薛慧玲,陳春芳
(南昌大學 理學院,南昌 330031)
猶豫模糊集[1,2]作為模糊集[3]的一種拓展形式,生動地顯示出了決策者在決策過程中的猶豫性,它允許一個元素屬于一個集合的隸屬度可以是幾個可能值的集合。猶豫模糊集已成為解決不確定性問題很好的工具,得到了廣泛的研究和應用。例如,文獻[4,5]對猶豫模糊集的相關(guān)系數(shù)及區(qū)間值猶豫模糊集進行了研究,文獻[6]研究了猶豫模糊集及其在決策中的應用等問題。
距離度和相似度作為模糊集相關(guān)理論中兩個非常重要的數(shù)值指標,在決策、模式識別、機器學習、市場預測[7,8]等領域得到了廣泛應用。由于在模糊集中距離度和相似度的重要性,許多學者將它們的概念拓展到猶豫模糊集中。例如,文獻[9,10]研究了猶豫模糊集距離度、相似度和相關(guān)度,文獻[11]提出了廣義猶豫模糊集權(quán)重距離度及其在多屬性決策中的應用問題,文獻[12]中作者提出了含猶豫度的距離度和相似度公式及其在模式識別中的應用。文獻[12]中給出的距離度相似度相比文獻[9,10]中的距離度相似度具有很大的優(yōu)勢,但它仍然沒有考慮到猶豫模糊集間的偏差度。由于猶豫模糊集的不確定性和猶豫性,猶豫模糊元中的隸屬值會存在一定的偏差,而這一偏差對結(jié)果判斷會產(chǎn)生較大的影響。針對這種情況,本文提出了具有偏差度的新的距離度公式并研究其在模式識別中的應用問題。
定義 1[13]:設 X={x1, x2, …, xn} 是一非空集合,則 X上的模糊集合A定義為:
其中 μA(x )稱為隸屬函數(shù),它滿足 μA:X→M ,這里,M稱為隸屬空間。最常見的隸屬空間為區(qū)間( 0 , 1 )。
定義 2[14]:設 X={x1, x2, …, xn} 為一非空集合,則從 X到[0 ,1] 的一個子集的函數(shù),稱為猶豫模糊集,記作A={ x, hA(x) |x∈X } ,其中,hA(x )是[0 ,1] 中幾個可能的數(shù)的集合,它表示x∈X屬于集合A的可能程度,稱hA(x )為猶豫模糊集A的猶豫模糊元。
定義3[9,10]:設A、B是非空集合 X={x1, x2, …, xn} 上的兩個猶豫模糊集,則A、B的距離度d(A ,B )滿足:
(d1)0≤d(A ,B )≤1;
(d2)d(A ,B)=0當且僅當A=B;
(d3)d(A ,B)=d(B ,A)
定義4[9,10]:設A、B是非空集合 X={x1, x2, …, xn} 上的兩個猶豫模糊集,則A、B的相似度s(A ,B )滿足:
(s1)0≤s(A ,B )≤1;
(s2)s(A ,B)=1當且僅當A=B;
(s3)s(A ,B)=s(B ,A)
猶豫模糊集的最小距離度和最大相似度原則[9,10]:兩個猶豫模糊集距離度越小則它們越相近,或相似度越大它們越相近。
距離度和相似度的相關(guān)性質(zhì)如下[9,10]:
性質(zhì)1:如果d(A ,B )是猶豫模糊集設A、B的距離度,則 s(A ,B)=1-d(A ,B )是猶豫模糊集 A、B的相似度,稱為由距離度導出的相似度。
性質(zhì)2:如果s(A ,B )是猶豫模糊集A、B的相似度,則d(A ,B)=1-s(A ,B )是猶豫模糊集A、B的距離度,稱為由相似度導出的距離度。
注意到,在不同的猶豫模糊元中元素的個數(shù)可能不相同。本文用l(h (x ) )表示猶豫模糊元h (x )中的元素個數(shù)。在實際中,為了運算的便利,文獻[10,13]給出了如下的規(guī)則:將元素數(shù)較少的一個猶豫模糊元添加元素中最小值、最大值或者任意值,使得它與較長的那個猶豫模糊元具有相同的元素個數(shù)。這些值的選擇主要根據(jù)決策者的個人喜好來添加,樂觀主義者一般會選擇添加該猶豫模糊元中最大的那個值,使得它們的元素個數(shù)相同;而悲觀主義者則一般會選擇添加該猶豫模糊元中最小的那個值,使得它們有相同的個數(shù)。
