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        集合中的“關(guān)系學(xué)”

        2019-01-07 01:36:28吳保穎
        關(guān)鍵詞:集合關(guān)系高中數(shù)學(xué)

        吳保穎

        [摘???要]集合中的關(guān)系復(fù)雜,厘清集合中的“關(guān)系”,可以幫助學(xué)生突破集合難點(diǎn).

        [關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué);集合;關(guān)系

        [中圖分類號]????G633.6????????[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058(2019)35-0031-02

        集合歷來被認(rèn)為是高中數(shù)學(xué)“大廈”的基石,沒有集合,就無法定義函數(shù)的三要素,更無法用集合的觀點(diǎn)處理其他數(shù)學(xué)問題.因此,學(xué)好集合是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的第一步.學(xué)生如何學(xué)習(xí)集合呢?初學(xué)集合,掌握集合中的“主要矛盾”最重要,而這個(gè)主要矛盾,就是集合中的“關(guān)系學(xué)”.那么,集合中的“關(guān)系學(xué)”主要體現(xiàn)在哪些方面呢?

        一、元素與集合間的關(guān)系

        集合是由元素組成的,當(dāng)集合中含有有限個(gè)元素時(shí),該集合被稱為有限集;當(dāng)集合中含有無限個(gè)元素時(shí),該集合被稱為無限集;當(dāng)集合不含任何元素時(shí),該集合被稱為空集,用符號[?]表示.由此可見,元素是集合家族的成員,對于集合來說,元素具有確定性.

        [例1](1)設(shè)集合A有且僅有一個(gè)元素a,則以下各式中正確的有().

        A.?[0∈A]B.?[a?A]C.?[a∈A]D.?[a=A]

        (2)以下四種表示,其中正確的個(gè)數(shù)是().

        ①?[π∈R];②?[3?Q];③?[0∈N?];④?[-4?N?]

        A.?4B.?3C.?2D.?1

        解析:(1)因?yàn)閇a]是集合[A]的元素,所以[a∈A].?故本題選C.

        (2)?①因?yàn)閳A周率是實(shí)數(shù),所以[π∈R]正確;②因?yàn)閇3]不是有理數(shù),所以[3?Q]正確;③因?yàn)榧蟍N?]中不含0,所以[0?N*],所以[0∈N?]錯(cuò)誤;④因?yàn)閇-4=4∈N?],所以[-4?N*],故①②正確,共2個(gè),本題選B.

        評注:(1)一旦集合確定,那么它的元素也就確定了.因此,元素[a]與集合[A]的關(guān)系有兩種:[a∈A]或[a?A].

        (2)集合中的元素都具有某種特征,這是判斷某元素是否屬于該集合的依據(jù).

        二、同一個(gè)集合中元素與元素之間的關(guān)系

        當(dāng)一個(gè)集合含有多個(gè)元素的時(shí)候,這些元素在集合中的分布是無序的,同時(shí)也是互異的,也就是說,在同一個(gè)集合中是不存在兩個(gè)相同的元素的.

        [例2]設(shè)[A=-4,2a-1,a2,B=9,a-5,1-a],已知[A?B=9],求實(shí)數(shù)[a]的值.

        解析:[∵A?B=9?,∴9∈A],若[∵A?B=9?],[∴9∈A],則[a=5],此時(shí)[A=-4,9,25?,B=9,0,-4],[A?B=9,-4],與已知矛盾,舍去;

        若[a=9],則[a=±3],當(dāng)[a=3]時(shí),[A=-4,5,9],[B=-2,-2,9]?.

        B中有2個(gè)元素均為[-2],與集合中元素的互異性矛盾,應(yīng)舍去.當(dāng)[a=-3]時(shí),[A=-4,-7,9],[B=9,-8,4],符合題意.綜上所述,[a=-3].

        評注:在求出了“[a=5]或[a=±3]”后,是否大功告成?實(shí)際情況卻并非如此,這只是保證[9∈A],當(dāng)然有[9∈A?B],但是否[A?B=9],以及集合B中的元素是否滿足互異性,還有待進(jìn)一步考查驗(yàn)證.

        三、集合間的相等關(guān)系

        當(dāng)[A?B]且[B?A]時(shí),[A=B],也就是說這兩個(gè)集合中的元素對應(yīng)相等.

        [例3](1)設(shè)集合[A=x2,x,xy],[B=1,x,y],若集合[A=B],求實(shí)數(shù)x、y的值.

        (2)設(shè)集合[A=aa=3n+2??,??n∈Z],[B=bb=3k-1],[k∈Z],試判斷集合A與B是否相同.

