蔡 楠，李 萍

(寧夏大學(xué) 物理與電子電氣工程學(xué)院，寧夏 銀川 750021)

0 引言

圖像壓縮是圖像存儲(chǔ)、處理和傳輸?shù)幕A(chǔ)，可以減輕圖像存儲(chǔ)和傳輸?shù)呢?fù)擔(dān)，使圖像在網(wǎng)絡(luò)上實(shí)現(xiàn)快速傳輸和實(shí)時(shí)處理。圖像具有龐大的數(shù)據(jù)量，在面對(duì)高維數(shù)據(jù)的處理中往往使得圖像所包含的有用信息得不到有效的挖掘、提取和利用，因此有必要對(duì)圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮。

在圖像壓縮領(lǐng)域中存在大量的算法，其中文獻(xiàn)[1]在介紹了基于DCT的圖像壓縮編碼基礎(chǔ)上對(duì)一種新的DCT系數(shù)分層傳輸?shù)姆椒ㄟM(jìn)行研究，通過分層壓縮達(dá)到了較好的峰值信噪比；文獻(xiàn)[2]提出了JPEG-HVS算法通過CSF生成了新的量化表，達(dá)到了高壓縮比并且解碼質(zhì)量更好；文獻(xiàn)[3]采用多級(jí)小波變換提高了圖像壓縮的時(shí)間；文獻(xiàn)[4]采用主成分分析算法(Principal Component Analysis，PCA)通過提取圖像的線性特征達(dá)到較好的壓縮效果，但是在非線性特征提取上仍有很大的缺陷。為此，本文采用基于核的非線性特征提取算法——核主成分分析算法(Kernel Principal Component Analysis，KPCA)[5-6]。Scholkopf 等人最早將核方法思想應(yīng)用于特征提取中，于1999年借鑒SVM 的核方法思想，將PCA拓展到非線性情形，提出了核主成分分析[7-8]。KPCA是PCA的改進(jìn)算法，能夠提取非線性特征，可以將原輸入空間下線性不可分的數(shù)據(jù)映射至高維特征空間使其線性可分，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)非線性特征的提取[9]。通過實(shí)驗(yàn)仿真，表明KPCA在繼承傳統(tǒng)PCA優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上彌補(bǔ)了PCA對(duì)非線性特征提取能力差的缺點(diǎn)。

1 KPCA原理

KPCA的基本原理是通過非線性映射φ將輸入空間變換到高維特征空間使其線性可分，在高維特征空間下使用PCA完成特征提取[10]。

(1)

求協(xié)方差矩陣的特征值λ和特征向量α：

λα=Cα。

(2)

K=φ(x)Tφ(x)。

(3)

求出核矩陣的特征值和特征向量：

λkαk=Kαk=φ(x)Tφ(x)αk。

(4)

將式(4)兩邊同時(shí)左乘φ(x)，再將式(1)代入式(4)，令C的特征向量v=φ(x)αk，得

(5)

將v單位化，并將式(3)代入式(5)，得

(6)

將特征空間的樣本點(diǎn)φ(x)投影至特征向量v即可得到在主成分上的投影令其為βk，

(7)

2 基于KPCA的圖像壓縮原理

2.1 KPCA的圖像特征降維

基于上述KPCA的原理，將圖像中的非線性特征映射至高維特征空間使其線性可分，從而可以將圖像中的噪聲與主要特征更好地分離達(dá)到冗余的去除[15]。具體方法如下：

① 將一幅m×n的圖像轉(zhuǎn)為灰度圖像后按列分為m×1的n個(gè)列向量作為輸入樣本X；

② 選取核函數(shù)，根據(jù)式(3)計(jì)算核矩陣K，為了防止非線性映射后樣本φ(x)不能均值化，需要對(duì)核矩陣K歸一化后替代原來的核矩陣K[16-17]，再根據(jù)式(4)求出特征值λk和特征向量αk；

③ 將λk按從大到小的順序排列并計(jì)算每個(gè)特征值占特征值總和的比例和，作為累計(jì)貢獻(xiàn)率[18]；

④ 根據(jù)所設(shè)置的累計(jì)貢獻(xiàn)率大小選取前k個(gè)主成分，根據(jù)式(7)計(jì)算樣本在特征空間中主成分上的投影βi(i=1，2，3…k)，即為原圖像經(jīng)KPCA降維后的特征。

2.2 KPCA特征空間原像重構(gòu)

如何從特征空間中把降維后的特征還原至輸入空間，就是KPCA特征空間原像重構(gòu)。

由于無法確定具體的非線性映射，所以只能近似地求解出特征空間中所對(duì)應(yīng)輸入空間的原像，為此期望找到一個(gè)向量z∈RN，z=(z1，z2，…zn)T所對(duì)應(yīng)在特征空間下的形式為φ(z)T，使其在重構(gòu)誤差ρ(z)=‖φ(z)T-Pnφ(x)‖2下為最小[19-20]。將ρ(z)展開并把展開后與z無關(guān)的表達(dá)式均用Ο來代替，并代入式(6)、式(7)得：

(8)

