徐兆維

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)的未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)地將會(huì)走向自動(dòng)化，數(shù)學(xué)可以向更多實(shí)際運(yùn)用的人傳播。通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性、嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、廣闊性、批判性，來(lái)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題，讓每個(gè)人都成為不折不扣的數(shù)學(xué)人。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；趨勢(shì)；思維能力

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009 — 2234（2018）08 — 0138 — 03

在現(xiàn)實(shí)生活中，數(shù)學(xué)并不是數(shù)學(xué)家的特長(zhǎng)，數(shù)學(xué)被各個(gè)學(xué)科廣泛使用，地理學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)，都需要應(yīng)用到大量的數(shù)學(xué)建模和模擬。而在現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)教育中，學(xué)生重復(fù)計(jì)算大量的習(xí)題，多數(shù)是人工筆頭計(jì)算步驟復(fù)雜的計(jì)算題，但是這些題目完全不涉及復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

我們姑且可以把數(shù)學(xué)分為兩個(gè)方面：應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育。一方面，普通大眾逐漸喪失對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。另一方面，應(yīng)用數(shù)學(xué)在當(dāng)代社會(huì)的地位大于人類所經(jīng)歷的任何一個(gè)時(shí)期。我們處于比從前更加趨于數(shù)學(xué)化、數(shù)量化的數(shù)形世界中。

那么，數(shù)學(xué)教育的意義何在？為什么又要將數(shù)學(xué)作為通識(shí)基礎(chǔ)教育？

其實(shí)，數(shù)學(xué)屬于一種技術(shù)工作，很多學(xué)科的職業(yè)都需要應(yīng)用到；而數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)人類的經(jīng)濟(jì)發(fā)展至關(guān)重要；同時(shí)，數(shù)學(xué)還是一種日常生活需要：即使是普通大眾，生活中也需要應(yīng)用一些基本的數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問(wèn)題，比如生活費(fèi)用，房貸計(jì)算等等。

一、數(shù)學(xué)不等同于計(jì)算，數(shù)學(xué)教學(xué)將走向自動(dòng)化

但數(shù)學(xué)不等同于計(jì)算，數(shù)學(xué)是一門遠(yuǎn)遠(yuǎn)比計(jì)算廣泛的學(xué)科，更注重邏輯思維訓(xùn)練。

這是因?yàn)橛?jì)算在某種程度上只是機(jī)械化的數(shù)學(xué)，是雜活，是如果可以避免，就應(yīng)該交給計(jì)算機(jī)工具來(lái)處理的工作。計(jì)算僅僅是為了達(dá)到目的的手段，而不是目的本身。世界用了106年的時(shí)間教人們做用筆頭解決運(yùn)算問(wèn)題，在中國(guó)，這個(gè)時(shí)間更久。但是近20年來(lái)，時(shí)代已經(jīng)發(fā)生了很大的變革，自動(dòng)化允許我們享受這種計(jì)算機(jī)所帶來(lái)的工作福利，我們?yōu)槭裁催€要繼續(xù)這項(xiàng)耗時(shí)費(fèi)力的工作呢？

人類只要在必要的時(shí)候，學(xué)會(huì)必要的計(jì)算就可以了。而這種情況并沒(méi)有那么多，我們也只需要掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)就完全可以應(yīng)付了。

而恰當(dāng)使用電腦使數(shù)學(xué)教學(xué)更有趣關(guān)于使用計(jì)算機(jī)教學(xué)，出現(xiàn)了以下一些觀點(diǎn)和爭(zhēng)議：

學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該先打好基礎(chǔ)，在掌握基礎(chǔ)之后再使用計(jì)算機(jī)。但是，什么是基礎(chǔ)呢？開(kāi)車的基礎(chǔ)是知道如何修車或者是設(shè)計(jì)車模嗎？寫作的基礎(chǔ)是知道如何做鵝毛筆嗎？你要學(xué)的事的基礎(chǔ)可以分為兩部分：你如何去做和機(jī)器可以如何去做。一百年前，如果人類要學(xué)駕車，必須要學(xué)會(huì)一些基本的器械設(shè)計(jì)原理，例如要知道如何打火等等。但是當(dāng)前車輛的自動(dòng)化已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了兩門學(xué)科的分離?，F(xiàn)在駕車與汽車工程學(xué)是相對(duì)獨(dú)立的兩個(gè)學(xué)科?，F(xiàn)在的自動(dòng)化給予人類更多的自主選擇，而數(shù)學(xué)的教學(xué)也會(huì)走向這樣的自動(dòng)化，數(shù)學(xué)可以向更多實(shí)際運(yùn)用的人傳播。

