邱 亮

(河南省駐馬店市基礎(chǔ)教學(xué)研究室 463000)

一、問題背景

在我國，隨著基礎(chǔ)教育課程的改革，初中數(shù)學(xué)教材存在人教版、北師大版、浙教版、蘇科版、冀教版等多種版本，不同版本數(shù)學(xué)教材的出現(xiàn)使得各個(gè)地區(qū)根據(jù)自己的特點(diǎn)選擇適合自己地區(qū)的教材，同時(shí)也為各地教師提供了更加寬廣的教學(xué)空間.因此教材的改革與完善對于保證基礎(chǔ)教育質(zhì)量和組織學(xué)生學(xué)習(xí)、實(shí)施課堂教學(xué)具有重要作用.本文選取“人教版”與“北師大版”中的“勾股定理”這一節(jié)進(jìn)行比較研究.

1.勾股定理的名稱

勾股定理是個(gè)基本的幾何定理，在西方國家，一般稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理，因?yàn)槿藗兿嘈攀钱呥_(dá)哥拉斯最早提出并證明了這一定理.并且據(jù)說，他在發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論時(shí)，欣喜若狂，殺牛百只以供奉神靈.因而這一定理又有了“百牛定理”的稱法.在法國和比利時(shí)這個(gè)定理被稱為“驢橋定理”.在中世紀(jì)的阿拉伯國家和印度，這一定理還有一個(gè)綽號，叫“新娘圖”.至于綽號由來，現(xiàn)代人眾說紛紜，莫衷一是.

在我國以前也稱這一定理為畢達(dá)哥拉斯定理.五十年代初，曾展開過關(guān)于這一定理命名的討論.有人主張叫“商高定理”.因這一結(jié)論的在我國最早是由西周初的商高提出的.在數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》一書中，記載有商高與周公的對話，其中商高提出了“勾三股四弦五”的說法.不過據(jù)推斷，他還只是了解三邊滿足3：4：5關(guān)系的特例情況，普遍性的結(jié)論，由陳子提出.他說：“……勾股各自乘，并而開方除之……”這是普遍勾股定理在我國的最早記載.故有人主張應(yīng)稱為“陳子定理 ”.后來決定不用人名，而稱為 “勾股定理”.單就名稱之多，勾股定理就可創(chuàng)下一項(xiàng)平面幾何之最了.

2.勾股定理的意義

勾股定理是直角三角形的一條非常重要的性質(zhì)，它通過數(shù)與形的結(jié)合，揭示了直角三角形三條邊之間的關(guān)系,是后面學(xué)習(xí)解直角三角形、余弦定理的基礎(chǔ)，是三角形知識(shí)的深化.

二、比較方法

1.體系結(jié)構(gòu)

按照人教版八年級下冊，北師大版八年級上冊、八年級下冊中“勾股定理”的相關(guān)內(nèi)容的具體章節(jié)編排順序，繪制表格如下：

表1 人教版與北師大版教材中勾股定理內(nèi)容

從表1可以看出，兩個(gè)版本的教材包含的基本知識(shí)點(diǎn)都符合《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，包含勾股定理、勾股定理的逆定理.

但從教材編排上看，人教版教材將勾股定理的相關(guān)內(nèi)容安排在八年級下冊,而且是在學(xué)完二次根式之后學(xué)習(xí)勾股定理，這樣編排緊湊，避免出現(xiàn)計(jì)算上的問題.北師大版將勾股定理的相關(guān)內(nèi)同安排在八年級上冊,二次根式在本章之后，由于學(xué)生沒有學(xué)習(xí)二次根式，在編制習(xí)題時(shí)需要注意運(yùn)算結(jié)果如何保留，但是在八年級下冊三角形的證明一章中,直角三角形這一節(jié)又對勾股定理相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了復(fù)習(xí)，這樣編排比較分散，但是知識(shí)點(diǎn)的反復(fù)出現(xiàn)，促進(jìn)了學(xué)生對相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的鞏固強(qiáng)化.

