徐勇

【摘 要】華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！边@兩句直白淺顯的話語(yǔ)，一針見(jiàn)血地指出了在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中“數(shù)”與“形”的關(guān)系，即“數(shù)”輔助“形”，“形”解釋“數(shù)”，數(shù)與形的結(jié)合不僅讓“數(shù)”的解釋更加直觀，也能夠讓形的表達(dá)更加準(zhǔn)確。基于此，教師需要結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，對(duì)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用做出相應(yīng)的探究。

【關(guān)鍵詞】以形助數(shù)；以數(shù)輔形；數(shù)形結(jié)合

初中階段是學(xué)生思維培養(yǎng)的關(guān)鍵時(shí)期，在數(shù)學(xué)問(wèn)題中滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓初中生打破知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中的隔閡，在“數(shù)”與“形”之間建立溝通與聯(lián)系，并達(dá)到由數(shù)思形、見(jiàn)形思數(shù)、數(shù)形結(jié)合的目的。從目前初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)看，雖然教材編排中將數(shù)形結(jié)合貫徹其中，但應(yīng)如何把握好數(shù)形結(jié)合的分寸，如何引導(dǎo)學(xué)生自主思考數(shù)形結(jié)合的有效途徑呢？

一、以形助數(shù)，簡(jiǎn)化解題過(guò)程

探究數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)體系中的主要內(nèi)容，嚴(yán)密的邏輯、抽象的含義往往是阻礙學(xué)生理解問(wèn)題的“絆腳石”。因此，在數(shù)形結(jié)合理念的指導(dǎo)下，教師應(yīng)利用恰當(dāng)?shù)膸缀螆D形，對(duì)抽象的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行“翻譯”，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，進(jìn)而建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，以幫助學(xué)生消化知識(shí)。在初中階段，需要以形助數(shù)的知識(shí)內(nèi)容主要包括：

1.有理數(shù)知識(shí)

在有理數(shù)這一章節(jié)中引入了“數(shù)軸”，在數(shù)軸上標(biāo)出有理數(shù)的位置則是實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化最直觀的案例。因此，在有理數(shù)的講解中，教師應(yīng)結(jié)合“數(shù)軸”知識(shí)，幫助學(xué)生了解圖解方法。

例如題目：在數(shù)軸上，A點(diǎn)和B點(diǎn)所表示的數(shù)分別為-2和1，若使A點(diǎn)表示的數(shù)是B點(diǎn)表示的數(shù)的3倍，應(yīng)將A點(diǎn)如何移動(dòng)。在題目講解中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生直接畫(huà)出數(shù)軸，在數(shù)軸中標(biāo)出A、B兩點(diǎn)，根據(jù)條件直接觀察數(shù)軸，可知需要將A點(diǎn)向右移動(dòng)5個(gè)單位，即落在3的位置，保證“A點(diǎn)表示的數(shù)是B點(diǎn)表示數(shù)的3倍”。

2.不等式知識(shí)

初中階段，學(xué)生初次接觸不等式，相較于之前學(xué)過(guò)的確定的方程解，不等式解的范圍常常讓學(xué)生迷惑，這時(shí)，教師就可以利用數(shù)軸將不等式解的范圍畫(huà)出來(lái)，從而降低知識(shí)的理解難度。

例如不等式組： 2-x>0

+1≥，求得不等式組的解為-1≤x<2，在數(shù)軸上則可以直接描繪出-1到2之間的一段距離。這樣，學(xué)生不僅可以區(qū)別等式方程與不等式方程解之間的含義，還能夠根據(jù)數(shù)軸提示驗(yàn)證不等式解準(zhǔn)確與否。

3.方程組知識(shí)

在初中階段，二元一次方程組是學(xué)生探究數(shù)量關(guān)系的重要手段，在數(shù)形結(jié)合的指導(dǎo)下，教師可以指導(dǎo)學(xué)生將方程組中的每一個(gè)方程轉(zhuǎn)換成函數(shù)，并繪制一次函數(shù)圖像，并根據(jù)兩條函數(shù)圖像的位置關(guān)系確定解的個(gè)數(shù)及其位置關(guān)系。

例如題目： 2x+y+1=0

x+2y=0，通過(guò)繪制圖形發(fā)現(xiàn)兩條線相交。因此，方程組有一組解，即x=-，y=，這樣的數(shù)形結(jié)合能夠讓學(xué)生深入理解并靈活運(yùn)用。

4.函數(shù)知識(shí)

函數(shù)問(wèn)題作為數(shù)學(xué)體系中最重要，也是最關(guān)鍵的存在，其解題過(guò)程必須要依靠圖形，換句話說(shuō)，數(shù)形結(jié)合在函數(shù)問(wèn)題中得到了最淋漓盡致的體現(xiàn)。只有借助圖形的輔助，函數(shù)解析式的表達(dá)含義才將更趨完整?；诖?，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合函數(shù)知識(shí)對(duì)數(shù)形結(jié)合理念進(jìn)行系統(tǒng)滲透。

例如題目：某酒店有客房90間，當(dāng)每間客房定價(jià)為140元時(shí)，客房能夠住滿，客房每漲價(jià)10元，就會(huì)有5間客房空出來(lái)，而居住的客房，酒店每天要支付各種費(fèi)用總計(jì)60元，請(qǐng)問(wèn)，酒店利潤(rùn)與客房漲價(jià)之間呈什么關(guān)系。在解析這一問(wèn)題的過(guò)程中，教師首先要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷二次函數(shù)的基本特征，然后利用題目中的數(shù)量關(guān)系找到兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，并代入解析函數(shù)。

