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        利用多種方法證明三角形的內(nèi)角和是180°

        2018-12-24 09:53:34孫靜芝
        贏未來 2018年26期
        關(guān)鍵詞:內(nèi)錯(cuò)角同位角平角

        孫靜芝

        摘要:<正>邏輯推理作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一,在數(shù)學(xué)教學(xué)中一直受到關(guān)注和重視.相比較其他數(shù)學(xué)內(nèi)容,幾何證明在這方面有獨(dú)特的教育價(jià)值。

        關(guān)鍵詞:證明 數(shù)學(xué)教學(xué)

        我們學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和定理,知道了三角形的內(nèi)角和為180°。對(duì)于這個(gè)定理,我們可以利用多種方法進(jìn)行證明,以下是我從幾個(gè)不同的方面總結(jié)的幾種證明方法,現(xiàn)拿來分享,以拓寬學(xué)生的思維:

        三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等干180°

        已知:如圖1,∠A、∠B、∠C分別為三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角,

        求證:∠A+∠B+∠C=180°

        思路:1.用輔助線構(gòu)造出一個(gè)平角,再用平行線“移動(dòng)”內(nèi)角,將其集中起來。

        2.想辦法將三角形的三個(gè)內(nèi)角放在兩條平行線的兩同旁內(nèi)角的位置上。

        利用第一種思路得到下列幾種證明方法:

        證法一 :如圖2,延長(zhǎng)邊BC到D,并過頂點(diǎn)C作CE∥BA;

        ∵CE∥BA(作圖)

        ∴∠1=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),

        ∠2=∠B(兩直線平行,同位角相等).

        又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定義),

        ∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

        證法二: 如圖3,過頂點(diǎn)C作DE∥AB;

        ∵DE∥AB(作圖)

        ∴∠1=∠A,∠2=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).

        又∵∠1+∠ACB+∠2=180°(平角的定義),

        ∴∠A+∠ACB+∠B=180°

        證法三:如圖4,在BC邊上任取一點(diǎn)D,作DE∥BA,DF∥CA,分別交AC于E,交AB于F;

        則∠2=∠B,∠3=∠C(兩直線平行,同位角相等),

        ∠1=∠4(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),

        ∠4=∠A(兩直線平行,同位角相等),

        ∴∠1=∠A(等量代換).

        又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定義),

        ∴∠A+∠B+∠C=180°.

        證法四: 如圖5, 作BC的延長(zhǎng)線CD,在△ABC的外部以CA為一邊,CE為另一邊畫∠1=∠A;

        于是CE∥BA(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).

        ∴∠B=∠2(兩直線平行,同位角相等).

        又∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定義),

        ∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

        證法五:如圖6,在△ABC的內(nèi)部任取一點(diǎn)D,連結(jié)AD、BD,并延長(zhǎng)分別交邊BC、AC于點(diǎn)E、F,再連結(jié)CD;

        則∠7=∠1+∠2,∠8=∠3+∠4,∠9=∠5+∠6(三角形的任何一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和).

        又∵∠7+∠8+∠9=180° (平角的定義),

        ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°.

        即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°.

        利用第二種思路,也可以設(shè)計(jì)出幾種證法,證法如下:

        證法六:如圖7,過頂點(diǎn)C作CD∥BA;

        則∠1=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).

        ∵CD∥BA.

        ∴∠1+∠ACB+∠B=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)).

        ∴∠A+∠ACB+∠B=180°.

        證法七 :如圖8 ,任意作線段AD交BC于D,分別過點(diǎn)B、C作BE∥DA,CF∥DA;

        則∠1=∠3,∠2=∠4(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).

        ∵BE∥DA,CF∥DA,

        ∴BE∥CF.

        ∴∠3+∠ABC+∠ACB+∠4=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)).

        ∴∠1+∠ABC+∠ACB+∠2=180°.

        ∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°.

        上面用到的七種證明方法,都是將新問題通過各種方法轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的問題進(jìn)行證明,這樣的方法在初中的幾何學(xué)中經(jīng)常會(huì)用到,有些書上將這種思路叫做化歸思想。這種思想是一種重要的解題方法,它在我們做題時(shí)可以幫助我們確定思考的方向,因此,有必要讓學(xué)生掌握。

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