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        淺談數(shù)列的教學(xué)

        2018-12-19 11:08:38張?jiān)茦?biāo)
        讀與寫·下旬刊 2018年12期
        關(guān)鍵詞:迭代法數(shù)列策略

        張?jiān)茦?biāo)

        摘要:對(duì)于高考中的數(shù)列解答題,因它能有效地考查學(xué)生的邏輯推理能力,運(yùn)算能力,以及運(yùn)用相關(guān)知識(shí)分析問題,解決問題的能力,所以在命題的方向上常將數(shù)列與函數(shù),數(shù)列與方程,數(shù)列與不等式等知識(shí)進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合,從而使試題變得更具有新意,更能有效地考查學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識(shí),且試題往往具有較好的區(qū)分度。為此,筆者結(jié)合自已的高中教學(xué)實(shí)踐對(duì)高中數(shù)列的教學(xué)談幾點(diǎn)看法,以供讀者參考。

        關(guān)鍵詞:數(shù)列;迭代法;策略

        中圖分類號(hào):G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:B 文章編號(hào):1672-1578(2018)36-0149-02

        1.要注重an與sn的關(guān)系并把其作為解題的突破口,來尋求解決數(shù)列問題的解題途徑

        案例1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn滿足sn=2an+(-1)n,n≥1

        (1)寫出數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1,a2,a3; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

        (3)證明:對(duì)任意的整數(shù)有m>4,有1a4+1a5+…+1am<78.

        解:(1)由題設(shè)所給條件易得:a1=1,a2=0,a3=2.

        (2)由an與sn的關(guān)系:易得∴an=23[2n-2+(-1)n-1] (n≥1).

        (3)證明:由通項(xiàng)公式得a4=2,當(dāng)n≥3且n為奇數(shù)時(shí),

        1an+1an+1=32[12n-2+1+12n-1-1]=

        32·2n-1+2n-222n-3+2n-1-2n-2-1

        <32·2n-1+2n-222n-3=32·(12n-2+12n-1)

        所以,當(dāng)m>4且m為偶數(shù)時(shí),

        1a4+1a5+…+1am=1a4+(1a5+1a6)+(1a7+1a8)+…+(1am-1+1am)<12+32·14×(1-12m-4)<78

        同理, 當(dāng)m>4且m為奇數(shù)時(shí),

        1a4+1a5+…+1am=1a4+(1a5+1a6)+(1a7+1a8)+…+(1am-2+1am-1)+1am

        <78+3(<12m-1+2-12m-2)<78.

        綜上所述,1a4+1a5+…+1am<78.

        小結(jié):本例以an與sn的關(guān)系為主線找出解題的突破點(diǎn),然后借助于不等式的知識(shí)一氣呵成,巧妙求解.

        2.要注重“迭代法”在求解數(shù)列問題中的作用和地位

        案例2,已知點(diǎn)的序列An(xn,0),n∈N+其中x1=0,x2=a(a>0).A3是線段A1A2的中點(diǎn),是線段A2A3的中點(diǎn)……,An是線段An-2An-1的中點(diǎn)……,求數(shù)列{xn}的通項(xiàng).

        解: 由題設(shè)所給條件易得

        xn=xn-1+xn-222xn+xn-1=2xn-1+xn-2=……=2x2+x1=2a.故xn=-12xn-1+a.

        ∴xn-23a=-12(xn-1-23a)利用“迭代法”即得所求數(shù)列的通項(xiàng):xn=23a[1-(-12)n-1]

        小結(jié):一般地,形如:an+1=pan+q, an+1=pan+f(n),an+2=pan+1+qan 等形式的常見遞推關(guān)系的數(shù)列的通項(xiàng)均可以用“迭代法”來求解.

        3.要關(guān)注以高等數(shù)學(xué)的相關(guān)理論為知識(shí)背景,來引導(dǎo)探究解決數(shù)列問題的解題策略

        案例3,設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=a2n-nan+1,n=1,2,3….