關(guān)于基礎(chǔ)技能還有另外一個(gè)觀點(diǎn)：人們經(jīng)常把發(fā)明工具的次序和教學(xué)中應(yīng)用這些工具的次序混為一談。不是說(shuō)紙張的發(fā)明在計(jì)算機(jī)之前，就一定代表用紙張教學(xué)就一定要在用計(jì)算機(jī)教學(xué)之前。智能設(shè)備普及的現(xiàn)代社會(huì)，人們對(duì)不同工具應(yīng)用的熟練程度已經(jīng)不同于從前。先用什么工具來(lái)教學(xué)并不重要，重要的是選擇最佳的工具來(lái)教學(xué)。

于是，出現(xiàn)了計(jì)算機(jī)會(huì)使數(shù)學(xué)變得愚蠢的觀點(diǎn)。持有此觀點(diǎn)的人表示：用計(jì)算機(jī)只要按按鈕，人類不用思考，但是用人工筆頭運(yùn)算，是智力訓(xùn)練，計(jì)算機(jī)會(huì)使人的大腦因?yàn)樯偎伎级兊糜薮馈?/p>

但是，我們真的以為，現(xiàn)在人們通常在學(xué)校學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)真的比按照解題步驟做題學(xué)得多嗎？大部分學(xué)生還在用不理解的原理去解答他們不明白的問(wèn)題。更重要的是，現(xiàn)在在學(xué)校學(xué)到的大部分知識(shí)已經(jīng)不再實(shí)用了，或許50年前還在用，但現(xiàn)在已經(jīng)不再實(shí)用了。學(xué)生除了在課堂上，他們都會(huì)用計(jì)算機(jī)來(lái)完成現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題。計(jì)算機(jī)的普及使得多媒體教學(xué)也開(kāi)始普及，但是我們?yōu)槭裁匆糜?jì)算機(jī)來(lái)演示如何用筆算解題呢，明明計(jì)算器可以自己解決，為什么要用先進(jìn)的工具來(lái)演示古老的教學(xué)方式。計(jì)算機(jī)可以解決更復(fù)雜和棘手的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，而不是我們?cè)跀?shù)學(xué)課上做的那些耗時(shí)不實(shí)用的數(shù)學(xué)習(xí)題呢！

二、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，解決實(shí)際問(wèn)題

大家通常會(huì)認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)只是加減乘除的累積，是一門理性的學(xué)科，只重視了表面的數(shù)字運(yùn)算，卻很容易就忽視了數(shù)學(xué)與其他科目之間的聯(lián)系，以及中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生邏輯思維能力的訓(xùn)練。邏輯思維能力并不像人們想象的那樣固化，它是可以通過(guò)后期培養(yǎng)的，并且會(huì)逐漸成為幫助人們理清思路解決問(wèn)題的法寶之一。

1.什么是數(shù)學(xué)思維能力

思維是人腦對(duì)客觀事物的一般特殊性和規(guī)律性的一種間接的、概括的反映過(guò)程。數(shù)學(xué)思維是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系等）的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律的間接反映，并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理性活動(dòng)。

2.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的各種好處

對(duì)孩子來(lái)講，良好的數(shù)學(xué)思維能力可以幫助他們快速獲取新知識(shí)、更好地進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，也屬于智力發(fā)展的核心；對(duì)教師來(lái)講，培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)思維能力能夠有效提高教學(xué)效益。為了教師和學(xué)生之間實(shí)現(xiàn)更加高水平的教、學(xué)平衡，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力刻不容緩。當(dāng)然，習(xí)慣不是三兩天就能養(yǎng)成的，更何況數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，它的養(yǎng)成需要落實(shí)到平時(shí)的學(xué)習(xí)生活中去，從思維品質(zhì)的形成開(kāi)始。

3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維邏輯的五大途徑

（1）培養(yǎng)思維的靈活性

思維的靈活性是指能隨事物的變化而隨機(jī)應(yīng)變的及時(shí)性，以及不過(guò)多地受思維定勢(shì)的影響。如果缺乏思維靈活性，我們的思維就會(huì)更加傾向某種具體的方式和方法，很容易出現(xiàn)鉆牛角尖的情況，片面追求解決問(wèn)題的模式化和程序化，長(zhǎng)此以往造成思維出現(xiàn)惰性。

擅于從舊的模式和普遍制約條件中脫離出來(lái)，找到正確的方向；針對(duì)知識(shí)可以運(yùn)用自如，善運(yùn)用辯證思想來(lái)平衡事物之間的關(guān)系，具體問(wèn)題具體分析，懂得變通和調(diào)整思路等等，這些是思維靈活性養(yǎng)成的直接表現(xiàn)。