二、數(shù)形結(jié)合，深化知識(shí)理解

數(shù)與形之間對(duì)立又統(tǒng)一的關(guān)系，能夠啟發(fā)學(xué)生觀察數(shù)與式的特征，并在分析數(shù)形轉(zhuǎn)換路徑的過(guò)程中，將抽象知識(shí)升華為具體可見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系或圖形狀態(tài)，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)字化或圖形化的理解過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步理解以形助數(shù)、以數(shù)輔形的途徑，以達(dá)到數(shù)與形的真正融合與運(yùn)用。

例如題目：求的值，在解題中，教師先讓學(xué)生觀察每一個(gè)加數(shù)的特點(diǎn)，然后指導(dǎo)學(xué)生制作面積為1平方米的小正方形，并標(biāo)上不同的序號(hào)，第一次剪去小正方形的一半，正好能夠得到，而第二次剪去剩余圖形的一半正好是，以此類推，每一次剪去的都是上一次圖形的一半，當(dāng)?shù)趎次剪掉圖形后，剩余的圖形面積則為，通過(guò)對(duì)每一個(gè)剩余圖形面積的疊加可知，++…+=1-。

隨著教學(xué)改革的推進(jìn)，一些開(kāi)放性題目也會(huì)越來(lái)越多，傳統(tǒng)按部就班的解題方法，會(huì)讓原本充滿趣味性和啟發(fā)性的問(wèn)題變得刻板、僵化，從而失去了拓寬視野、訓(xùn)練思維的作用與效果。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)滲透數(shù)形結(jié)合理念，對(duì)這類開(kāi)放性題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊?，以指?dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)

形結(jié)合的理念進(jìn)行體驗(yàn)、探索，進(jìn)而在圖形中理解數(shù)字，在數(shù)字中認(rèn)識(shí)圖形，以促使知識(shí)的數(shù)與形結(jié)合起來(lái)。

三、以數(shù)輔形，精確解題方法

在數(shù)形結(jié)合中，許多教師注重的是“以形助數(shù)”，而忽視了以數(shù)輔形，其實(shí)，在解決幾何問(wèn)題的過(guò)程中，教師利用數(shù)量關(guān)系能夠更加準(zhǔn)確、直接地歸納幾何圖形的特征，并探索圖形與數(shù)量之間的聯(lián)系與規(guī)律，讓圖形信息用代數(shù)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，以突顯數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化與支持。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，以數(shù)輔形的教學(xué)案例主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.在數(shù)與式規(guī)律探究中的運(yùn)用

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些給出基本的圖形關(guān)系，探究某一系列圖形變化規(guī)律的問(wèn)題，在解題中，學(xué)生不可能將每一個(gè)圖形畫(huà)出來(lái)，而這時(shí)就可以利用“數(shù)”的輔助，對(duì)圖形所代表的式子進(jìn)行精確，并根據(jù)其中的邏輯關(guān)系探究規(guī)律。

例如：一組有規(guī)律的圖案，它們由黑白兩種顏色的菱形組成，第1個(gè)圖案中黑色菱形的四個(gè)邊上分別延伸出4個(gè)白色菱形；第2個(gè)圖案中2個(gè)黑色菱形衍生出7個(gè)白色菱形；第3個(gè)圖案中3個(gè)黑色菱形衍生出10個(gè)白色菱形……依此規(guī)律，第n個(gè)圖案中白色菱形的個(gè)數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）。在找規(guī)律的過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同的圖形標(biāo)上序號(hào)1，2，3，……n，而白色菱形的個(gè)數(shù)則為4，4+3，4+3+3，……這樣到第n個(gè)就可以總結(jié)出規(guī)律：4+3（n-1），通過(guò)這樣的圖形固定累加，學(xué)生能夠利用代數(shù)式將其中的規(guī)律表達(dá)出來(lái)，從而精確了圖形解析效果。

2.在平面幾何知識(shí)中的運(yùn)用

初中階段的平面幾何問(wèn)題除了單純的證明類之外，還包括求面積、長(zhǎng)度等問(wèn)題，而這些問(wèn)題的精準(zhǔn)解決，則必須要在“數(shù)”的輔助下完成，以達(dá)到“以數(shù)輔形”的目的。只有這樣，在數(shù)字的輔助下，對(duì)幾何圖形的分析才能更加準(zhǔn)確。

例如題目：八個(gè)等圓按照相鄰兩兩外切的方式擺放，圓心連線構(gòu)成一個(gè)正八邊形，假設(shè)正八邊形內(nèi)側(cè)八個(gè)扇面的面積之和為S，正八邊形外側(cè)八個(gè)扇面的面積S，則為（ ）。在這一題目中，直接運(yùn)用面積公式計(jì)算非常麻煩，學(xué)生可以根據(jù)條件繪制圖形，通過(guò)對(duì)圖形的觀察可以知道正八邊形的內(nèi)角為135°，八個(gè)小圓形均是如此，這樣就能夠?qū)⒚娣e比轉(zhuǎn)化為角度比，即每一個(gè)小圓形陰影部分扇形角度為225°，從扇形內(nèi)角的比例關(guān)系可以得出=。這樣，在數(shù)字的輔助下圖形的分析更加準(zhǔn)確，看似復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。

總之，初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該注重對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透。數(shù)形結(jié)合是最重要的數(shù)學(xué)思想，在教學(xué)指導(dǎo)中，教師一方面要深入分析數(shù)形關(guān)系，為學(xué)生梳理數(shù)形結(jié)合知識(shí)，并深化理念滲透，提高知識(shí)理解能力；另一方面還應(yīng)該結(jié)合具體問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)以形助數(shù)、以數(shù)輔形、數(shù)形結(jié)合的過(guò)程，讓學(xué)生在具體問(wèn)題中咀嚼、反思數(shù)形結(jié)合思想，從而迅速提升數(shù)學(xué)思維。

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