【摘要】本文主要探討在有收益約束情況下的證券投資組合的最優(yōu)比例系數(shù)及最小組合風(fēng)險(xiǎn)。在證券投資中，應(yīng)考慮在不同的行業(yè)、不同的板塊中進(jìn)行分散投資，在同一行業(yè)和同一板塊中，應(yīng)選取未來(lái)可能收益率較高并且風(fēng)險(xiǎn)較低的股票進(jìn)行投資組合。

【關(guān)鍵詞】證券投資組合 期望收益率 標(biāo)準(zhǔn)差 風(fēng)險(xiǎn)

證券投資組合就是對(duì)一個(gè)包含若干個(gè)以上品種的標(biāo)的券種，同時(shí)或相繼進(jìn)行投資，期望利用其中若干個(gè)（約三、四個(gè)）成功券種投資后所取得的高回報(bào)，來(lái)抵償失敗券種的損失并取得收益的風(fēng)險(xiǎn)投資策略。

證券投資組合的目的，在于將一系列證券進(jìn)行有效組合，在不影響投資期望收益的前提下，減少投資風(fēng)險(xiǎn)。在特定的風(fēng)險(xiǎn)水平上，投資者期望有較高的收益。與此相似，在一定預(yù)期收益率水平上，投資者期望較小的風(fēng)險(xiǎn)。

一、證券投資風(fēng)險(xiǎn)分析

在證券投資活動(dòng)中，投資風(fēng)險(xiǎn)主要來(lái)自于投資收益的不確定性。在證券投資活動(dòng)中，存在一系列不可控的因素，如宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)政策的變化、證券市場(chǎng)行情波動(dòng)、市場(chǎng)利率變動(dòng)、通貨膨脹等，這些因素投資者在進(jìn)行投資決策時(shí)無(wú)法充分把握。決策變量的不確定性，導(dǎo)致證券投資的預(yù)期收益存在相當(dāng)?shù)牟淮_定性。證券投資風(fēng)險(xiǎn)可分為系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)兩種。系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)是指由于全局性事件引起的投資收益變動(dòng)的不確定性。系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)是由社會(huì)、政治、經(jīng)濟(jì)等因素引起的，能影響整個(gè)證券市場(chǎng)價(jià)格變動(dòng)，使證券市場(chǎng)收益率發(fā)生變化。非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)是指對(duì)某個(gè)行業(yè)或個(gè)別證券產(chǎn)生影響的風(fēng)險(xiǎn)，它通常由某一特殊的因素引起，與整個(gè)證券市場(chǎng)的價(jià)格不存在系統(tǒng)的全面聯(lián)系，而只對(duì)個(gè)別或少數(shù)證券的收益產(chǎn)生影響。證券投資風(fēng)險(xiǎn)，無(wú)論是系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)還是非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，最終都會(huì)通過(guò)對(duì)投資者收益穩(wěn)定性的影響得到體現(xiàn)。投資者可以通過(guò)分析證券投資收益率的波動(dòng)情況，來(lái)衡量證券投資的風(fēng)險(xiǎn)程度，即對(duì)某種證券或證券組合的風(fēng)險(xiǎn)加以量化。

系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)是不可分散風(fēng)險(xiǎn)，非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)則是可以通過(guò)證券投資組合技術(shù)來(lái)降低和分散的風(fēng)險(xiǎn)。非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，是指發(fā)生于個(gè)別行業(yè)或者個(gè)別公司的特有事件造成的風(fēng)險(xiǎn)，如公司重組失敗、融資未獲通過(guò)、新產(chǎn)品未能成功開(kāi)發(fā)、發(fā)生生產(chǎn)安全突發(fā)事故、訴訟失敗、重要管理人員流失、合同中斷等，這些事件是隨機(jī)發(fā)生的，難以預(yù)測(cè)的，會(huì)影響一個(gè)或相關(guān)幾個(gè)公司，但不會(huì)對(duì)整個(gè)市場(chǎng)產(chǎn)生很大的影響。這種風(fēng)險(xiǎn)可以通過(guò)多樣化的組合投資來(lái)分散化解，投資組合中的某個(gè)公司發(fā)生的不利事件可以被其他公司的有利事件所抵消。