（2）培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是指考慮問(wèn)題的嚴(yán)密、有據(jù)。落實(shí)到孩子學(xué)習(xí)生活中去，就是要求在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)從基本理念開(kāi)始，做到在思路清晰的前提條件下穩(wěn)扎穩(wěn)打，逐步深入，在這個(gè)相對(duì)來(lái)說(shuō)緩慢的過(guò)程中養(yǎng)成思考問(wèn)題周密的思維習(xí)慣，在進(jìn)行論證推理時(shí)掌握足夠的理由作為依據(jù)；在練習(xí)試題時(shí)善于留心題干中的隱蔽條件，詳細(xì)答題，不吝嗇地寫出解題思路。

（3）培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的深刻性

思維深刻性是指思維活動(dòng)的抽象程度和邏輯水平，以及思維活動(dòng)的深度和難度。相信大多數(shù)學(xué)生都出現(xiàn)過(guò)這樣的情況，有時(shí)候老師評(píng)講試卷，一聽(tīng)錯(cuò)題的解題過(guò)程很容易就懂了，恍然大悟自己居然犯了如此低級(jí)的錯(cuò)誤，但一旦離開(kāi)書本和老師就無(wú)法領(lǐng)會(huì)到解題方法和實(shí)質(zhì)，實(shí)現(xiàn)獨(dú)立解題。這就要求學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要透過(guò)現(xiàn)象看數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

（4）培養(yǎng)思維的廣闊性

為了提高廣闊度可以采用以下方法：

一題多解（一道問(wèn)題多種解法）；

一題多變（一道問(wèn)題多種變化形式，即一道題變化成多種不同的題型）；

一圖多畫（一個(gè)圖形抓住其本質(zhì)特征，采用不同的畫法）；

一題多問(wèn)（一個(gè)問(wèn)題多種不同的說(shuō)法）；

敢于質(zhì)疑（有不同意見(jiàn)敢于發(fā)問(wèn)）；

多設(shè)計(jì)一些開(kāi)放性的題目；

（5）培養(yǎng)思維的批判性

思維的批判性是指思維活動(dòng)中善于嚴(yán)格地估計(jì)思維材料和精細(xì)地檢查思維過(guò)程。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生要善于從已有的答案和解題過(guò)程中提煉出自己想要的東西，發(fā)表自己的見(jiàn)解。不能一味盲從，要學(xué)會(huì)用批判性的思路去進(jìn)行各種方式的反思和檢驗(yàn)。

但是實(shí)際上很多易懂的觀念是可以向更低年級(jí)的學(xué)生傳授的，用計(jì)算機(jī)做一個(gè)模型，讓學(xué)生直觀地感受到：如果正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增大，形狀就會(huì)趨近于圓形。這是非常實(shí)用的觀察，讓學(xué)生容易理解到無(wú)限趨近的含義。 這樣的教學(xué)變革唯一遇到的障礙便是考試，因?yàn)榭荚囀怯萌斯すP頭來(lái)計(jì)算解題步驟。但是在考試中應(yīng)用計(jì)算機(jī)也是同等重要的事，在以后的數(shù)學(xué)測(cè)試中，應(yīng)該更多地設(shè)置實(shí)際問(wèn)題：比如我們?nèi)绾芜x擇適合自己的壽險(xiǎn)，壽險(xiǎn)年限、利率是如何影響到我們壽險(xiǎn)費(fèi)用。我們應(yīng)該在數(shù)學(xué)教育中更加實(shí)際的解決生活常遇見(jiàn)的問(wèn)題。

三、做個(gè)“數(shù)學(xué)人”，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的眼睛

很多人認(rèn)為他們自己不是“數(shù)學(xué)人”。我會(huì)貫穿本文始終地告訴你一個(gè)可以肯定的結(jié)論，不管你是否相信，你是一個(gè)數(shù)學(xué)人。數(shù)學(xué)的刻板印象很多人都認(rèn)為數(shù)學(xué)只存在于數(shù)學(xué)課堂，教科書和“數(shù)學(xué)人”的頭腦中，“數(shù)學(xué)人”的定義則是人型計(jì)算器。