例如,設h1(x)={0.7, 0.5, 0.4, 0.1},h2(x)={0.6, 0.3}為X={x1,x2, …, xn} 上的兩個猶豫模糊元,易知 l (h1(x))≠l (h2(x ) ),故在運算中需要將h2(x )拓展到與h1(x )具有相同的長度。樂觀主義者會將h2(x)拓展為h2(x)={0.6,0.6, 0.6, 0.3},而悲觀主義者會將其拓展為h2(x)={0.6, 0.3,0.3,0.3}。這種任意添加不同值的方法可能會產(chǎn)生不同的結(jié)果,這也是合理的,因為決策者的偏好會對最終的結(jié)果產(chǎn)生直接影響。本文假設決策者在決策過程中都采用樂觀的處理方式,且為了計算的方便,本文將所有猶豫模糊元中的值都按降序進行重新排列。
文獻[9,10]提出猶豫模糊元h1(x )、h2(x )的距離度d (h1(x ) , h2(x ) )還應滿足:
(d4)對X={x1, x2, …, xn} 上有相同長度 l的三個猶豫模糊元h1(x )、h2(x )和h3(x ),如果它們滿足(x )≤(x )≤(x ) ,i=1 ,2 , … , l ,則:
其中,hi
m(x )為猶豫模糊元的第i大的值,m=1,2 ,3。
對非空集合X={x1,x2, …, xn} 上的兩個猶豫模糊集A、B,文獻[9,10]給出了猶豫正則漢明距離、歐幾里得距離和廣義猶豫正則距離分別如下:
注意到,上文給出的猶豫模糊集A、B的距離實際上反應的是猶豫模糊元之間的不同。易知A、B的距離度與猶豫模糊元隸屬值的不同及猶豫模糊元中元素個數(shù)的不同均有關(guān)。由猶豫模糊集的最小距離度和最大相似度原則可知,若:
d(A ,C)=min{d (A , C) , d(B , C) , d(D , C) , …}
s(A , C)=max{s (A , C) , s(B , C) , s(D , C) , …}
則在模式判斷中C應屬于A。但是,文獻[12]指出(1)式至(3)式還存在不足之處,即當它們的距離度相同時,無法判斷C屬于哪個模式。為了克服這一缺陷,文獻[12]給出了考慮猶豫模糊元猶豫度的新的猶豫模糊集的距離度公式。
定義5[12]:設A是非空集合 X={x1,x2, …, xn} 上的一個猶豫模糊集,對任意xi∈X,定義猶豫模糊元hA(xi)的猶豫度為:
其中,l (hA(xi) )是hA(xi)的長度,對任何猶豫模糊元hA(xi),μ (hA(xi) )反映的是決策者在決策過程中對hA(xi)隸屬程度的猶豫度。如果l (hA(xi) )=1(即 μ (hA(xi))=0),說明決策者對所做決定是非常確定的;如果l (hA(xi) )是趨于無限的,則 μ (hA(xi) )=1,說明決策者是非常猶豫的,不能給出確定的隸屬值。猶豫值的大小反映的是決策者在決策過程中的猶豫程度。文獻[12]提出了含猶豫度μ (hA(xi) )的猶豫模糊集的距離度公式如下:
定義6[12]:設A、B是非空集合X={x1,x2, …, xn} 上的兩個猶豫模糊集,則猶豫模糊集A、B間含猶豫度的正則漢明距離定義如下:
含猶豫度的正則歐幾里得距離:
含猶豫度的正則廣義距離:
注意到(5)式比文獻[9,10]中的只考慮隸屬值的距離度公式更精確地給出了兩個猶豫模糊集之間的距離度。然而,通過下面的例子可以看到,該距離公式仍存在一定的缺陷。
例1:設 X={x } ,存在兩個模式表示為猶豫模糊集:A={ 0 .7, 0.5, 0.4 } ,B={ 0 .6, 0.5, 0.3 } ,待識別的猶豫模糊集為C={ 0 .6, 0.5, 0.4 } ,易知 lx=3 ,由(4)式可知hA,hB的猶豫度都為,從而根據(jù)(5)式可知d ( A ,C)h=dh( B ,C )。
