陜西省榆林實(shí)驗(yàn)中學(xué)(719000) 張彭飛

在《三角恒等變換》(普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)必修4》第三章)一章中,理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差、二倍角的三角函數(shù)公式以及變形形式的推導(dǎo)過(guò)程和思想方法是一個(gè)教學(xué)的重點(diǎn).會(huì)利用這些公式處理一些基本的三角恒等變形問(wèn)題,這是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).按照新課改理念的要求,筆者在本章復(fù)習(xí)課中有針對(duì)性地布置“習(xí)題引申思考”作業(yè),激發(fā)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí),收到了較好的效果.

一、教學(xué)片斷分享

例已知等腰三角形一個(gè)底角的正弦值為求頂角的正弦、余弦、正切值(人教版《數(shù)學(xué)必修4》,138頁(yè)A組16題).

學(xué)生練習(xí)后,組織開(kāi)展如下探究活動(dòng):

片斷一以“變”導(dǎo)學(xué),拓展思維

教師:將上面例題條件變?yōu)椤耙阎妊切蜛BC的腰為底的2倍”,求頂角A的正弦、余弦、正切值.請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)思考解題過(guò)程,能夠總結(jié)出這個(gè)問(wèn)題的解題方法嗎?(要求學(xué)生討論交流兩分鐘)

學(xué)生1:由已知等腰三角形的兩邊關(guān)系,作底邊上的高就可以將問(wèn)題化歸為:在直角三角形中求角的正弦、余弦值;再利用二倍角公式、商數(shù)關(guān)系來(lái)求解.

教師:好.由題目的已知條件還能求出哪些角的三角函數(shù)值?

學(xué)生2:還能夠求出底角的正弦、余弦、正切值.

學(xué)生4:還能夠求出角2B、角A+B的正弦、余弦、正切值.

教師:誰(shuí)能把剛才同學(xué)們講的概括為一個(gè)命題?

學(xué)生5:已知銳角α的正弦值為求的三角函數(shù)值.

教師:很好!同學(xué)們課后利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的三角公式推出這些與相關(guān)的三角函數(shù)值.下面老師留兩道思考作業(yè)題課后研究,同學(xué)們可選擇一個(gè)完成,下一節(jié)課我們來(lái)討論(出示幻燈片).

思考作業(yè)

(1)你能改變題目的已知條件(如設(shè)等腰三角形的腰為1,頂角A為36°),應(yīng)用該題的解法推出哪些特殊角的三角函數(shù)值?

(2)在你所遇到的題目中,可否將要解決的問(wèn)題化歸為特殊三角形中(類(lèi)似該題)三角函數(shù)求值問(wèn)題,能舉一例嗎?

教學(xué)評(píng)議在學(xué)會(huì)例題解法的基礎(chǔ)上,“變式”導(dǎo)學(xué)既鞏固了利用三角形中的屬性求三角函數(shù)值的方法掌握,又拓展思維空間“將要解決的問(wèn)題化歸為類(lèi)似的特殊三角形中三角函數(shù)求值問(wèn)題”,實(shí)現(xiàn)知識(shí)與方法的正遷移,到達(dá)高效訓(xùn)練.

片斷二交流分享,提升能力

教師在收查批改作業(yè)后,次日上課交流討論.

教師:昨天的思考作業(yè)題,同學(xué)們完成的非常棒.下面我們用十分鐘來(lái)交流討論(首先針對(duì)第一個(gè)問(wèn)題),此時(shí)有許多學(xué)生舉手.

學(xué)生1:把題目改為:等腰三角形ABC的腰為a,頂角A為30°,求角15°、角75°的正弦、余弦、正切值.

學(xué)生2:把題目的條件改為:等腰三角形ABC的腰為1,頂角A為 36°,就可求出角 18°、角 36°、角72°的正弦、余弦、正切值.

教師:誰(shuí)和這位同學(xué)做的一樣,能說(shuō)解法嗎?(請(qǐng)上講臺(tái)來(lái))

學(xué)生3:只要能求出角18°的正弦值,其它求值問(wèn)題就解決了.如圖1,作角B的平分線(xiàn)BE和角A的平分線(xiàn)AD,由角A等于角等于 36°,所以△ABC～△BCE,列出相似比可求得:所以

圖1

教師:好,同學(xué)們講都正確.還有不同想法嗎?(片刻后)現(xiàn)在咱們請(qǐng)一位同學(xué)總結(jié)一下.

學(xué)生4:求特殊角的三角函數(shù)值,可以利用特殊角的三角形邊角關(guān)系,將問(wèn)題化歸為求直角三角形的銳角三角函數(shù)值.不過(guò),邊長(zhǎng)設(shè)為1,計(jì)算較簡(jiǎn)單.

教師:很好!對(duì)于一些特殊角的求三角函數(shù)值的問(wèn)題,我們可以從“數(shù)形結(jié)合”來(lái)考慮,巧妙構(gòu)造三角形,將問(wèn)題化歸為求直角三角形的銳角三角函數(shù)值.下來(lái),我們接著研究(針對(duì)第二個(gè)問(wèn)題).

解法是:(老師:請(qǐng)上講臺(tái)來(lái)講解)如圖2,作直角三角形ABC,AC=1,∠A=α,作∠A的平分線(xiàn)AD,并作DE⊥AB.所以因?yàn)镃D=DE,又BD＞DE,所以BC＞2CD,即原不等式成立.(學(xué)生鼓掌)

圖2

學(xué)生6:老師,他的解法是巧妙構(gòu)造了一個(gè)直角三角形,利用了邊長(zhǎng)表示的大小,然后用邊的大小關(guān)系來(lái)證明的.

教師:不錯(cuò),講的非常清楚.還能舉例嗎?