為了重構(gòu)原輸入空間X即需要求出式(8)最小值所對(duì)應(yīng)的z即可，

(9)

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)仿真一

在Windows7環(huán)境下使用Python語言調(diào)用sklearn中自帶的數(shù)據(jù)集，生成2類半月形分布的點(diǎn)集如圖1所示，分別經(jīng)PCA與KPCA對(duì)其進(jìn)行處理，如圖2和圖3所示。

通過圖2和圖3可以看出，對(duì)非線性分布的數(shù)據(jù)經(jīng)PCA處理后都存在著重疊無法進(jìn)行有效分離的問題，而經(jīng)KPCA處理后不存在重疊的問題，可以將非線性數(shù)據(jù)更好地分離。

圖1 2類半月形分布點(diǎn)集

圖2 PCA處理

圖3 KPCA處理

3.2 實(shí)驗(yàn)仿真二

采用了ORL人臉數(shù)據(jù)庫，從中隨機(jī)選取312幅圖像、取多項(xiàng)式核函數(shù)、累計(jì)貢獻(xiàn)率均設(shè)為97%作為特征提取的閾值[21]。通過壓縮比(CR)和峰值信噪比(PSNR)分別比較PCA與KPCA對(duì)圖像的壓縮程度和壓縮質(zhì)量，計(jì)算公式為：

(10)

(11)

式中，n為原圖像的主成分?jǐn)?shù)；k為壓縮后圖像的主成分?jǐn)?shù)[22]；

式中，I，J分別為原圖像與壓縮后的圖像。仿真結(jié)果如表1、圖5和圖6所示。

表1 PCA與KPCA圖像壓縮數(shù)據(jù)

算法名稱累計(jì)貢獻(xiàn)率/%平均提取的主成分平均峰值信噪比/dB平均壓縮比PCA971632.626.21KPCA971265.059.99

由表1可以看出累計(jì)貢獻(xiàn)率均設(shè)為97%，KPCA在數(shù)據(jù)集上平均提取的主成分約為12個(gè)，包含了圖像97%的特征，相對(duì)PCA有著較好的提取能力。在圖像壓縮質(zhì)量和壓縮程度方面KPCA的平均峰值信噪比比PCA高出了約2倍，壓縮比高出了約1.6倍。說明KPCA在壓縮質(zhì)量和壓縮程度均優(yōu)于PCA。

圖4為ORL人臉數(shù)據(jù)庫中的3幅原圖像；圖5為將累計(jì)貢獻(xiàn)率設(shè)為97%作為閾值提取主成分經(jīng)PCA壓縮后的3幅圖像，分別提取了11，17，12個(gè)主成分；圖6為將累計(jì)貢獻(xiàn)率設(shè)為97%作為閾值提取主成分經(jīng)KPCA壓縮后的3幅圖像，分別提取了9，15，11個(gè)主成分。

圖4 ORL人臉數(shù)據(jù)庫原圖像

圖5 PCA壓縮后的圖像

圖6 KPCA壓縮后的圖像

由圖5和圖6可以看出，經(jīng)KPCA壓縮的視覺效果要優(yōu)于PCA，KPCA在主成分的提取上也少于PCA并有著較高的清晰度。

3.3 實(shí)驗(yàn)仿真三

繼續(xù)采用仿真二中的數(shù)據(jù)，仍然將累計(jì)貢獻(xiàn)率設(shè)為97%作為KPCA特征提取的閾值，并以CR和PSNR作為參數(shù)指標(biāo)比較JPEG與KPCA對(duì)圖像壓縮的程度和質(zhì)量，如表2和圖7所示。

表2 JPEG與KPCA圖像壓縮數(shù)據(jù)

算法名稱平均壓縮比平均峰值信噪比/dBJPEG9.66732.083KPCA10.03163.962

圖7 JPEG壓縮后的圖像

通過表2可以看出，KPCA在壓縮程度上不僅高于JPEG，而且在平均峰值信噪比上也比JPEG高出了2倍，說明KPCA有著更好的壓縮性能。

通過圖6與圖7可以看出，在視覺效果上KPCA也要優(yōu)于JPEG，說明KPCA壓縮的質(zhì)量更高。

4 結(jié)束語

本文研究利用KPCA算法對(duì)圖像進(jìn)行壓縮過程中提取非線性特征，通過實(shí)驗(yàn)仿真一，由于在圖像中存在著大量的非線性特征和噪聲干擾，KPCA能夠?qū)⑵涓玫胤珠_從而降低了圖像中的信息冗余達(dá)到更好的壓縮效果；通過實(shí)驗(yàn)仿真二，對(duì)比了PCA與KPCA在圖像壓縮中的性能，結(jié)果表明KPCA有著良好的非線性特征提取能力，并且在壓縮性能上均優(yōu)于PCA；實(shí)驗(yàn)仿真三比較了KPCA與傳統(tǒng)JPEG壓縮算法，KPCA不僅在壓縮比高于JPEG，而且在壓縮質(zhì)量上也優(yōu)于JPEG。因此KPCA算法適用于圖像壓縮，并有著較好的非線性特征提取能力，可以作為圖像的預(yù)處理器。