焦歡歡

摘 要：APOS理論是美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基等人提出的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)理論，現(xiàn)結(jié)合蘇教版五年級下冊《分?jǐn)?shù)的意義》一課，闡述APOS理論在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：APOS理論；數(shù)學(xué)概念教學(xué)；分?jǐn)?shù)的意義

數(shù)學(xué)概念是具體性與抽象性的辯證統(tǒng)一，是“過程”與“對象”的統(tǒng)一體。APOS分別代表學(xué)習(xí)的四個階段（活動階段、程序階段、對象階段和圖式階段），下面筆者將以蘇教版五年級下冊《分?jǐn)?shù)的意義》為例，將單位“1”“分?jǐn)?shù)”“分?jǐn)?shù)單位”概念作為研究對象。

一、活動階段——直觀感知，積累感性認(rèn)識

【教學(xué)片段】

師：（呈現(xiàn)月餅圖）看到這個月餅圖，你想到什么分?jǐn)?shù)？

生：1/3，表示把一個月餅平均分成3份，其中1份就是這塊月餅的1/3。

師：（出示一米的米尺）你想到用什么分?jǐn)?shù)表示？

生：1/10，把一米平均分成10份，一份就是1/10。

師繼續(xù)出示一升、一些物體的直觀圖，讓生看圖說分?jǐn)?shù)含義。

【分析】“活動”是指個體通過一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個客觀的數(shù)學(xué)對象，在活動階段，學(xué)生借助直觀材料、數(shù)形結(jié)合，說出具體分?jǐn)?shù)的含義，并在不斷變換客觀數(shù)學(xué)對象的過程中，感悟“變”與“不變”，積累分?jǐn)?shù)概念的經(jīng)驗。

二、程序階段——活動內(nèi)化，形成概念表象

【教學(xué)片段】

師：剛才，我們說分?jǐn)?shù)，現(xiàn)在，我們能不能自己在頭腦中想一個分?jǐn)?shù)，并創(chuàng)造出來？

學(xué)生依次展示并說出一個正方形的1/2、一米的3/4、一堆蘋果的1/5、一堆桃的1/3、一塊大餅的1/4的意義，教師展示在黑板上。

師：比較黑板上的圖，在分法上有什么不同的地方？

生：平均分的份數(shù)不同，表示的分?jǐn)?shù)也不同，平均分的對象也不同。

師：你能根據(jù)平均分的對象把它們分分類嗎？每一類都是把什么進行平均分的？

生：（生上臺分類）第一類是把一個物體進行平均分，第二類是把計量單位平均分，第三類是把一些物體平均分。

師：是的，把平均分的對象分成了一個物體、一個計量單位和許多物體組成的一個整體。

【分析】“程序階段”是學(xué)生在頭腦中對活動進行描述和反思。這個階段，學(xué)生自己“做分?jǐn)?shù)”，自覺內(nèi)化之前的活動，在腦中建立分?jǐn)?shù)表象，通過畫的方式將表象外化出來，教師順勢引導(dǎo)學(xué)生按照平均分的對象進行分類，將零散的平均分對象進行結(jié)構(gòu)分類——一個物體、一個計量單位、一個整體，初步形成單位“1”的概念。

三、對象階段——抽象概括，揭示概念本質(zhì)

【教學(xué)片段】

師：剛才分的一個物體、一個計量單位、一個整體，都和自然數(shù)幾有關(guān)？

生：1。

師：數(shù)學(xué)上把平均分的對象，比如一個物體、一個計量單位或由許多物體組成的一個整體，都可以用自然數(shù)1來表示，通常，我們把它叫作單位“1”。

師：上面這些圖分別是把什么看作單位“1”？

師：認(rèn)識了單位“1”，上面的分?jǐn)?shù)分別是把單位“1”平均分成多少份？表示這樣幾份？

師：你覺得什么是分?jǐn)?shù)呢？

生：（在生交流的基礎(chǔ)上概括）把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。表示其中一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。

師：你能說說黑板上各個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位嗎？它們分別有幾個這樣的分?jǐn)?shù)單位？

【分析】“對象階段”就是通過對前面活動階段、程序階段的抽象，認(rèn)識到概念的本質(zhì)，對其賦予形式化的定義和符號，成為一個具體的對象。通過提問：一個物體、一個計量單位、一個整體，都和自然數(shù)幾有關(guān)？并追問概念的本質(zhì)，將平均分對象放到更高層次的結(jié)構(gòu)中，將之前的“程序”壓縮為一種“對象”：單位“1”、分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)單位的形式化定義，從而實現(xiàn)分?jǐn)?shù)概念過程和對象的統(tǒng)一。

四、圖式階段——知識整合，形成概念結(jié)構(gòu)

【教學(xué)片段】

師：今天我們學(xué)習(xí)了單位“1”、分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)單位這三個概念，它們之間有什么聯(lián)系呢？

生：單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)是分?jǐn)?shù)單位，表示其中幾份的數(shù)是分?jǐn)?shù)。

生：任何一個分?jǐn)?shù)都是由一個或幾個分?jǐn)?shù)單位組成的。

師：還記得以前學(xué)的整數(shù)的計數(shù)單位嗎？一個整數(shù)又是由什么組成的呢？

生：整數(shù)的計數(shù)單位有個、十、百、千等，一個整數(shù)就是由幾個整數(shù)單位組成的。

師：沒錯，我們目前學(xué)到的數(shù)，不管是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)，這些數(shù)都是由幾個計數(shù)單位組成的。

【分析】圖式階段，指的是學(xué)生能夠把之前相應(yīng)的“活動”“程序”“對象”以及與某些一般原理相聯(lián)系的其他“圖式”進行整合，形成個體頭腦中的認(rèn)知框架。這階段，教師通過啟發(fā)學(xué)生將單位“1”、分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)單位三個概念聯(lián)系起來，橫向構(gòu)建三者概念之間的關(guān)系，又回憶整數(shù)的意義，形成縱向聯(lián)系，最終形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

參考文獻：

[1]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

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[3]彭聃齡.普通心理學(xué)[M].4版.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.