教師:大家覺(jué)得呢?(學(xué)生討論片刻)

學(xué)生9:不行,用這個(gè)方法只能證明角A和角B都是銳角時(shí)成立.所以把題中條件改為“已知角A、角B為銳角,且就能用這個(gè)方法證明了.

教師:講的好,利用構(gòu)造特殊三角形的方法轉(zhuǎn)化問(wèn)題時(shí),必須符合問(wèn)題的條件要求.以后我們還會(huì)遇到用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的實(shí)例,請(qǐng)同學(xué)們留心積累.

教學(xué)評(píng)議通過(guò)“變式”導(dǎo)學(xué)引發(fā)實(shí)現(xiàn)思考問(wèn)題,在課堂教學(xué)中,充分展現(xiàn)學(xué)生“思考成果”,既有利于相互學(xué)習(xí),又能夠督促檢查、糾正一些問(wèn)題.這樣的教學(xué)整體貫穿了“學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)體驗(yàn)”的理念,活化能力,有效培養(yǎng)了學(xué)生的推理、運(yùn)算、概括等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),我們應(yīng)該點(diǎn)贊.

二、教學(xué)引申思考

1.滿(mǎn)足學(xué)生學(xué)習(xí)需求進(jìn)行“鼓勵(lì)性”教學(xué)

聚焦核心素養(yǎng),落實(shí)課改理念,首先應(yīng)從每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)入手,體現(xiàn)在教師的教學(xué)方法上:“數(shù)學(xué)教學(xué)由建立在‘知識(shí)的傳授’與‘例題——練習(xí)’之上的‘權(quán)威型模式’轉(zhuǎn)移到以‘對(duì)學(xué)生的鼓勵(lì)’和‘積極的探求’為特色的以學(xué)生為中心的教學(xué)方法”.為此,在習(xí)題引申思考的教學(xué)中可從三個(gè)方面設(shè)計(jì)教學(xué)方法:

(1)習(xí)題解后創(chuàng)設(shè)新問(wèn)題,用問(wèn)題引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生,激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)需求,推起學(xué)生思維“波瀾”;

(2)課后布置思考作業(yè)題,留給學(xué)生獨(dú)立思考問(wèn)題的自由空間;

(3)課堂上交流討論,形成學(xué)生學(xué)習(xí)互補(bǔ),促進(jìn)學(xué)生思維水平的提高.

教學(xué)后收到良好的效果這是我們未所料及的.這表明,只要以學(xué)生已有的認(rèn)知、學(xué)習(xí)需求為切入點(diǎn),構(gòu)造切合學(xué)生思維水平的問(wèn)題情境,就能為學(xué)生營(yíng)造寬松的、開(kāi)放式的學(xué)習(xí)氛圍,從而實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力.

2.挖掘教材教學(xué)價(jià)值,豐富學(xué)生學(xué)習(xí)空間

習(xí)題引申思考應(yīng)貫穿于平時(shí)的教學(xué)中,題目選擇不能脫離教材,否則易給學(xué)生形成新的負(fù)擔(dān),有可能挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.善用教材,用活教材.注重開(kāi)發(fā)、挖掘教材的教學(xué)價(jià)值,讓學(xué)生從教材中研究數(shù)學(xué)式的解決問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程,領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想,這必將對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣和能力是大有益處的.

3.讓學(xué)生自主探究學(xué)習(xí),鼓勵(lì)學(xué)生和諧發(fā)展

學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)主動(dòng)的和富有個(gè)性化的行為活動(dòng).“有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)不能單純地依賴(lài)模仿與記憶,學(xué)習(xí)不單是聽(tīng)講,而是還基于研究、發(fā)現(xiàn)或?qū)嶒?yàn).動(dòng)手實(shí)踐,自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”.“習(xí)題引申思考”給以學(xué)生自主探索問(wèn)題的一個(gè)機(jī)會(huì).通過(guò)問(wèn)題探究,學(xué)生能夠?qū)瘹w思想、數(shù)形結(jié)合思想有所體驗(yàn)、有所領(lǐng)悟,對(duì)自己研究得來(lái)的“成果”倍加親切,同時(shí)學(xué)生能體驗(yàn)成功的喜悅、發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣,以及挫折、失敗的意志磨練,由此促進(jìn)學(xué)生和諧發(fā)展.

4.養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,激勵(lì)思維創(chuàng)新

學(xué)生學(xué)習(xí)的習(xí)慣與方法直接影響著學(xué)習(xí)效率、學(xué)習(xí)成績(jī).“習(xí)題變式思考”能促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)思考與思考學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與解決問(wèn)題同步協(xié)調(diào)發(fā)展,其過(guò)程中能夠促使學(xué)生養(yǎng)成解題分析、解后反思、歸納方法、問(wèn)題延拓、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,同時(shí)還能夠在引申思考問(wèn)題中檢查發(fā)現(xiàn)學(xué)生自己學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題,或有數(shù)學(xué)問(wèn)題的新發(fā)現(xiàn),這樣有助于數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)、問(wèn)題意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)、求實(shí)態(tài)度和科學(xué)精神的培養(yǎng).

培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn).從數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程來(lái)看,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)建是一個(gè)“自我完善、自我循環(huán)、螺旋式上升”的動(dòng)態(tài)過(guò)程.在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中,數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)“要以問(wèn)題為導(dǎo)向,以解決問(wèn)題為抓手”,在讓學(xué)生經(jīng)歷了探究、解決問(wèn)題的過(guò)程后,一種品質(zhì)的鍛造、一種理性的推敲、一種智慧的感悟,一切的一切都會(huì)匯聚思維能力的提升.我們相信,學(xué)生潛能是巨大的,只要我們用一顆真誠(chéng)的心去挖掘就一定會(huì)成功!