有個(gè)性化理解，不一定準(zhǔn)確，更不一定正確，期待專家學(xué)者批評(píng)指正．