唐 爍, 劉 俊, 楊 威
(1.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥 230601; 2.陸軍軍事交通學(xué)院,天津 300161)
全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽是涉及范圍廣泛、深受大學(xué)生喜愛的一項(xiàng)全國性賽事,對培養(yǎng)人才質(zhì)量有著積極的促進(jìn)作用,而對競賽試題的研究與探討,一方面為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和能力提供必要的素材,另外一方面對提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣有著積極的促進(jìn)作用.這在教學(xué)上無疑具有一定的意義和參考價(jià)值.
第十一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽(非數(shù)學(xué)類,2021年4月)試題的第四題為
為了和后面的內(nèi)容進(jìn)行比較,將此試題的參考答案摘錄如下:
根據(jù)積分中值定理,存在ξ∈(0,1), 使得ξ(1-ξ)(3-f′(ξ))=0.即f′(ξ)=3.
本文首先給出此題的一般形式,然后再對所討論的問題作進(jìn)一步探究.
通過對試題本身的研究,現(xiàn)將該題的一般形式以結(jié)論的形式給出.
結(jié)論1設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),若λ,μ為實(shí)數(shù)且
(1)
(2)
則存在ξ∈(a,b), 使得f′(ξ)=λ.
由積分中值定理知,存在ξ∈(a,b), 使得f′(ξ)=λ.
特別地,取a=0,b=1,λ=3,μ=1即可得到前面的試題,因此結(jié)論1是原試題的推廣.
揚(yáng)州大學(xué)2021年碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)分析試題.
在對所討論的問題做進(jìn)一步探究之前,先介紹如下的引理.
引理若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且存在非負(fù)整數(shù)m ,使得
則f(x)在(a,b)內(nèi)至少存在m+1個零點(diǎn).
此引理的證明可參見[1].
若令φ(x)=f(x)-λx-μ,則有(1),(2)可得
于是,由引理可知,函數(shù)φ(x)在(a,b)內(nèi)至少存在兩個零點(diǎn)ξ1,ξ2,不妨設(shè)ξ1<ξ2,即至少有ξ1,ξ2∈(a,b),使得φ(ξ1)=φ(ξ2)=0,對φ(x)在[ξ1,ξ2]?(a,b)上運(yùn)用羅爾中值定理知,存在ξ∈(ξ1,ξ2)?(a,b),使得φ′(ξ)=0,即f′(ξ)=λ.
這樣,借助于引理給出了結(jié)論1的又一個證明.而且由此證明可啟發(fā)我們利用引理得出更多類似于結(jié)論1的結(jié)果.下面僅介紹如下的:
結(jié)論2設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù),若λ,μ,ν為實(shí)數(shù),且
(3)
(4)
(5)
則存在ξ∈(a,b), 使得f″(ξ)=λ.
于是,由引理可知,函數(shù)φ(x)在(a,b)內(nèi)至少存在三個零點(diǎn)ξ1,ξ2,ξ3,不妨設(shè)ξ1<ξ2<ξ3,使得φ(ξ1)=φ(ξ2)=φ(ξ3)=0,對φ(x)反復(fù)運(yùn)用羅爾中值定理知,存在ξ∈(ξ1,ξ3)?(a,b),使得φ″(ξ)=0,即f″(ξ)=λ.
注 若對結(jié)論2中的參數(shù)λ,μ,ν賦予不同的數(shù)值,則可以得到很多關(guān)于f″(x)的結(jié)論.例如取a=0,b=1,λ=2,μ=ν=0,當(dāng)函數(shù)f(x)在[0,1]上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)且有
則存在ξ∈(0,1), 使得f″(ξ)=2.
本文對第十一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽(非數(shù)學(xué)類)試題的深入挖掘與探討,給出了該試題更為一般的形式,當(dāng)參數(shù)取不同值時(shí),得到多種結(jié)論.在教學(xué)中適當(dāng)?shù)娜谌氡舅夭?,對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力,提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性都有著積極的作用.
致謝感謝相關(guān)文獻(xiàn)的啟發(fā).