陳祈宏

摘要：本文是從通過(guò)分析蛇形擺的數(shù)學(xué)原理，物理原理以及模型的構(gòu)架來(lái)探究實(shí)際搭建與理論的不一致性，并且嘗試了提出改進(jìn)構(gòu)架的方法與通過(guò)蛇形擺形成的新擺形。并且將蛇的運(yùn)動(dòng)與蛇形擺的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩者的不同。

關(guān)鍵詞：蛇形擺實(shí)驗(yàn);實(shí)驗(yàn)分析;擺系統(tǒng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672 - 9129（2018）12 - 0169 - 02

1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

蛇形擺抖動(dòng)過(guò)程為：蛇形一雜亂一奇偶分離，兩條蛇形一雜亂一蛇形

1.1 T= 2π√L/g （注意點(diǎn)：只有當(dāng)角度很小時(shí)，一般小于等于5度時(shí)，小球才做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。）

以下為公式證明：M= -m*g*l*Sinx

其中m為質(zhì)量，g是重力加速度，l是擺長(zhǎng)，x是擺角。

我們希望得到擺角x的關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，來(lái)描述單擺運(yùn)動(dòng)。由力矩與角加速度的關(guān)系不難得到，M=J*β。

其中J = m*l～2是單擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，β=x"（擺角關(guān)于時(shí)間的2階導(dǎo)數(shù)）是角加速度。

于是化簡(jiǎn)得到X"m*l=-g*Sinx.

我們對(duì)上式適當(dāng)?shù)剡x擇比例系數(shù)，就可以把常數(shù)l與g約去，再移項(xiàng)就得到化簡(jiǎn)了的運(yùn)動(dòng)方程x"+ Sinx=0.

因?yàn)閱螖[的運(yùn)動(dòng)方程（微分方程）是x"+Sinx=0…………（1）

而標(biāo)準(zhǔn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)（如彈簧振子）則是x"+x=O…………（2）

證明單擺角度小時(shí)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故T=2π√L/g成立。

我們知道（1）式是一個(gè)非線(xiàn)性微分方程，而（2）式是一個(gè)線(xiàn)性微分方程。所以嚴(yán)格地說(shuō)上面的（1）式描述的單擺的運(yùn)動(dòng)并不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

不過(guò)，在x比較小時(shí)，近似地有Sinx≈x。（這里取的是弧度制。即當(dāng)x->0時(shí)有Sinx/x=o（1）。）因而此時(shí)（1）式就變?yōu)椋?）式，單擺的非線(xiàn)性的運(yùn)動(dòng)被線(xiàn)性地近似為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

然后說(shuō)一下為什么是5°。由于Sinx≈x這個(gè)近似公式只在角度比較小的時(shí)候成立（這一個(gè)可以從正弦函數(shù)的在原點(diǎn)附近的圖象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。

事實(shí)上50≈0.087266弧度，Sin5°≈0.087155，二者相差只有千分之一點(diǎn)幾，是十分接近的。在低精度的實(shí)驗(yàn)中，這種系統(tǒng)誤差可以忽略不計(jì)（因?yàn)閷?shí)驗(yàn)操作中的偶然誤差就比它大）。但如果換成25°，誤差高達(dá)百分之三，就不宜再看成是簡(jiǎn)諧振動(dòng)了。

由于正弦函數(shù)的性質(zhì)，這個(gè)近似是角度越小，越精確，角度越大越不精確。如果角度很大（比如60度處，誤差高達(dá)17%），就完全不能說(shuō)它是簡(jiǎn)諧振動(dòng)了。

選定周期為40s后進(jìn)行計(jì)算。

以下為關(guān)于球擺長(zhǎng)的計(jì)算過(guò)程：

1.2Ti+l= （i+l/i）Ti

進(jìn)行小球捆綁的魚(yú)線(xiàn)綁法。

因要保證小球平行擺動(dòng)，故采用兩根繩子控制一顆小球的方法保證其在晃動(dòng)中的穩(wěn)定性。保證所有小球沿同一方向運(yùn)動(dòng)。

2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

2.1 用鋸子將四根長(zhǎng)木切成統(tǒng)一形狀，劃線(xiàn)，用鋸子舉出所需形狀。

2.2 將第五根長(zhǎng)木（后文成為單擺木）上取12條與6cm邊平行的直線(xiàn)并取中點(diǎn)來(lái)作為鐵球的投影點(diǎn)并取每?jī)牲c(diǎn)的中點(diǎn)及左右頂點(diǎn)外6cm作為穿孑L中心，鏈接投影點(diǎn)成中心軸，在中心軸上，對(duì)每一個(gè)穿孔中心兩側(cè)5 mm處打一個(gè)孑L，（過(guò)程中需注意留足與支持木的連接位置）。

