戴立輝， 黃建吾， 王宜潔

(閩江學院數(shù)學與數(shù)據(jù)科學學院，福州 350108)

1 引 言

《美國數(shù)學月刊》(The American Mathematical Monthly)2019年第4期的數(shù)學問題與解答刊登了這樣一則數(shù)學問題[1]：

該問題的詳細解答可見參考文獻[1].本文擬對此問題中的數(shù)列構造作一般化處理，對該問題進行推廣討論，適用于更廣泛的一類極限問題，得到如下定理.

2 一般形式

(1)

由此兩式可得

(n+1)xn+1-nxn=f(xn),

(2)

或

(n+1)(xn+1-xn)=f(xn)-xn，

從而

(3)

由題設知，當x→0時，f(x)=x-lx1+m+o(x1+m)，故當n→∞時，

(4)

(5)

由式(2)得

上式兩邊令n→∞，則有

(6)

再次利用Stolz定理，有

利用式(3)和(4)，當xn→0時，

從而

利用式(6)，得到

(1)

取f(x)=sinx，則當0

因此由式(1)知

下面進一步通過實例說明前述定理的應用.

3 應 用

(7)

注 若對參數(shù)α,q賦予具體數(shù)值，可得很多相關數(shù)列的極限.

(8)

令f(x)=ln(1+x)(x>0)，容易證明0

故由前面已證的定理知

(9)

令f(x)=arctanx，不難證明0

故由前面已證的定理知

因此

(10)

f(x)=x(1+xλ)-p=x(1-pxλ+o(xλ))=x-px1+λ+o(x1+λ)，

故由前面已證的定理知

(11)

注 若對參數(shù)λ,p賦予具體數(shù)值，可得很多相關數(shù)列的極限.

故當x>0時，h(x)單調(diào)遞增.又h(0)=0，所以h(x)>0，從而當x>0時，g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，而g(0)=0，所以g(x)>0，因此當x>0時,f(x)

故由前面已證的定理知

(12)

利用函數(shù)ex,e-x的冪級數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算知，當x→0時

故由前面已證的定理知(取f(x)=tanhx)

證首先證明，當0

(13)

0

故由前面已證的定理知

(14)

證由sinx及arcsinx的冪級數(shù)展開式知

從而

故當0

arcsin(sin3x)

(15)

令f(x)=x-arcsin(sin3x) (0

當x→0時，由于

(16)

(17)

當x→0時，由tanx的冪級數(shù)展開式知

故由前面已證的定理知

因此

(18)

由于滿足前述定理條件的數(shù)列有很多，故下面再列出幾個供讀者練習.

4 結 論

本文對已知命題的條件進行一般化處理，同時適當增加約束條件，適用于一大類型極限問題的研究.同時，定理的證明及應用僅涉及到高等數(shù)學常見的幾個極限定理如單調(diào)有界定理、Stolz定理以及泰勒展開定理等，對教師高等教育教學研究或學生提升學習研究與創(chuàng)新實踐水平都有較大的促進作用.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.