崔漢哲

摘要：復變函數的課程內容與實變函數微積分有密切的聯(lián)系和重要的區(qū)別。以后者為參照物，在復變函數的課程教學中廣泛而恰當的運用比較法，可使學生對課程內容有形象而深刻的理解。對提高教學質量和效果有重要作用。

關鍵詞：復變函數 實變函數 微積分 比較法

對于復變函數，情況則非常不同?？梢宰C明，復變函數的解析、可導以及具有任意階導數這三個條件是等價的。具體而言，即有如下性質——復變函數w=f（z）在某區(qū)域內解析（即可以展開為冪級數）←→f（z）在該區(qū)域內處處可導←→f（z）在該區(qū)域內處處具有任意階導數。因此在復變函數的教科書中，定義函數可導之后便可引進解析的概念，而不必將其放到級數的內容中。這樣做的好處，一是可導的概念學生相對比較熟悉，因而用可導定義解析的方式也較易為學生接受。二是解析是復變函數中核心的概念，較早將其引進有助于學生對整個課程內容的學習和消化。如果在講述級數之后再引進這個概念，那時早已課程過半，有些太遲了。

教師這樣完整交代解析定義的來龍去脈以后，學生便可打消疑惑，并更深刻體會到復變函數與實變函數微積分的區(qū)別，為進一步學習打下良好的基礎。

三、初等函數的定義

復變函數中的常見初等函數包括指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等。以指數函數為例，我國大多數復變函數教科書中是直接給出定義的。即設z=x+yi，x，y∈R，則將e^z定義為e^x·e^yi=e^x（cos y+isin y）。這里立即出現了一個最基本的問題，也是筆者在課堂上經常會遇到的提問——為何一定要將復變指數函數定義成這個形式呢？能否用別的表達式定義呢？對此，有的課本中略微交代了理由，例如我國某本通行的復變函數教材中是這么寫的——復變指數函數應“保持實變初等函數的某些基本性質，遵照這種思想，復變指數函數應定義為在復平面上滿足如下三個條件的函數：

（1）當Im（z）=0時，f（z）=e^x，其中x=Re（z）；

（2）f（z）在復平面內處處可導，因而處處解析；

（3）f‘（z）=，（z）?！?/p>

而函數f（z）=e^z（cos y+isin y）恰好滿足這三個條件，于是便可將其定義為復變指數函數。這某種程度上回答了上述問題，但還不是令人非常滿意。例如筆者在課堂上還會遇到學生進一步提問：滿足上述三個條件的函數是否只有現在這一種呢？在滿足上述三個條件的前提下能否將復變指數函數定義為其它不同的表達式呢？其實完整回答這個問題并不復雜，教師在課堂上只需花費幾分鐘的時間便可收到良好的效果。事實上，上述三個條件中的第三個在確定復變指數函數表達式的過程中是多余的，真正需要的是前兩個條件。具體而言，我們有如下性質——若復變函數，（z）滿足

（1）當Im（z）=0時，f（z）=e^x，其中x=Re（z）；

（2）f（z）在復平面內處處可導；

則f（z）=e^x（cos y+isin y），這里z=x+yi，x，y∈R。類似的，對數函數、冪函數、三角函數等初等函數的定義都由相似的性質決定。而所有這些性質是一條更根本定理的推論——設復平面某區(qū)域中的點列（Z_n）收斂到該區(qū)域中的某個點，w=f（z）在該區(qū)域中處處解析，則f（z）在該區(qū)域中的函數值由{f（z_n）}所唯一確定。這一性質為復變解析函數所獨有，教師在課堂上請學生略微回憶微積分的內容即可知道，實變函數是不具備類似的性質的。所以這里又體現了復變函數與之前初等微積分課程的區(qū)別。這樣清楚的回答了初等函數何以必須如此定義的基本問題，學生對本課程的學習興趣得到了提高，課堂教學也可達到良好的效果。

綜上，復變函數作為理工科院校的一門重要的專業(yè)基礎課，與實變函數的初等微積分有密切的聯(lián)系，也有重要的區(qū)別。如果教師在課堂上能注意運用比較的教學方法，則可使學生在鞏固實已有的實變函數微積分知識的基礎上，清楚理解復變函數與實變函數的區(qū)別，從而深刻把握復變函數課程的精髓。在課堂上也能激發(fā)學生的學習興趣和熱情，從而提高課堂教學質量，達到良好的教學效果。