劉俊菊 王健

摘 要 文章分析了當(dāng)前線性代數(shù)教學(xué)中存在的問題，結(jié)合教學(xué)實踐提出了案例教學(xué)法在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用方式，列舉了幾個典型的與線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的案例。通過案例分析可幫助學(xué)生掌握相關(guān)知識點，并可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性。

關(guān)鍵詞 線性代數(shù) 案例 矩陣 特征向量

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2018.09.048

Abstract This paper analyzes existing problems in the teaching linear algebra， puts forward the application of the case method in linear algebra teaching， combing teaching practice， and lists several typical cases related to linear algebra teaching. The case analysis can help students master the relevant knowledge， and contribute to students' learning initiatives.

Keywords Linear Algebra， case， matrix， feature vector

0 引言

線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)中一門重要的基礎(chǔ)課程，主要研究多個離散變量之間的線性變化關(guān)系，在計算機(jī)科學(xué)、遺傳學(xué)、密碼學(xué)、物理學(xué)中都有很重要的應(yīng)用。開設(shè)這門課的目的是使學(xué)生掌握并運(yùn)用線性代數(shù)相關(guān)知識解決專業(yè)領(lǐng)域的問題，提高學(xué)生的空間想象、邏輯思維、抽象思維能力。

然而，這門課在具體授課過程也往往面臨一些問題，主要表現(xiàn)為：首先，內(nèi)容抽象、單調(diào)，學(xué)生不容易接受，即便接受了也是被動接受，知道為什么、是什么，但是不知道可以用它做什么；其次，現(xiàn)有的教材中多是理論結(jié)合具體運(yùn)算的例題，沒有結(jié)合生活中的具體實例，學(xué)生看不見應(yīng)用的實際效果，不接地氣，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高。筆者針對上述問題，在教學(xué)過程中注重挖掘知識點背后的應(yīng)用，引入案例教學(xué)法，把一些學(xué)生日常生活中面臨的實際問題引入課堂教學(xué)，既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，又增強(qiáng)了學(xué)生把具體問題抽象成數(shù)學(xué)問題的能力。

案例，是實踐活動中發(fā)生的帶有普遍性和代表性的典型事例，是在真實的情境中發(fā)生的典型事件，通過對這些典型事例的分析，可以提出解決問題的辦法和思路。

案例教學(xué)是一種特殊的教學(xué)手段，通常是指在教師的指導(dǎo)下，根據(jù)教學(xué)目的要求，組織學(xué)生針對案例進(jìn)行閱讀、思考、分析、討論和交流等活動，旨在培養(yǎng)和提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，幫助學(xué)生加深對基本原理和概念的理解。

案例教學(xué)中最為突出的特征是對案例的靈活運(yùn)用，這是案例教學(xué)區(qū)別于其它方法的關(guān)鍵所在。本文將著重闡述和分析三個在教師引導(dǎo)下、學(xué)生可以自行解決的和線性代數(shù)相關(guān)的典型案例。

1 案例分析

案例一：交通路線問題

在中第行第列元素表示的是從到長度為2的路的總數(shù)，在這里，我們把從到經(jīng)過的邊的個數(shù)稱為到的長度。例如，在中=2，表示從到有兩條長度為2的路，從圖上也可以驗證這一點。同理，在和中的第行第列元素分別表示從到長度為3和4的路的總數(shù)。

顯然，用矩陣的乘法分析線路問題比直觀的更準(zhǔn)確、方便，而且可以方便的通過計算機(jī)編程來處理更加復(fù)雜的路況信息。

此外，我們做矩陣，很容易理解，中的第行第列元素表示的是從到的長度小于等于4的路的總數(shù)。

案例二：信息加密應(yīng)用

在信息的傳送中，需要對所傳信息進(jìn)行加密處理，我們先把A到Z共26個字母分別用1到26代替，空格用0代替，這樣，當(dāng)我們要傳送信息就可以只傳送字母對應(yīng)的數(shù)字，比如我們要傳送good luck，一共8個字母加一個空格，把其轉(zhuǎn)換成數(shù)字就是7，15，15，4，0，12，21，3，11。把這9個字符編譯成一個3階方陣，矩陣B就是明文矩陣，為了增加破譯的難度，我們利用逆矩陣的知識，還要找一個可逆的3階方陣A對其加密，例如選取

為解密矩陣， 其逆矩陣為。

我們?nèi)【仃嘋=AB，即

我們只要把矩陣C對應(yīng)的字符串66，24，36，94，42，62，83，27，35發(fā)出去，接收方利用解密矩陣A就可以獲得明文B矩陣。

即發(fā)送信息為good luck。事實上，這只是利用矩陣加密的簡單例子，具體的加密過程往往會更加復(fù)雜，我們還可以引導(dǎo)學(xué)生思考如何進(jìn)一步把加密等級提高。

案例三：人口遷移問題

假定某省固定人口總數(shù)不變，每年有20%的人口從二線城市遷往一線城市，有10%的人口從一線遷往二線城市，請問，若干年后該省的一線二線人口比例是否會趨于穩(wěn)定。

假設(shè)現(xiàn)有二線、一線人口數(shù)為，我們有

由此可見，該省的二線和一線城市人口終將趨于穩(wěn)定狀態(tài)。

在本例中，我們利用矩陣的特征值與特征向量的相關(guān)性質(zhì)解決人口遷移的相關(guān)問題，特征值與特征向量還可以幫助解決智能推薦、循環(huán)比賽、基因遺傳等問題，在授課過程中可根據(jù)學(xué)生的專業(yè)適當(dāng)選取。

2 小結(jié)

在線性代數(shù)中適當(dāng)?shù)囊氚咐虒W(xué)，有利于學(xué)生綜合解決問題能力的提升，在具體的教學(xué)中，要注意循序漸進(jìn)，根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)及學(xué)習(xí)狀態(tài)選擇合適的案例，確保難度適中，太難或太易都不利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。因此，如何更有效地使用案例教學(xué)法促進(jìn)線性代數(shù)的教學(xué)，還需要教師在具體的教學(xué)環(huán)境中積極探索。

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