        解析:(1)由[A=B],得[x2=1,xy=y,]?或[x2=y,xy=1,]

        解得[x=1,y∈R,]或[x=-1,y=0,]?或[x=1,y=1.]

        經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)取[x=1,y∈R]與[x=1,y=1]時(shí)不滿足集合中元素的互異性,所以[x=-1],[y=0].

        (2)[A=B],證明如下.

        先證明[A?B].設(shè)任一元素[a∈]?A?,則[a=3n+2=3(n+1)-1]?(n?∈?Z),由于[n∈Z],則[n+1∈Z],所以有[a∈]?B,故[A?B].

        再證明[B?A].又設(shè)一元素[b∈B]?,則[b=3k-1=3(k-1)+2](k?∈?Z).因?yàn)閇k∈Z],則[k-1∈Z].所以[b∈A]?,故[B?A]?.由此可知[A=B]?.

        評注:(1)求解含參兩個(gè)集合相等問題,只需兩個(gè)集合相等的定義列出方程組.但由于集合中的元素具有無序性,故一定要注意所列方程組是否完整.此外還要對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),以確保集合中的元素滿足互異性.(2)要證明[A=B],應(yīng)同時(shí)論證[A?B]與[B?A]都成立.

        四、集合間的包含關(guān)系

        當(dāng)集合A中的元素都在集合B中時(shí),集合A是集合B的子集,稱集合B包含集合A?.

        [例4]已知集[A=x1

        解析:?(1)當(dāng)[a=0]時(shí),[A=?],滿足[A?B].

        (2)當(dāng)[a>0]時(shí),[A=x1a

        又∵[B=x-1

        (3)當(dāng)[a<0]時(shí),[A=x2a

        評注:(1)“[A?B]”,就是說集合[A]中的每一個(gè)元素都在集合[B]中,即[?x∈A?x∈B]?;(2)我們不可將“[A?B]”當(dāng)成集合[A]的元素來源于集合[B]中的一些元素,因?yàn)楫?dāng)[A=?]時(shí),[A?B],但A中不含任何元素;又當(dāng)[A=B]時(shí),也有[A?B],但A中含有B中的所有元素,這兩種情況都有[A?B].

        五、空集與非空集合之間的關(guān)系

        當(dāng)一個(gè)集合中沒有任何元素時(shí),我們稱之為空集[?].任何元素都不可能是空集的元素,用符號表示即為[?a??].空集是所有集合的子集,記作[??A]([A]為任意集合).同時(shí),空集也是所有非空集合的真子集.另外,空集與所有集合的交集是空集,即[A??=?],空集與任何集合的并集還是這個(gè)集合,即[A??=A].

        [例5]已知[A=x-2≤x≤5],[B=xa+1≤x≤2a-1],[B?A],求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        解析:[∵B?A],又[??A],[∴]需對[B=?]與[B≠?]兩種情況分別討論確定a的取值范圍.

        (1)當(dāng)[B=?]時(shí),則有[a+1>2a-1],即[a<2].

        (2)當(dāng)[B≠?]時(shí),則有[2a-1≥a+1,a+1≥-2,2a-1≤5,]解得[2≤a≤3].由(1)(2)可知[a≤3].

        評注:從集合角度看,這里[a≤3]包含兩個(gè)意義:一是[B=?],二是[B≠?].空集,常常叫人防不勝防,可謂是個(gè)隱形陷阱,解題時(shí)必須要有防范意識.

        六、全集與補(bǔ)集的關(guān)系

        一個(gè)集合與它的補(bǔ)集的并集,就是全集.利用補(bǔ)集思想和全集與補(bǔ)集的關(guān)系,有時(shí)可以簡化計(jì)算.

        [例6]對于拋物線1:[y=x2+4ax-4a+3],拋物線2:[y=x2+(a-1)x+a2],拋物線3:[y=x2+2ax-2a],若它們中至少有一條拋物線與[x]軸存在公共點(diǎn),那么實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是_______.

        解析:本題若從正面分析,則采用分類討論思想,情況繁雜,叫人應(yīng)接不暇.而從反面考慮,則只需關(guān)注三個(gè)拋物線與x軸均無交點(diǎn),即對應(yīng)的三個(gè)一元二次方程均無解,

        于是有[Δ1=(4a)2-4(-4a+3)<0,Δ2=(a-1)2-4a2<0,Δ3=(2a)2+8a<0.]

        不難解得[-32

        利用補(bǔ)集思想,便可得實(shí)數(shù)a的取值范圍:

        [-∞,-32?-1,+∞].

        (責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān))

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