在勾股定理內(nèi)部章節(jié)安排上，人教版分為兩節(jié)：勾股定理、勾股定理的逆定理，各個(gè)小節(jié)名稱條目清晰明確，教材編寫更具知識(shí)的系統(tǒng)性、完整性，比如每個(gè)命題都有詳細(xì)的證明過程，之后再呈現(xiàn)定理和逆定理的概念，注重知識(shí)發(fā)生過程，利于培養(yǎng)學(xué)生思維能力.北師大版分為三節(jié)：探索勾股定理、一定是直角三角形嗎、勾股定理的應(yīng)用，各個(gè)小節(jié)名稱洋溢著幾分活潑的生機(jī)，彰顯數(shù)學(xué)需要探索、更需要實(shí)際應(yīng)用的理念，然而北師大版通過做一做活動(dòng)直接呈現(xiàn)定理的概念，缺失必要的證明過程.

2.插圖配置

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出教材的呈現(xiàn)方式應(yīng)該多樣化，可以將圖片、文字、表格、動(dòng)漫、視頻等呈現(xiàn)方式結(jié)合起來，使學(xué)生能夠積極主動(dòng)參與到整個(gè)教學(xué)過程中，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 插圖配置在數(shù)學(xué)教材中必不可少，它對數(shù)學(xué)教學(xué)的順利推進(jìn)以及學(xué)生正確理解所學(xué)的知識(shí)等都具有重要的作用.

首先，教師可以通過插圖來推進(jìn)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).例如：人教版八年級下冊第十七章的章前圖，該圖中的左側(cè)圖案是2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽，它與勾股定理有著密切的關(guān)系，從而引入本章主題勾股定理.

其次，插圖的編排對于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性以及學(xué)習(xí)興趣產(chǎn)生積極作用.生動(dòng)形象的插圖，是學(xué)生枯燥的學(xué)習(xí)中的調(diào)味劑.

本文將插圖分為兩類：數(shù)學(xué)插圖和裝飾性圖案.數(shù)學(xué)插圖是指與數(shù)學(xué)有關(guān)對文字內(nèi)容起到補(bǔ)充說明或表明數(shù)學(xué)內(nèi)容的背景以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的插圖；裝飾性插圖是指與數(shù)學(xué)內(nèi)容沒有多大的關(guān)系，只是為了讓教科書更美觀、增加教科書可讀性的插圖.

下面就人教版和北師大版勾股定理一章中正文的插圖數(shù)量進(jìn)行比較：

表2 人教版與北師大版教材中勾股定理中插圖數(shù)量統(tǒng)計(jì)

通過表2中統(tǒng)計(jì)的數(shù)量可知，人教版數(shù)學(xué)插圖數(shù)量略大于北師大版，說明在勾股定理這一章中人教版更注重文字與圖形結(jié)合，讓學(xué)生更好地理解勾股定理相關(guān)證明.同時(shí)人教版這一章中使用裝飾性插圖，而北師大版沒有，說明在本章中人教版更注重頁面的美化，可讀性，更吸引學(xué)生的興趣.

3.習(xí)題配置

習(xí)題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中不可或缺的重要環(huán)節(jié)，高質(zhì)量的課堂教學(xué)必須有較高的習(xí)題質(zhì)量作基礎(chǔ).這里僅對兩個(gè)版本中勾股定理一章習(xí)題、復(fù)習(xí)題的分類進(jìn)行比較分析.在習(xí)題的分類上，北師大版將習(xí)題和復(fù)習(xí)題分為四類：知識(shí)技能、數(shù)學(xué)理解、問題解決、練習(xí)拓廣.人教版將習(xí)題和復(fù)習(xí)題分為三類：復(fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用、拓廣探索.說明：這里不包含“練習(xí)”(或“隨堂練習(xí)”).將兩個(gè)版本中勾股定理章節(jié)習(xí)題數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下：

表3 人教版習(xí)題、復(fù)習(xí)題分類

表4 北師大版習(xí)題、復(fù)習(xí)題分類

通過表3、表4數(shù)據(jù)可知，人教版習(xí)題、復(fù)習(xí)題包含復(fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用、拓廣探索三種類型，滿足了學(xué)生不同程度的需求，對已有知識(shí)進(jìn)行了復(fù)習(xí)鞏固，靈活運(yùn)用；北師大版習(xí)題、復(fù)習(xí)題基本上知識(shí)技能、數(shù)學(xué)理解、問題解決、練習(xí)拓廣四種類型都包含，滿足學(xué)生不同層級的需求，促進(jìn)學(xué)生對課堂上所學(xué)知識(shí)的理解、掌握與運(yùn)用.由于勾股定理的應(yīng)用一節(jié)是對前兩節(jié)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，本節(jié)習(xí)題沒有包含數(shù)學(xué)理解和練習(xí)拓廣也是合理的.這兩個(gè)版本雖然習(xí)題分類不一樣，但實(shí)質(zhì)上北師大版的知識(shí)技能與數(shù)學(xué)理解等價(jià)于人教版的復(fù)習(xí)鞏固，問題解決等價(jià)于綜合運(yùn)用，練習(xí)拓廣等價(jià)于拓廣探索，它們都滿足了學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.