        (1)當(dāng)a1=2時(shí),求a2,a3,a4,并由此猜出an的一個(gè)通項(xiàng)公式;

        (2)當(dāng)a1≥3時(shí),證明對(duì)所有的n≥1有: (i)an≥n+2;

        (ii)11+a1+11+a2+…+11+an≤12.

        解:這是以數(shù)列和不等式的基礎(chǔ)知識(shí)為載體,考查猜想,歸納,迭代,遞推,放縮,推理以及分析問題和解決問題能力的一道好題.此題入口較寬,(1)及(2)中的(i)不難解決,留給讀者思考.而(2)中的(ii)難到了不少考生,拉開了檔次,體現(xiàn)了高校與中學(xué)在數(shù)學(xué)能力方面的銜接的要求.

        從高等數(shù)學(xué)級(jí)數(shù)的觀點(diǎn)來看,正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=111+an的前n項(xiàng)和有上界,故級(jí)數(shù)∑∞n=111+an收斂,其收斂速度不大于∑∞n=112a+1的收斂速度(∑∞n=112a+1=12).有比較判斷法可知,必有11+an≤12n+1,即1+an≥2n+1.故問題就可轉(zhuǎn)化為證明: 1+an≥2n+1.

        從初等數(shù)學(xué)的角度來描述上面的過程:為了便于比較大小,應(yīng)使所研究的不等式兩邊有相同的結(jié)構(gòu). ∵11+a1≤14,又14+18+…+12n+1≤12

        ∴只須11+a1+11+a2+…+11+an≤14+18+…+12n+1

        ≤12即可.

        比較兩個(gè)通項(xiàng)11+an與12n+1的大小,即只須證明1+an≥2n+1.

        上面我們分別從高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)兩個(gè)角度出發(fā),跟蹤追索到只須證明同樣的一個(gè)不等式:1+an≥2n+1 .下面從題設(shè)出發(fā),來證明這個(gè)不等式.

        由題設(shè)an+1=a2n-na+1得1+an+1=an(an-n)+2≥an(n+2-n)+2=2(1+an)

        即:1+an+11+an≥2,累乘可得1+an1+a1≥2n-1,即1+an≥2n-1(1+a1)≥2n+1問題就解決了.

        小結(jié):此題留給我們的啟示是:在復(fù)習(xí)和備考中,要關(guān)注高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生具備把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟知問題的能力,這樣在高考中才能充分發(fā)揮出潛力來.

        4.要關(guān)注特殊數(shù)列出現(xiàn)的形式特點(diǎn)及解題對(duì)策,以利于開闊學(xué)生視野,幫助學(xué)生提高觀察問題,分析問題,解決問題的能力

        案例4,設(shè){an}是集合{2t+2s|0≤s

        將數(shù)列各項(xiàng)按照上小下大的原則寫成如下的三角形數(shù)表:

        (1)寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第四項(xiàng),第五項(xiàng)各數(shù);

        (2)求a100.

        解: 這是一道以數(shù)列的特殊結(jié)構(gòu)形式為載體,考查學(xué)生對(duì)數(shù)列,排列組合等知識(shí)的掌握程度以及觀察,分析,解決問題的能力.

        (1)由題設(shè)所給條件易得:第四項(xiàng)各數(shù)為 17 18 20 24.

        第五項(xiàng)各數(shù)為 33 34 36 40 48.

        (2)設(shè)n為an的下標(biāo).注意觀察三角形數(shù)表的結(jié)構(gòu)特征易得:

        第t項(xiàng)第一個(gè)元素的下標(biāo)為t(t-1)2+1,第s個(gè)元素下標(biāo)為t(t-1)2+s,該元素等于2t+2s-1

        據(jù)此判斷a100所在的項(xiàng).因?yàn)?4×(14-1)2<100≤15×(15-1)2所以a100是三角形數(shù)表第14行的第9個(gè)元素.故a100=214+29-1=16640

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