因此,根據(jù)(5)式并不能判別C屬于A還是B。考慮到任意兩個不同的猶豫模糊集之間存在著一定的偏差,因此,距離度也應考慮兩個猶豫模糊集的偏差距離。本文給出了猶豫模糊集的偏差距離,并提出了具有偏差距離的猶豫模糊集的新的距離度公式。
首先,本文給出猶豫模糊集的標準差的定義如下:
定義7:設 A為 X={x1, x2, …, xn} 上的猶豫模糊集,則A的標準差定義如下:
定義8:設 A、B為 X={x1,x2, …, xn} 上的兩個猶豫模糊集,則A、B的偏差距離如下:
為了給出該偏差距離計算方法,給出如下例子予以說明:
例2:設 X={x } ,A={0.7,0.6,0.5},B={0.8,0.6} 為X上的兩個猶豫模糊集。根據(jù)運算規(guī)則先將hB擴展為hB={0.8,0.8,0.6},由(6)式得 S(A)=0.0819,S(B)=0.0872,從而由(7)式可得A、B的偏差度為ds(A ,B)=0.0053。
定義9:設A、B是非空集合X={x1, x2, …, xn} 上的兩個猶豫模糊集,則猶豫模糊集A、B間含偏差距離的正則漢明距離定義如下:
含偏差距離的正則歐幾里得距離:
含偏差距離的正則廣義距離:
根據(jù)決策者對隸屬值、猶豫度和偏差距離的不同偏好,可以得到含參數(shù)偏好值的距離度公式如下:
其中0≤α, β≤1,且α+β=1,λ>0。
通常,還應考慮元素xi∈X的權(quán)重,因此,本文給出猶豫模糊集的權(quán)重距離度如下:
設xi∈X的權(quán)重為 ωi( i =1, 2, …, n ),其中 0≤ωi≤,則有下面的權(quán)重距離:
如果不僅考慮任意xi∈X的權(quán)重,而且對猶豫模糊集的猶豫度、隸屬值和偏差距離考慮它們的偏好,則含偏好參數(shù)的權(quán)重距離如下:
下面舉例說明本文給出的距離公式的有效性。
例3:設 X={x } ,存在兩個模式表示為猶豫模糊集為A={0.85, 0.6, 0.45},B={ 0 .6 } ,待識別模式 C={0.7,0.6,0.5 } ,要求對C進行模式識別。
根據(jù)(5)式可知C屬于A,為了說明本文提出的距離公式的有效性,將上述數(shù)據(jù)代入(8)式可得:
dhs(A ,C)=0.0441,dhs(B ,C)=0.1747,
易知:
dhs(A ,C ) ≤dhs(B ,C)
從而可以判斷C屬于A,說明本文提出的距離公式在模式識別過程中是有效的。
例4:設 X={ x1, x2} 上的三個模式分別表示為如下的猶豫模糊集:
待識別模式為:
D=( x1,{0 .5, 0.4, 0.35}x2,{0 .5, 0.45, 0.38, 0.3} )。
根據(jù)(8)式有:dhs(A ,D)=0.1126,dhs(B ,D)=0.1002,dhs(C ,D)=0.0681。由距離度和相似度的性質(zhì)s(A ,B)=1-d(A ,B)可得對應相似度分別如下:
shs(A ,D)=0.8874,shs(B ,D)=0.8998,shs(C ,D)=0.9319。
由此,容易得到shs(C ,D )≥shs(B ,D )≥shs(A ,D ),根據(jù)相似度最大原則可知D應屬于C,與(5)式所得結(jié)果相同,進一步說明了本文提出的距離公式的有效性。
下面通過對例1的識別來說明本文提出的距離公式的優(yōu)越性。因為例1中出現(xiàn)dh(A ,C)=dh(B ,C )的情況,故不能根據(jù)(5)式來判斷待識別的模式C屬于A還是B。但可根據(jù)本文提出的含猶豫模糊集偏差距離的距離公式來對待識別的模式進行判別。由(8)式得:
易知:
故根據(jù)猶豫模糊集距離度和相似度的性質(zhì),可知距離度對應的相似度分別為:
容易得到:
由此,根據(jù)最小距離度原則或最大相似度原則,可以判斷模式C應屬于模式A。
本文考慮了含猶豫模糊集偏差距離的距離度公式,并將它與文獻[12]給出的距離度公式做了對比,說明了本文提出的距離度的有效性和優(yōu)越性。