董春蘭

摘要： 在Matlab優(yōu)化工具箱中用內(nèi)點(diǎn)法對機(jī)床主軸進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使主軸在剛度增強(qiáng)的同時質(zhì)量有所降低，以此確定最佳設(shè)計(jì)方案。實(shí)例證明優(yōu)化方法在機(jī)械設(shè)計(jì)中的應(yīng)用可以提高設(shè)計(jì)的效率和質(zhì)量。

關(guān)鍵詞： MATLAB;內(nèi)點(diǎn)法;結(jié)構(gòu)優(yōu)化

中圖分類號： TG659??? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A??? 文章編號： 1672-9129（2018）09-0117-01

Abstract ：To obtain the machine tool shaft best design，done the struction optimization use interior point method in matlab. Increase stiffness and reduce mass at the same time is the result of The optimization . An example shows that the application of optimization method in mechanical design can improve the efficiency and quality of the design.

Keywords ：Matlab;interior point method;struction optimization

優(yōu)化設(shè)計(jì)是將最優(yōu)原理和計(jì)算技術(shù)應(yīng)用于設(shè)計(jì)領(lǐng)域，尋找出最佳的設(shè)計(jì)方案。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法尋求機(jī)械設(shè)計(jì)的最優(yōu)方案，包括建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型和選擇恰當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法[1]。優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型是實(shí)際優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)抽象。在明確設(shè)計(jì)變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)之后，優(yōu)化設(shè)計(jì)問題就可以表示成一般數(shù)學(xué)形式：

求設(shè)計(jì)變量矢量x=（x1 x2 …xn）T，使f（x）→min

且滿足約束條件 hk（x）= 0 （k=1，2…，l）

gj（x）≤ 0 （j=1，2…，m）

本質(zhì)是多元函數(shù)的極值問題。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

對于普通機(jī)床，并不追求過高的加工精度，以兩支撐機(jī)床主軸為例進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，為便于分析將空心階梯軸簡化為空心等圓截面軸，選取主軸的自重最輕為目標(biāo)，外身端的撓度w是約束條件。

則主軸重量為：G= 1 4 π（D2-d2）（L+A）ρ

式中D、d分別為主軸的外徑和內(nèi)徑，ρ為主軸材料密度。主軸內(nèi)徑的大小由機(jī)床型號決定，不作為設(shè)計(jì)變量。當(dāng)主軸內(nèi)孔直徑與主軸直徑之比小于0.3時，空心主軸的剛度幾乎與實(shí)心主軸的剛度相當(dāng)：當(dāng)主軸內(nèi)孔直徑與主軸直徑之比為0.5時，空心主軸的剛度為實(shí)心主軸的剛度90%，取d/D=0.4。

故設(shè)計(jì)變量為x=（x1 x2）T=（A L）

目標(biāo)函數(shù)為minf（x）=? 1 4 π（D2-d2）（x1+x2）ρ

點(diǎn)D撓度w小于規(guī)定值w0

即：w= FA2（L+A） 3EI ≤w0則約束條件：g（x）=? FX21 （X1? + X2 ） 3EI -w0≤0

式中E為主軸所用材料的彈性模量;I為截面慣性矩

機(jī)床主軸對剛度要求比較高，當(dāng)滿足剛度要求時，強(qiáng)度尚有相當(dāng)富裕，因此應(yīng)力約束條件可不考慮。

數(shù)學(xué)模型一旦建立，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問題就變成一個數(shù)學(xué)求解問題。根據(jù)數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法。此數(shù)學(xué)模型是一個具有不等式約束的優(yōu)化問題，選用內(nèi)點(diǎn)法來求解。

2 優(yōu)化實(shí)例

對兩支撐機(jī)床主軸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，已知內(nèi)徑d=30mm，F(xiàn)=15000N，許用撓度w0=0.05mm

設(shè)計(jì)變量的初值和上下限值下表所示

X2 480 300 650??? 在MATLAB優(yōu)化工具箱[2]中選用內(nèi)點(diǎn)法求解，迭代19次，計(jì)算收斂。求得最優(yōu)解經(jīng)圓整得：

x*=（90 300）Tf（x*）=12.585 。優(yōu)化后

剛度增加量為：? 11.9-5.801 11.9 ×100%=51.25%

質(zhì)量減少量為：? 19.3616-12.5851 19.3616 ×100%=35%

3 結(jié)論

在滿足使用要求的前提下，對機(jī)床主軸進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化。和傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法相比，優(yōu)化設(shè)計(jì)方法為提高產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)性和市場競爭力提供了有效手段。

參考文獻(xiàn)：

[1] 孫靖民.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社， 2015

[2] 龔純，王正林. 精通MATLAB優(yōu)化計(jì)算[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2016

[3] 甘勤濤，聶永川，等. MATLAB2012數(shù)學(xué)計(jì)算與工程分析從入門到精通[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社， 2012