羅興政

[摘 要] 數(shù)學(xué)解題后的思考與反饋有助于學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的自發(fā)領(lǐng)悟以及對問題深層結(jié)構(gòu)的探觸，同時(shí)還有利于教師對問題本質(zhì)的分析并依此對問題進(jìn)行一系列的變化與改變以促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；解題反思；反饋

習(xí)題教學(xué)的終點(diǎn)不是完成問題的解答，而是數(shù)學(xué)知識與方法的內(nèi)化，解題后的思考與反饋是促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化知識、解題技巧與思想方法的重要一環(huán)，高中數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生及時(shí)思考與反饋的習(xí)慣，這有助于學(xué)生進(jìn)一步揭示解題后思考與反饋的意義和價(jià)值. 本文是筆者結(jié)合一個(gè)具體的教學(xué)案例，就如何在學(xué)生完成例題的求解后，引導(dǎo)學(xué)生反思，完成思考與反饋環(huán)節(jié)談一點(diǎn)自己體會(huì)，望能有助于高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)實(shí)踐.

例題呈現(xiàn)及常規(guī)解法

分析：上述“通法”是絕大多數(shù)學(xué)生在解決此類問題時(shí)最容易聯(lián)系到的方法，解題成功率相當(dāng)高，如果我們的教學(xué)僅僅滿足于此，學(xué)生僅僅是獲得了問題的答案，沒有太大的能力提升，筆者認(rèn)為這道題在學(xué)生完成解答后，還可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生解題后反思，進(jìn)一步挖掘其教學(xué)價(jià)值.

二次反思，發(fā)現(xiàn)新思路

為了促進(jìn)學(xué)生能夠有效反思且有所發(fā)現(xiàn)筆者認(rèn)為我們要做適當(dāng)?shù)闹敢?，主要可以從如下兩個(gè)方面著手.

1. 反思解法的正確性

學(xué)生在解題過程中有很多錯(cuò)誤或者新的方法是可以通過反思來自己發(fā)現(xiàn)的，這就需要我們引導(dǎo)學(xué)生思考自己的解法有沒有將題目中給出的“條件”與“結(jié)論”進(jìn)行過分析，在得到結(jié)論的過程中有沒有證據(jù)？該解法是不是唯一的解法？

2. 反思這類題目的最大特點(diǎn)

對數(shù)學(xué)問題特點(diǎn)的反思，能夠引領(lǐng)學(xué)生越來越接近數(shù)學(xué)問題深層的結(jié)構(gòu)，更容易把握一類問題.

3. 發(fā)現(xiàn)新的解題思路

對上述三角換元將問題簡化并求解的方法不再一一贅述.

再次反思：重新認(rèn)識題目并對解法進(jìn)行評價(jià)

前面的二次反思還并非是終點(diǎn)，因?yàn)榍懊娣此嫉氖斋@還是零散的，再次反思能夠?qū)⒘闵⒌氖斋@凝聚起來，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識的升華.

1. 對題目認(rèn)識的提升令題目一題多解

2. 對眾多解法的評價(jià)

解法一利用了重要不等式使得問題得以簡化并順利求解，事實(shí)上，解法二、解法三與解法一在本質(zhì)上都是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題. 參數(shù)、判別式、幾何等一系列解法對于本文中所討論的這一類題目來說都是行之有效的，而從全新的角度對題目進(jìn)行詮釋與解答的解法四雖然看似煩瑣，但其整個(gè)分析與解法所呈現(xiàn)出的思路卻很清晰，可以說是一種很好的思考方式.

對數(shù)學(xué)解題后反思的思考

作為教師，我們引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)解題后反思有怎樣的價(jià)值？又該如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后反思呢？

1. 價(jià)值分析

有助于探觸問題的深層結(jié)構(gòu). 解題后的思考與反饋能使學(xué)生對題目進(jìn)行重新認(rèn)識并對解題中所運(yùn)用的知識和方法進(jìn)行概括與提煉，一題多解也更加容易水到渠成，學(xué)生在一題多解的過程中也更易有效把握各種方法的實(shí)質(zhì).

有助于教師進(jìn)行變式教學(xué). 解題后的思考與反饋使得教師能夠及時(shí)而準(zhǔn)確地明確題目的背景、考查意圖，并以此引導(dǎo)學(xué)生不斷探尋各種解法.根據(jù)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”進(jìn)行變式教學(xué)也因此有了有力的依據(jù)，學(xué)生解題水平的提升以及思維能力的提高往往得益于解題后的不斷思考與反饋. 比如，本文所討論的例題在上述種種解法得以探究之后，還可以繼續(xù)編擬出以下題目供學(xué)生進(jìn)行練習(xí)：

有助于學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的自發(fā)領(lǐng)悟. 對解題過程進(jìn)行自覺反思能夠有效增強(qiáng)學(xué)生自發(fā)領(lǐng)悟的意識并縮短其自覺分析的轉(zhuǎn)變過程，這一解題后的有效反饋是解題能力實(shí)質(zhì)性提升的關(guān)鍵.

2. 如何進(jìn)行解題后的思考與反饋

對數(shù)學(xué)命題的重新認(rèn)識以及對于解題方法的評價(jià)都是數(shù)學(xué)解題后的思考與反饋所包含的內(nèi)容.

（1）對數(shù)學(xué)命題重新認(rèn)識一般包含以下內(nèi)容：

①解法是否正確？②是否對條件與結(jié)論進(jìn)行過一定的討論？③題目背景的探索以及對結(jié)論的特殊化或一般化.

（2）對于各種解題方法的評價(jià)一般包含以下內(nèi)容：

①題目本身可存在哪些特點(diǎn)？解題時(shí)是如何利用這些特點(diǎn)的？可得到什么教訓(xùn)？②哪些知識和方法在解題中得到了應(yīng)用？關(guān)鍵在哪里？結(jié)構(gòu)框圖可否畫出？③可有其他解法？可有更一般、更特殊、更簡單或更多的方法？④方法可否推廣？推廣中需要改變或者創(chuàng)新嗎？⑤眾多解法中是否存在對今后解題具備一定意義與價(jià)值的方法？

我們在波利亞的解題觀點(diǎn)中形成很多具有啟發(fā)性的想法，也在羅增儒教授的精辟描述中學(xué)會(huì)很多具有實(shí)際操作意義的方法，本文只是結(jié)合實(shí)際案例對解題后思考與反饋的一點(diǎn)體會(huì)，歡迎各位同行與筆者及時(shí)交流并促進(jìn)解題教學(xué)的日益完善.