王奕潤 胡珍妮 姜曼

【摘要】大學(xué)物理是本科院校理工科學(xué)生的主要必修課程。研究微積分在力學(xué)中的主要應(yīng)用，幫助學(xué)生重視微積分理論與技能學(xué)習(xí)，提升物理學(xué)習(xí)效果，同時對數(shù)理教學(xué)活動提供一點(diǎn)參考。

【關(guān)鍵詞】微積分 導(dǎo)數(shù) 微分 積分

微積分是研究函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)與微分、積分理論及應(yīng)用的重要的數(shù)學(xué)分支。微積分思想及其研究問題的方法，在物理、力學(xué)、天文學(xué)、生物化學(xué)以及經(jīng)濟(jì)、人文等領(lǐng)域應(yīng)用普遍廣泛。學(xué)生通過微積分理論學(xué)習(xí)及基本運(yùn)算能力訓(xùn)練，對后續(xù)課程學(xué)習(xí)大有裨益。

物理學(xué)是研究不同層次物質(zhì)結(jié)構(gòu)和物質(zhì)運(yùn)動的最基本、最普遍規(guī)律的學(xué)科。“對人類未來的進(jìn)步起著關(guān)鍵作用?！弊鳛楫?dāng)代自然科學(xué)領(lǐng)域的奠基者，物理學(xué)之力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)及近代物理學(xué)等知識理論在科技科研及生產(chǎn)領(lǐng)域廣為應(yīng)用。力學(xué)是物理學(xué)重中之重。理工科學(xué)生扎實(shí)系統(tǒng)掌握物理學(xué)基本理論與技能，對完善知識結(jié)構(gòu)及專業(yè)發(fā)展舉足輕重。

微積分知識在力學(xué)部分的應(yīng)用主要在導(dǎo)數(shù)、微分、積分與微分方程幾方面。

一、導(dǎo)數(shù)在力學(xué)中的應(yīng)用

（一）根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義

假設(shè)一元函數(shù)在某點(diǎn)一個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)給該點(diǎn)以增量（仍在同鄰域）時函數(shù)產(chǎn)生相應(yīng)增量。若函數(shù)增量與自變量增量比值，在自變量增量趨于零時的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).又稱函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)。

（二）導(dǎo)數(shù)在力學(xué)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在力學(xué)中的存在形式并不統(tǒng)一。不同導(dǎo)函數(shù)在物理學(xué)中意義迥異。比如速度、加速度等。質(zhì)點(diǎn)按位置矢量的規(guī)律運(yùn)動，在一段時間內(nèi)發(fā)生位移.當(dāng)時間間隔趨于零時，位移與時間比值的極限，就是質(zhì)點(diǎn)在初始時刻的瞬時速度.此速度其實(shí)就是位置矢量對時間一階導(dǎo)數(shù)；再比如，圓周運(yùn)動中角坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)某時刻所在的位置，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動中在一段時間內(nèi)角坐標(biāo)發(fā)生改變，產(chǎn)生角位移。當(dāng)時間間隔趨于零時，角位移與時間間隔比值的極限，是角坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)，其實(shí)就是質(zhì)點(diǎn)在初始時刻的角速度；此外，導(dǎo)數(shù)還可以表征機(jī)械做功的快慢：設(shè)某機(jī)械在一段時間內(nèi)做功，當(dāng)時間趨于零時，機(jī)械所做的功與該段時間之比的極限，可得到機(jī)械在初始時刻的瞬功率，機(jī)械的瞬時功率實(shí)際上就是功對時間導(dǎo)數(shù)。

二、微分在力學(xué)中的應(yīng)用

（一）根據(jù)微分定義

函數(shù)在自變量某點(diǎn)一個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量發(fā)生改變時，若函數(shù)的增量可以表示為自變量增量倍（與自變量增量無關(guān)）跟自變量增量之高階小的和，這個自變量增量的倍稱為函數(shù)在初值處的微分，此時也稱函數(shù)在該處可微。

（二）微分在力學(xué)中的應(yīng)用

微分在物理學(xué)中使用，常以“某某元”形式出現(xiàn)，如位移元，路程元，電流元、元功等質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時常用位置矢量表示質(zhì)點(diǎn)在某時刻相對某點(diǎn)所處位置，位移表示一段時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置矢量的改變。位移元是位置矢量函數(shù)對時間的微分，它表示在很短時間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)微小位矢增量，亦即微小的位移；再如，路程元（又稱長度元）表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時其軌跡長度的微小改變，即微小的路程。路程元是位置函數(shù)對時間的微分。

三、定積分在力學(xué)中的應(yīng)用

（一）函數(shù)定積分的本質(zhì)

函數(shù)定積分的本質(zhì)是求函數(shù)在自變量有限范圍內(nèi)的部分量之總和。簡言之，為計算總量，選取積分變量，取其任一小區(qū)間得函數(shù)部分量元素；從起點(diǎn)到終點(diǎn)對部分量元素累加之和是為總量，這個方法叫定積分元素法。

（二）定積分元素法在力學(xué)中應(yīng)用

求質(zhì)點(diǎn)在變力作用下沿曲線起點(diǎn)移至終點(diǎn)的總功。按功的定義，先計算外力在曲線上任一位移元上所做的元功，此時位移元大小等于曲線元，力做的總功就是元功從起點(diǎn)到終點(diǎn)的定積分；若剛體在垂直于轉(zhuǎn)動軸的外力作用下，轉(zhuǎn)過角位移元，按總功的定義，寫出剛體受外力在這小段位移所做元功，可得力（力矩）對剛體所做總功。

四、可分離變量方程在力學(xué)中的應(yīng)用

（一）微分方程

微分方程是指凡含有未知函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的方程，稱為微分方程。將微分方程中的變量先進(jìn)行分離，再對兩側(cè)同時積分即可。

（二）可分離變量微分方程在力學(xué)中的應(yīng)用

在物理學(xué)運(yùn)算中常常會用分離變量法解微分方程。比如，在直角坐標(biāo)系下，質(zhì)點(diǎn)沿橫軸做初速度不為零的勻變速直線運(yùn)動。由于加速度是速度的一階導(dǎo)數(shù)，分離變量可得速度微分等于加速度與時間微元乘積，結(jié)合初始條件兩側(cè)取定積分即可得解。

綜上所述，微積分與物理學(xué)（含力學(xué)）淵源深厚。對理工科學(xué)生而言，良好的微積分理論功底，對學(xué)習(xí)后續(xù)課程如物理學(xué)大有裨益。從教師角度，從事物理課程教學(xué)的教師，應(yīng)有一定嫻熟深厚的數(shù)學(xué)功底，才能在物理學(xué)（含力學(xué)）授課中揮灑自如；而數(shù)學(xué)教師在微積分教學(xué)中，在教學(xué)中靈活運(yùn)用物理學(xué)量舉例，以學(xué)生獲取最大化為原則，適當(dāng)考慮微積分相關(guān)教學(xué)內(nèi)容安排與后續(xù)課程銜接。

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作者簡介：王奕潤（1970-），研究方向：物理與高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究、新工科實(shí)踐教學(xué)研究。