4.數(shù)學(xué)史融入比較

由于勾股定理有著深厚的歷史淵源，講解勾股定理必然要插入相關(guān)的數(shù)學(xué)史，下面統(tǒng)計(jì)人教版和北師大版量勾股定理一章中插入的數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識(shí)情況.統(tǒng)計(jì)范圍貫穿從主題頁到復(fù)習(xí)題整個(gè)章節(jié)中.

表5 人教版與北師大版教材中勾股定理中數(shù)學(xué)史融入情況統(tǒng)計(jì)

通過表5中數(shù)據(jù)可知，人教版教材融入數(shù)學(xué)史的內(nèi)容明顯多于北師大版教材，人教版融入數(shù)學(xué)史的內(nèi)容共有7處，分別位于第17章章節(jié)主題頁、節(jié)內(nèi)容、習(xí)題和閱讀與思考這幾個(gè)環(huán)節(jié)；北師大版融入數(shù)學(xué)史的內(nèi)容只有4處，出現(xiàn)在習(xí)題和讀一讀中.

通過比較，人教版涉及數(shù)學(xué)史內(nèi)容豐富，出現(xiàn)的位置也多樣化，貫穿勾股定理各個(gè)環(huán)節(jié)中，分布均勻；北師大版相比較則內(nèi)容單調(diào)，分布位置單一.總的來說人教版比較重視數(shù)學(xué)史融入教材的理念，讓學(xué)生全面了解勾股定理發(fā)展的全過程，體會(huì)勾股定理形成的歷史，然而過多的數(shù)學(xué)史插入又會(huì)增加課堂教學(xué)的容量，有些活動(dòng)只能在課下讓學(xué)生自主完成.這一方面北師大版做得稍微合理些，將數(shù)學(xué)史與課后習(xí)題相結(jié)合，學(xué)生在課下查閱資料做題，提升學(xué)生課下自主學(xué)習(xí)的趣味性，同時(shí)合理安排學(xué)生課堂時(shí)間，提高教與學(xué)的效率.

三、結(jié)論

1.體系結(jié)構(gòu)方面.兩個(gè)版本教材的知識(shí)點(diǎn)都按照勾股定理、勾股定理的逆定理的形式展開，但編排順序存在較大差別.在章與章之間的安排上，人教版教材編排嚴(yán)謹(jǐn)，先學(xué)二次根式，再學(xué)勾股定理，注重知識(shí)之間的連貫性和邏輯性，減少學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)；北師大版先學(xué)勾股定理，再學(xué)二次根式，不利于學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)開方計(jì)算，給學(xué)生的計(jì)算帶來負(fù)擔(dān)，但在下冊學(xué)習(xí)直角三角形一節(jié)中又復(fù)習(xí)了勾股定理，彌補(bǔ)了不足.在章內(nèi)安排上，人教版教材的編寫更具有系統(tǒng)性、完整性，比如每個(gè)命題都有詳細(xì)的證明過程，之后再呈現(xiàn)定理和逆定理的概念，注重知識(shí)發(fā)生過程，利于培養(yǎng)學(xué)生思維能力；而北師大版教材知識(shí)結(jié)構(gòu)體系層次性較強(qiáng)，章節(jié)設(shè)置合理，尤其第3小節(jié)勾股定理的應(yīng)用，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)緊密聯(lián)系實(shí)際的實(shí)用價(jià)值.

2.插圖配置方面.兩版本教材都使用了大量插圖來豐富教材內(nèi)容，圖文并茂，符合學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律.人教版相較北師大版更注重文字與圖形結(jié)合，讓學(xué)生更好地理解勾股定理相關(guān)證明.

