摘 要：通過對數(shù)值分析的簡介，結(jié)合該方法在機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例，指導(dǎo)機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)在數(shù)值分析的基礎(chǔ)上更好更快的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)值分析；機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)；應(yīng)用

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.23.0041 數(shù)值分析的簡介

數(shù)值分析（numerical analysis）是研究分析用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)計(jì)算問題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論的學(xué)科，是數(shù)學(xué)的一個分支，它以數(shù)字計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問題的理論和方法為研究對象，為計(jì)算數(shù)學(xué)的主體部分[1]。

數(shù)值分析課程關(guān)心的問題是如何設(shè)計(jì)有效的方法近似計(jì)算某個數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型的解[2]。由于數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型一般都是工程實(shí)際問題通過一定的簡化假設(shè)得到的數(shù)學(xué)表達(dá)式，所以該數(shù)學(xué)問題實(shí)際上是要解決的實(shí)際問題的一個近似問題，從這個意義上說，設(shè)計(jì)尋找數(shù)學(xué)問題的近似解的方法要比計(jì)算它的精確解更合適。

在自然、經(jīng)濟(jì)、社會、科學(xué)、技術(shù)領(lǐng)域中，遇到相關(guān)問題都可以用相關(guān)學(xué)科知識和數(shù)學(xué)語言進(jìn)行近似描述，這個過程稱為數(shù)學(xué)建模。而在實(shí)際過程中，這些結(jié)果往往需要大量計(jì)算才能得出，而且需要借助計(jì)算機(jī)的力量。所以數(shù)值分析主要研究的就是采用各種數(shù)學(xué)方法對生產(chǎn)實(shí)際中的實(shí)際問題進(jìn)行建模，通過計(jì)算機(jī)計(jì)算其近似值的一個過程。同時(shí)數(shù)值分析在解決問題時(shí)按照實(shí)際情況提出實(shí)際問題，然后建立相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)模型，接著選用可靠地?cái)?shù)值計(jì)算方法，進(jìn)行計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)，最后上機(jī)近似算出結(jié)果的過程。借助計(jì)算機(jī)應(yīng)用的數(shù)值分析具有計(jì)算能力強(qiáng)，誤差分析小，有可靠理論依據(jù)和數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的特點(diǎn)。

2 數(shù)值分析在機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)值分析在機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)中的應(yīng)用極為廣泛。在某些生產(chǎn)機(jī)械中，等效力矩同時(shí)是等效構(gòu)件轉(zhuǎn)角和角速度的函數(shù)。當(dāng)?shù)刃Я氐暮瘮?shù)式過于復(fù)雜而不易積分時(shí)，或者等效力矩以一系列離散數(shù)據(jù)給出時(shí)，就無法用解析法，而必須用數(shù)值法來求解。數(shù)值法是將微分方程分段處理，將時(shí)間區(qū)間劃分為很多相等的小區(qū)間，近似認(rèn)為區(qū)間內(nèi)的函數(shù)呈直線變化或按某種近似規(guī)律變化，然后由區(qū)間的初始值求區(qū)間的終點(diǎn)值，這樣一個區(qū)間一個區(qū)間地求下去。數(shù)值法在電子計(jì)算機(jī)上實(shí)施。雖然是一種近似算法，但一般均能保證工程應(yīng)用所需的精度。現(xiàn)以牛頭刨床為例：

微分方程：

用龍格庫塔法求解，可得出迭代式：

式中h即為步長，即劃分的小的時(shí)間區(qū)段的長度。這樣，根據(jù)給定的初始條件， 可求出時(shí)刻的角速度。依此方法不斷求解下去，即可得到等效構(gòu)件的運(yùn)動規(guī)律。

除此之外，數(shù)值分析在多自由度振動方程的解耦中有很大的應(yīng)用。目前， 我們通常采用模態(tài)疊加法和直接積分法這兩種方法對該線性系統(tǒng)的運(yùn)動方程進(jìn)行求解。 一般情況下，阻尼不存在對模態(tài)的正交性，我們采用復(fù)模態(tài)分析方法即先把近似狀態(tài)方程化為一階，接著用解特征向量和廣義特征值的方法組成變換矩陣，最后用復(fù)模態(tài)疊加求解。對存在比例或模態(tài)阻尼系統(tǒng)， 線用實(shí)模態(tài)分析的方法解耦， 而后用模態(tài)疊加的方法求解。對任意阻尼矩陣， 不需要采用特征值與特征向量列方程， 也不需要用坐標(biāo)變換方法解耦，直接利用一種直接積分法，求出系統(tǒng)在時(shí)域內(nèi)的動態(tài)響應(yīng)，該方法比較適用于計(jì)算機(jī)運(yùn)算。

由線性代數(shù)的理論可知，該空間的任意一個矢量都可以用這組基底的線性組合來表示：

經(jīng)轉(zhuǎn)化處理得：

根據(jù)正則振型矩陣的正交性質(zhì)，上式可化為：

由于該矩陣為對角形的特征值矩陣，所以可以把上式展開為：

顯而易見，以上方程組是n個單自由度的振動方程組成。單純從方程組來看，是通過線性變換把一個多元方程轉(zhuǎn)化為多個一元方程。從機(jī)械動力學(xué)來看，把一個具有n個自由度的振動問題轉(zhuǎn)化為n個單（一個）自由度的振動問題，也就是說把一個由n個自由度組成的振動問題分解為n個獨(dú)立的主振動。該運(yùn)動狀態(tài)是通過各階主振動的疊加而來的。這種方法稱之為振型疊加法。振型疊加法可以解耦多自由度運(yùn)動狀態(tài)，極大方面實(shí)際問題的解決。

3 結(jié)語

綜上，數(shù)值分析在各個的領(lǐng)域中應(yīng)用非常廣泛。機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)涉及知識廣泛，但是核心是構(gòu)建一個動力學(xué)模型，對模型進(jìn)行分析，列出微分方程，最后進(jìn)行求解。在這個過程中多次涉及到數(shù)值分析的知識。首先在構(gòu)建模型時(shí)，這是一個近似的過程，也就是說我們在一直假設(shè)，直到逼近真實(shí)值。這點(diǎn)就像數(shù)值分析里的函數(shù)逼近，用一已知函數(shù)去逼近一個現(xiàn)實(shí)中難以解決的問題。同時(shí)在求解微分方程時(shí)難免要再次用到數(shù)值分析里對方程的解法?？傊瑪?shù)值分析在機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)中得到了充分的應(yīng)用，機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)在數(shù)值分析的基礎(chǔ)上得到更快的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]李慶揚(yáng).數(shù)值分析[M].清華大學(xué)出版社有限公司，2001.

[2]封建湖，車剛明等.數(shù)值分析原理[M].科學(xué)出版社，2001.

作者簡介：付園（1986-），男，安徽宿州人，研究生，講師，主要從事機(jī)械設(shè)計(jì)制造及軟件開發(fā)等研究。