問題

問題19(供題者: 復(fù)旦大學(xué) 張奇) 甲與乙下棋獲勝的概率是40%，但甲想不停地與乙下棋直到凈勝乙五局就結(jié)束，他有可能做到這一點(diǎn)嗎？如果有可能，請給出做到這一點(diǎn)的概率是多少；如果不可能，請說明原因.

注：讀者在提供問題解答時，請先提供印刷體的版本，并注明單位、姓名和身份(教師、本科生或研究生等). 解答被選用后需提供word版本.

問題20(供題者:吉林大學(xué) 周鳴君) 設(shè)B是n(n≥1)中的單位開球，非負(fù)函數(shù)u在B內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，u(0)=0且u在B內(nèi)不恒為0.試證明：對于任意的α>0，都存在ξ∈B， 使得Δu(ξ)>αu(ξ)，其中

解答

問題10(供題者: 湖南交通工程學(xué)院高科技研究院 馮良貴) 設(shè)R={1,0,-1},Rn×n為R上n階方陣全體, 證明：集合S={detA|A∈Rn×n} 必包含開區(qū)間(-2n-1,2n-1) 內(nèi)的一切整數(shù).進(jìn)一步,提出如下開放問題：S是否就由閉區(qū)間 [-2n-1,2n-1] 內(nèi)的一切整數(shù)所構(gòu)成？

解以下解答由陳樹人(武漢理工大學(xué)本科生，E-mail:1340511818@qq.com)和張神星(合肥工業(yè)大學(xué)副研究員,E-mail: zhangshenxing@hfut.edu.cn )獨(dú)立給出.兩份解答方法基本一致.前半部分選取了陳樹人的解答，后半部分選取了張神星的解答.

構(gòu)造矩陣A的行列式如下

第i行乘以-1加到第i+1行(i依次從n-2到 1)，可得

再將第j列乘2加到第j-1列(j依次從n-1到 2)，可得

顯然(-2n-1,2n-1)中的整數(shù)可以用二進(jìn)制展開表示為a1+2a2+...+2n-2an-1,其中a1,...,an-1取值為{-1,0,1}，所以集合S必包含開區(qū)間(-2n-1,2n-1).

供題者點(diǎn)評作者利用整數(shù)的二進(jìn)制表示, 結(jié)合行列式的基本性質(zhì)成功地回答了此問題的第一部分.對此問題的第二部分，作者通過舉例給出了否定的答案，并與著名的Hadamard猜想相聯(lián)系，回答簡潔有趣，恰好反映了問題提供者初衷.綜上，解答人給出了該問題的一個完美回答.