3.習(xí)題配置方面.在習(xí)題的分類上，兩版本雖然略有不同，但實(shí)質(zhì)上是等價(jià)的，都滿足了學(xué)生的需求.

4.數(shù)學(xué)史融入比較方面.兩個(gè)版本都嘗試使用數(shù)學(xué)史輔助教學(xué)，便于學(xué)生好地理解掌握勾股定理.但人教版涉及的數(shù)學(xué)史融入的內(nèi)容較多，北師大版則比較單調(diào)，但位置稍合理些，節(jié)省教學(xué)時(shí)間.人教版數(shù)學(xué)史融入的內(nèi)容豐富，包含8個(gè)數(shù)學(xué)史資料，促進(jìn)學(xué)生理解和掌握勾股定理的發(fā)展和證明，同時(shí)對于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力和情感內(nèi)涵也有強(qiáng)烈提升價(jià)值；北師大版融入數(shù)學(xué)史的內(nèi)容雖然只有4處，但其引用數(shù)學(xué)史的位置分布較為合理些，4處均屬于課下自主學(xué)習(xí)部分，有利于合理安排學(xué)生課堂時(shí)間，保證教學(xué)時(shí)間，提升課堂效率.

四、建議

1.對教材編寫的建議

在體系結(jié)構(gòu)上，人教版編排緊湊，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，但在章內(nèi)安排上可以做一些調(diào)整，比如將知識(shí)點(diǎn)的編排可以適當(dāng)進(jìn)行細(xì)化，特別是針對學(xué)生難以理解的內(nèi)容可以采取螺旋上升的方式進(jìn)行編排；北師大版在章與章的整體框架上建議二次根式的相關(guān)內(nèi)容放在勾股定理之后進(jìn)行學(xué)習(xí)，這樣更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

在插圖配置上，兩個(gè)版本的裝飾性圖都過少，建議合理地增加裝飾性的數(shù)量，注重頁面的美化，可讀性，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

在習(xí)題配置上，兩個(gè)版本都有大量習(xí)題，而勾股定理的逆定理的相關(guān)習(xí)題均過少，可以適量地增加這方面的習(xí)題；人教版的習(xí)題類型分配比較常規(guī)化：復(fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用、拓廣探索，而北師大版的習(xí)題分類則更符合學(xué)生的認(rèn)知：知識(shí)技能、數(shù)學(xué)理解、問題解決、練習(xí)拓廣，人教版可以學(xué)習(xí)北師大版將習(xí)題的分類進(jìn)行細(xì)化.

在數(shù)學(xué)史融入上，人教版數(shù)學(xué)史內(nèi)容豐富，但分布比較分散，應(yīng)考慮學(xué)生課堂時(shí)間安排的合理性.北師大版數(shù)學(xué)史過少，且都放在課下，在節(jié)中未提及證明方法，這種編排有助于學(xué)生進(jìn)行自主探索，但不利于知識(shí)過程的完整性和緊密性.相反人教版將命題與證明相結(jié)合，讓學(xué)生只管的感受了定理的證明過程.

2.對教學(xué)的建議

對于教材的使用者，可以以本地區(qū)所使用的教材為基礎(chǔ)，同時(shí)可以引入其它版本教材的內(nèi)容作為補(bǔ)充.在教學(xué)過程中應(yīng)該學(xué)會(huì)利用自身優(yōu)勢，對不同版本的教材中的內(nèi)容進(jìn)行參考，集百家之長，取長補(bǔ)短.比如人教版講授勾股定理時(shí)，可以學(xué)習(xí)北師大版將知識(shí)點(diǎn)細(xì)化，更有助于學(xué)生對知識(shí)的理解.北師大版講授勾股定理時(shí)，可以注重知識(shí)的系統(tǒng)性和完整性，將勾股定理的證明方法適當(dāng)?shù)拇┎迤渲?，便于學(xué)生理解和掌握勾股定理的證明方法.

在習(xí)題的選取上，教師可以結(jié)合兩個(gè)版本的習(xí)題，靈活分配不同類型的習(xí)題；在數(shù)學(xué)史的閱讀上，重視數(shù)學(xué)史發(fā)展趨勢的完整性，適當(dāng)?shù)脑鰷p內(nèi)容以輔助教學(xué)，提高教學(xué)效率，同時(shí)寓教于樂，增加學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容的趣味性.