二、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

證券投資組合的目的是為了獲取最大化的收益。“證券投資組合決策的任務(wù)是在尋求風(fēng)險(xiǎn)和收益平衡的基礎(chǔ)上，獲取最高的投資報(bào)酬率?！盵1]很多學(xué)者對(duì)證券投資組合進(jìn)行了深入研究。李保坤等[2]嘗試采用反比例因子偏正態(tài)分布構(gòu)造一種新的類(lèi)似王氏變換的扭曲函數(shù)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。周忠寶等[3]構(gòu)建了考慮交易成本的多階段投資組合優(yōu)化模型，基于真實(shí)前沿面定義了投資組合的效率并構(gòu)建了相應(yīng)的非線(xiàn)性模型進(jìn)行計(jì)算。吳開(kāi)策[4]提出了基于非正態(tài)分布的投資風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法。張昇平等[5]在一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度研究的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了基于多因子模型的空間。在風(fēng)險(xiǎn)因子服從正態(tài)分布假設(shè)下，揭示了資產(chǎn)之間風(fēng)險(xiǎn)相互作用的一般機(jī)理，同時(shí)論證了M-V模型最優(yōu)解也是任何均值一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度模型的最優(yōu)解。Victor Canto[6]提出了證券投資組合的三個(gè)策略：長(zhǎng)期資產(chǎn)配置策略、戰(zhàn)術(shù)性資產(chǎn)配置策略、周期性資產(chǎn)配置策略。Elton，E.J[7]提出了現(xiàn)代投資組合理論。Hangen[8]在強(qiáng)調(diào)有價(jià)證券理論的前提下提出了正確和指導(dǎo)性的投資概念，對(duì)資本資產(chǎn)價(jià)格、套利交易價(jià)格、證券交易價(jià)格、投資組合、匯率以及證券的管理等進(jìn)行了廣泛的研究。周山等[9]利用概率統(tǒng)計(jì)的原理對(duì)一類(lèi)證券投資組合所能減輕的風(fēng)險(xiǎn)作了研究，并得到了風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合。王仁明等[10]提出了兼顧收益與風(fēng)險(xiǎn)的組合證券資產(chǎn)選擇的模糊最優(yōu)化模型。張錫藩等[11]利用投資組合理論，提出了在一定的期望收益率條件下，使投資風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小值的數(shù)學(xué)模型。姜理等[12]從高斯分布和穩(wěn)定分布角度，以均值和方差的形式，比較資本投資組合收益及風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算方法，從中指出了穩(wěn)定分布的表象更切近于資本資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)實(shí)表現(xiàn)。張顯忠[13]通過(guò)對(duì)投資風(fēng)險(xiǎn)與收益組成的分析，給出了收益與風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算方法。尚宇萍等[14]運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，論述了證券組合投資的積極意義，并用實(shí)例對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益率進(jìn)行了測(cè)度。高培旺[15]提出了一個(gè)證券投資組合的期望效用最大化模型及其分析方法，把客觀(guān)的市場(chǎng)環(huán)境和投資者的主觀(guān)態(tài)度結(jié)合起來(lái)構(gòu)建證券組合策略。

確定一個(gè)有效的投資組合的前提是使投資的選定符合階段組合均勻分布的原則，以及所投資的券種要代表不同的行業(yè)板塊、不同的地區(qū)板塊，也就是說(shuō)，使投資收益不要過(guò)分依賴(lài)某個(gè)券種的影響。當(dāng)某一行業(yè)或板塊發(fā)生波動(dòng)時(shí)，不致所有券種均遭受沖擊。確定券種組合的方法是：第一，確定影響投資的風(fēng)險(xiǎn)與收益的因素。第二，衡量各因素并確定各因素的影響力權(quán)數(shù)。對(duì)各因素的衡量，主要分析各因素獨(dú)立優(yōu)化的可能。第三，計(jì)算投資組合的綜合收益，最終確定投資組合。

三、理論模型基礎(chǔ)

證券投資的收益率是個(gè)隨機(jī)變量，它具有一定的概率分布，且不容易把握其分布情況，因而用其統(tǒng)計(jì)特征即期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）來(lái)表示。期望收益率，又稱(chēng)為持有期收益率（HPR），指投資者持有一券品種或投資組合期望在下一個(gè)時(shí)期所能獲得的收益率。這是一種期望值，實(shí)際收益很可能偏離期望收益。

HPR=（期末價(jià)格-期初價(jià)格+現(xiàn)金股息）/期初價(jià)格

收益率的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算，是先求收益率離差平方和的平均數(shù)，再開(kāi)平方，計(jì)算過(guò)程是將實(shí)際收益率減去預(yù)期收益率，得到收益率的離差，再將各個(gè)離差平方，并乘上該實(shí)際收益率對(duì)應(yīng)的概率后進(jìn)行加總，得到收益率的方差，將方差開(kāi)平方就得到標(biāo)準(zhǔn)差。收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，是衡量實(shí)際收益率圍繞預(yù)期收益率（即平均收益率）分布的離散度，反映的是投資的風(fēng)險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)的衡量，一般將投資風(fēng)險(xiǎn)定義為實(shí)際收益比率對(duì)預(yù)期收益的偏離，數(shù)學(xué)上可以用預(yù)期收益的方差來(lái)衡量。公式為