然而，這個(gè)觀點(diǎn)中的數(shù)學(xué)以及借助數(shù)學(xué)可以達(dá)到的成就，都和真實(shí)情況相差很遠(yuǎn)。我可以想象人們記憶中可怕的數(shù)學(xué)故事 —— 令人流淚的分?jǐn)?shù)計(jì)算，令人沮喪的X方程式，或者是至今令人忌憚的對(duì)數(shù)和三角恒等式?？赡苣氵€記得那句分?jǐn)?shù)除法順口溜“不必問(wèn)緣由，顛倒再相乘”，比如：6 ÷ ？ = 6 ？ 2/1 = 6 ？ 2 = 12數(shù)學(xué)其實(shí)很生活而它到底作何解釋呢？我們可以問(wèn)另一個(gè)等價(jià)的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行理解。多少個(gè)1/2才能湊夠6？比如說(shuō)，可能你只有一個(gè)總量相當(dāng)于半杯水的量杯，多少個(gè)半杯水可以填滿6個(gè)空杯子？ 或者可能你每次只想要吃半塊糖果，而你有6塊糖果，每個(gè)可以掰成兩半？突然你發(fā)現(xiàn)研究的問(wèn)題變了——變得很生活化。當(dāng)你從生活的角度考慮數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，原本很抽象的問(wèn)題鮮活了起來(lái)。

當(dāng)我們理解了一種計(jì)算方法的原理，我們會(huì)更容易記住方法本身，從而更容易得到正確答案。更好的理解會(huì)帶來(lái)更好的生活。即使生活不變，至少可以帶來(lái)更多的滿足感。

每個(gè)人都是“數(shù)學(xué)人”你還不相信自己是一個(gè)“數(shù)學(xué)人”？

數(shù)學(xué)教育家Felicia Darling曾經(jīng)在尤卡坦半島居住數(shù)月，調(diào)研當(dāng)?shù)赝林斞湃藢?duì)數(shù)學(xué)的看法，以及他們是否認(rèn)為自己是“數(shù)學(xué)人”。她發(fā)現(xiàn)瑪雅人和大多數(shù)美國(guó)人一樣，他們相信數(shù)學(xué)只存在于課堂上，教科書和“數(shù)學(xué)人”的頭腦中。大部分瑪雅人都在創(chuàng)新地解決日常生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，卻不相信自己是“數(shù)學(xué)人”。沒(méi)有自行車？沒(méi)問(wèn)題，研究一個(gè)模型，用竹子制作一個(gè)框架，然后裝上輪胎，齒輪，內(nèi)線和鏈條。想想看制作框架過(guò)程中遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題：調(diào)整齒輪和估算比例。需要一輛出租車？你跳上一輛摩托車，發(fā)現(xiàn)車上的里程計(jì)是壞的，所以司機(jī)用速度和時(shí)間來(lái)計(jì)算距離。你可能會(huì)回想起代數(shù)課學(xué)過(guò)的經(jīng)典公式，距離=速度*時(shí)間。

Darling的研究記錄下一個(gè)又一個(gè)數(shù)學(xué)原理應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的案例。應(yīng)該對(duì)討厭數(shù)學(xué)的孩子說(shuō)什么？首先，請(qǐng)不要告訴他你恨數(shù)學(xué)，或者告訴他不喜歡數(shù)學(xué)沒(méi)什么關(guān)系，畢竟你從來(lái)不擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)。事實(shí)證明對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼可能會(huì)傳遞。對(duì)自己表現(xiàn)的恐懼會(huì)影響我們提取工作記憶（working memory），從而極大的降低我們的運(yùn)算能力。請(qǐng)不要責(zé)怪老師們——很多老師也不認(rèn)為他們是數(shù)學(xué)人。如何幫助不愛(ài)數(shù)學(xué)的孩子，以下是你可以做的：傾聽(tīng)。問(wèn)問(wèn)孩子，讓他解釋他正在解決的問(wèn)題，他認(rèn)為解決方法是什么，看看你能不能和孩子一起解決問(wèn)題。如果數(shù)學(xué)的重點(diǎn)不在答案，而在于發(fā)現(xiàn)的過(guò)程會(huì)怎么樣？除了作業(yè)之外，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的眼睛和探索的習(xí)慣會(huì)讓我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在方方面面影響著我們的生活。下次你發(fā)現(xiàn)自己遇到某個(gè)問(wèn)題——如何估計(jì)管子的長(zhǎng)度，哪個(gè)超市的特價(jià)活動(dòng)實(shí)際最好，哪條路可以更快到達(dá)目的地；而你正在思考解決方法的時(shí)候，記住這一點(diǎn)：你，是個(gè)不折不扣的數(shù)學(xué)人。

我們這些數(shù)學(xué)人必須加快速度，不是行走，而是跳躍，從鴻溝的一頭跳到另外一頭。因此，我們需要一套全新的、建立在應(yīng)用計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)上、改良過(guò)的數(shù)學(xué)教學(xué)課程，而這門課將引領(lǐng)未來(lái)的教育趨勢(shì)。

〔責(zé)任編輯：侯慶?！?/p>