2.3 將之前切好的四根支持木與單擺木連接，形成簡(jiǎn)單支架。

2.4 用兩根短木材固定兩端的兩根支持木，連接方法同上。

2.5 用魚(yú)線(xiàn)連接帶環(huán)小球，每個(gè)小球?qū)?zhǔn)鐵球投影點(diǎn)，小球到單擺木下端距離即為擺長(zhǎng)，魚(yú)線(xiàn)穿過(guò)掛環(huán)，在相鄰兩個(gè)穿孑L中心用魚(yú)線(xiàn)綁法系緊，最后形成的小鐵球應(yīng)為一條拋物線(xiàn)。

2.6 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

2.7 整理器材。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在剛穿好前兩個(gè)小球的過(guò)程中，進(jìn)行了測(cè)試，周期為38s。

首次實(shí)驗(yàn)時(shí)，周期與預(yù)先算好的40s所差不多。

在第二次實(shí)驗(yàn)時(shí)，周期為39. 7s，在可控范圍內(nèi)。

4 誤差分析

4.1 由于把繩子抬起時(shí)小球與圓周運(yùn)動(dòng)圓心的連線(xiàn)和豎直平面的角度大于5度，故小球不做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致了周期的測(cè)量有偏差。

4.2 因?yàn)樾∏虻闹行谋煌阪軱又連上了鉤環(huán)，故小球質(zhì)心不是其幾何中心，發(fā)生一定的偏差，又有卷尺測(cè)量的不準(zhǔn)確性，故導(dǎo)致了公式中L的誤差。

4.3 由于掛小球的細(xì)線(xiàn)與木板之間有摩擦，故即使在正確的角度放下，也不是正規(guī)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生了周期誤差。

4.4 考慮到實(shí)驗(yàn)時(shí)空調(diào)風(fēng)的影響，以后的實(shí)驗(yàn)不應(yīng)再有風(fēng)環(huán)境中進(jìn)行。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

5.1 擺系統(tǒng)相關(guān)。

蛇形擺運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的關(guān)系：在蛇形擺中，每一個(gè)小鐵球在晃動(dòng)角度不太大時(shí)，均在做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

5.2 結(jié)構(gòu)相關(guān)。

穩(wěn)固結(jié)構(gòu)的特征與判斷：呈三角形或類(lèi)似結(jié)構(gòu)，是整體在任意方向不發(fā)生過(guò)分形變的偏差;

規(guī)律運(yùn)動(dòng)部件對(duì)整體的影響：每一個(gè)單擺都有其固定的周期，所以任何一點(diǎn)小的誤差都會(huì)導(dǎo)致整體的運(yùn)動(dòng)與預(yù)料的不符;

加固方式的配合運(yùn)用：綜合考慮長(zhǎng)寬高，硬度，摩擦系數(shù)，彈性等一系列因素（可粗略，求全即可）再對(duì)物體進(jìn)行整體加固。

6 自我感悟

相對(duì)于平時(shí)的理論物理題目，蛇形擺對(duì)于實(shí)驗(yàn)者的綜合能力要求更高，以及對(duì)于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)性也更高，任何一點(diǎn)小的誤差都會(huì)導(dǎo)致結(jié)果的差異，故實(shí)際實(shí)驗(yàn)對(duì)于嚴(yán)謹(jǐn)性是遠(yuǎn)超理論物理的。其次，當(dāng)我開(kāi)始面對(duì)實(shí)驗(yàn)題目時(shí)感到一籌莫展，主要就是不熟悉應(yīng)用物理，故還應(yīng)當(dāng)在生活中去貫徹學(xué)習(xí)物理的態(tài)度。其次是一些反思，在本次試驗(yàn)中，由于事先沒(méi)有想好在出了誤差之后的整改方案，所以在魚(yú)線(xiàn)的調(diào)整上花費(fèi)了太長(zhǎng)時(shí)間，在進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，要事先想好如何簡(jiǎn)便的解決錯(cuò)誤，即提高容錯(cuò)率。

參考文獻(xiàn)：

[1]“單擺小角度時(shí)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)”證明，摘自www.51cok. com/w-lzsd/6418.html