■

方差的平方根為標(biāo)準(zhǔn)差。

■，

預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)■就是組合的方差，xi、xj表示組合中證券i，j所占的比例，σij表示i和j收益的協(xié)方差，例如N=2，σ2p=σi2Pi2+σj2Pj2+2* Pi*Pj*σi*σj*ρij，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是先列出各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的平方乘以對(duì)應(yīng)概率的平方累加求和，再列出不同的概率兩兩相乘然后與前面對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差相乘再乘以對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)然后累加求和，還要解釋的就是公式里的是協(xié)方差，協(xié)方差等于標(biāo)準(zhǔn)差i乘以標(biāo)準(zhǔn)差j再乘以相關(guān)系數(shù)。當(dāng)i=j=1，i=j=2，...時(shí)，相關(guān)系數(shù)等于1。

設(shè)股票A的收益率為15%的概率為40%，收益率為10%的概率為60%，則：

期望值=15%*40%+10%*60%=12%

標(biāo)準(zhǔn)差=■

=■

=0.0245

統(tǒng)計(jì)學(xué)上，特征值被定義為：

其一，總體期望：

E（x）=∑■■X■P■（離散型），或E（x）=∫■■xf（x）dx（連續(xù)型）；

樣本期望：

E（x）=∑■■XiPi（離散型），或E（x）=∫■■xf（x）dx（連續(xù)型）；

其二，總體標(biāo)準(zhǔn)差：

e=E（X-E（X））2（X為總體中隨機(jī)變量）；

樣本標(biāo)準(zhǔn)差：

■=■（■為變量xi的平均值）。

可以用樣本去估計(jì)總體，有：

E（X）=E（X）

e=■.

期望的意義在于度量一個(gè)數(shù)量系列的平均大小程度，而方差在于度量一個(gè)數(shù)量系列變動(dòng)性偏離期望值的平均大小程度。故可以用期望收益率表示投資收益的多少，用標(biāo)準(zhǔn)差 （或方差）表示投資風(fēng)險(xiǎn)的大小。

E（R）=E（R）=∑■■RiPi

這里：

Ri為第i種證券的未來(lái)可能收益率

E（R）、E（R）分別為總體期望收益率和樣本期望收益率。

e（R）=e（R）=■

這里：

R為可能收益率Ri的平均值，即■=■

e（R）、e（R）分別為未來(lái)可能收益率R的總體標(biāo)準(zhǔn)差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。

因此，可以利用證券不同年份收益率的資料來(lái)計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)差，從而估計(jì)出證券投資的風(fēng)險(xiǎn)程度，并對(duì)不同證券的風(fēng)險(xiǎn)程度加以比較，以供投資決策參考。同時(shí)也可以利用證券市場(chǎng)的有關(guān)資料，計(jì)算全部上市風(fēng)險(xiǎn)證券的年平均收益率及其標(biāo)準(zhǔn)差，以代表整個(gè)風(fēng)險(xiǎn)證券市場(chǎng)的年收益率水平和風(fēng)險(xiǎn)程度。

一般來(lái)說(shuō)，投資者都是風(fēng)險(xiǎn)的厭惡者，他們總希望在同一期望收益率水平下，風(fēng)險(xiǎn)（方差）越小越好，或在同一風(fēng)險(xiǎn)水平下，獲得盡可能大的期望收益率。當(dāng)投資者只持有一種證券時(shí)，該證券未來(lái)收益變動(dòng)的可能性及變動(dòng)幅度，都是投資者應(yīng)當(dāng)承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)投資者持有幾種風(fēng)險(xiǎn)不同的證券時(shí)，所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)就會(huì)發(fā)生變化。當(dāng)投資者持有幾種風(fēng)險(xiǎn)不同的證券時(shí)，所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)有可能被有效分散，也就是說(shuō)，他承擔(dān)的總風(fēng)險(xiǎn)小于分別投資于這些證券所應(yīng)承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)。這種因分散投資而使風(fēng)險(xiǎn)下降的效果，就是資產(chǎn)組合效應(yīng)。證券組合理論認(rèn)為，投資的多元化能夠降低非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，穩(wěn)定收益，使投資者達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。

四、實(shí)證分析

設(shè)投資者按x1，x2，…，xn的比例（x1+x2+…+xn=1，xi≥0，i=1，2，…，n），把資金投資于n種風(fēng)險(xiǎn)證券中去組成證券組合P，風(fēng)險(xiǎn)用方差表示為：

e2P=∑■■∑■■xixjdijeiej=∑■■∑■■xixjeij=XTAX

eij為證券i與證券j的可能收益率的協(xié)方差。

其可能收益率分別為R1，R2，…，Rn，則組合P的可能收益率為：

RP=x1R1+x2R2+…+xnRn

組合P的期望收益率為：

rP=E（RP）=x1E（R1）+x2E（R2）+…+xnE（Rn）=x1r1+x2r2+…+xnrn。

于是建立組合風(fēng)險(xiǎn)極小化模式為：

minep2=XTAX；

s.t.Q■X=rpF■X=1

其中Q=r■r■…r■，X=x■x■…x■n×1，F(xiàn)=11…1，A=（eij）nxn，且A=AT

對(duì)該模型求解：

令y=XTAX-2λ1（QTX-rP）-2λ2（FTX-1），式中λ1、λ2為L(zhǎng)agrange乘數(shù)。

把約束條件QTX=rP，F(xiàn)TX=1的形式變?yōu)椋?/p>

Q■F■X=rp1

令M=Q■F■，N=rp1

則有：

M·X=N

引入目標(biāo)函數(shù)：y=XTAX-2λ（MX-N）

這里：λ=λ1λ2為拉格朗日乘數(shù)向量。

運(yùn)用矩陣微分對(duì)y求關(guān)于X、λ的偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)等于零，得到：

？鄣■/？鄣■=2AX-2M■λ=0？鄣■/？鄣■=2（MX-N）=0

解得：

λ=2（MA-1MT）-1N

X=A-1MT（MA-1MT）-1N

故：mine2P=NT（MA-1MT）-1N

設(shè)投資者以x1，x2，x3的資金比例購(gòu)買(mǎi)三種證券：

■

其收益率的協(xié)方差矩陣：

0.0148 0.0105 0.01040.0105 0.0162 0.00950.0104 0.0095 0.0181

代入上述公式得到：

X=x■x■x■=52.395rp-1.00446.946rp-0.913-98.295rp+2.913

若在不賣(mài)空情況下，則需要X≥0，即1.94%≤rP≤2.96%，

取rP=2%，有X=（0.04，0.02，0.94）T，min ep=0.13

在不賣(mài)空條件下，rp=1.92%不是下限

因?yàn)槿魊P∈[1.92%，1.94%）時(shí)，就有x2<0。

五、總結(jié)

通過(guò)上述分析可以看出，組合規(guī)模與非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)呈反比例關(guān)系。投資者選取證券組合的種數(shù)并非越多越好，規(guī)模過(guò)大，會(huì)增加成本；規(guī)模過(guò)小，組合風(fēng)險(xiǎn)會(huì)較大。當(dāng)前，由于國(guó)內(nèi)證券市場(chǎng)不成熟、投資者的技術(shù)和管理水平不夠好等綜合因素，個(gè)體投資者的投資券種規(guī)模不宜過(guò)多。

相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)而言，投資者對(duì)收益的偏好，有喜好風(fēng)險(xiǎn)型、厭惡風(fēng)險(xiǎn)型、風(fēng)險(xiǎn)中性型三種類(lèi)型。不同類(lèi)型的投資者對(duì)投資對(duì)象的選擇是不同的。盡管投資者的偏好各不相同，但在證券投資中，減少盲目，科學(xué)決策，規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，都是必需的。投資者應(yīng)正確認(rèn)識(shí)每一種證券在流動(dòng)性、時(shí)間性、收益性和風(fēng)險(xiǎn)性方面的特點(diǎn)，借此選擇流動(dòng)性、時(shí)間性、收益性、風(fēng)險(xiǎn)性與自己要求相匹配的投資對(duì)象，并制定相應(yīng)的投資組合策略。

證券市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)因素是客觀(guān)存在的，因此證券投資風(fēng)險(xiǎn)也是客觀(guān)存在的。在證券投資活動(dòng)中，投資者要提高風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)，做好風(fēng)險(xiǎn)防范，在投資中設(shè)法規(guī)避和降低投資風(fēng)險(xiǎn)。證券投資風(fēng)險(xiǎn)具有不確定性，投資者要將不同證券的風(fēng)險(xiǎn)和收益加以比較，根據(jù)自己的投資偏好和收益預(yù)期，采用最佳的證券投資組合，做出正確的投資決策，以有效地規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。

（本文指導(dǎo)老師：陳芳）

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作者簡(jiǎn)介：劉景東（1997-），男，漢族，湖南益陽(yáng)人，湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院2015級(jí)金融工程學(xué)生，研究方向：金融工程。