廣東省廣州市從化區(qū)第二中學(xué)(510900) 杜東儀

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的第一個(gè)內(nèi)容,也是初、高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn),并且高中數(shù)學(xué)的絕大多數(shù)內(nèi)容都與函數(shù)有著緊密的聯(lián)系,學(xué)好函數(shù)是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).但由于實(shí)行九年制義務(wù)教育和倡導(dǎo)全面提高學(xué)生素質(zhì),初中教材在各個(gè)內(nèi)容上均進(jìn)行了不同幅度的調(diào)整,難度、深度和廣度都有所降低;而高中數(shù)學(xué)的開始便是函數(shù),其概念抽象、定義嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性強(qiáng),知識(shí)難度大,且習(xí)題類型多,解題技巧靈活多變,與初中的要求存在明顯的差距.導(dǎo)致大部分學(xué)生在做函數(shù)題目時(shí)都感覺到有壓力,覺得無從下手,受到不小的打擊,從此失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.

如何幫助高一的學(xué)生更快地適應(yīng)高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),現(xiàn)代信息技術(shù)起到非常大的作用.圖形計(jì)算器的數(shù)據(jù)處理、函數(shù)、繪圖和簡(jiǎn)單編程等功能非常強(qiáng)大,利用它可以呈現(xiàn)一些較抽象的問題,讓學(xué)生更加直觀地去感知新知識(shí),這有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì),激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).另外,它的交互性特點(diǎn),可以幫助老師在函數(shù)教學(xué)中實(shí)時(shí)反饋和展示學(xué)生的操作與理解情況.

下面結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐,談一下圖形計(jì)算器在高一數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的一些應(yīng)用.

一、讓學(xué)生直觀感知基本初等函數(shù)的性質(zhì)

在我們研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí),對(duì)于一些不必要嚴(yán)格證明的結(jié)論,我們可以采取直觀感知的方式,而圖形計(jì)算器快捷、準(zhǔn)確的畫圖功能為我們的直觀感知提供了保障.

案例一指數(shù)函數(shù)y=ax的底數(shù)a對(duì)函數(shù)變化速度的影響.

在指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),冪函數(shù)的底數(shù)對(duì)函數(shù)變化速度的影響這三個(gè)內(nèi)容中,我們的教學(xué)重點(diǎn)均為研究結(jié)論的記憶和運(yùn)用.而結(jié)論的推導(dǎo)只作了解要求,我們沒有必要花費(fèi)大量時(shí)間進(jìn)行嚴(yán)格證明,因此在教學(xué)中我們可以選取幾個(gè)特殊的函數(shù)利用圖形計(jì)算器的繪圖功能進(jìn)行直觀感知并得出結(jié)論.下面以指數(shù)函數(shù)為例,將分析過程分為a＞1和0＜a＜1兩部分:

(一)選取三個(gè)底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)(y=2x,y=3x,y=4x)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中繪制它們的函數(shù)圖象(圖1.1)

引導(dǎo)學(xué)生思考與總結(jié):

(1)指數(shù)函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)(0,1);(2)在點(diǎn)(0,1)前后交錯(cuò)變化;(3)當(dāng)?shù)讛?shù)a＞1時(shí),底數(shù)越大,指數(shù)函數(shù)y=ax的上升速度就越快.

引導(dǎo)學(xué)生思考與總結(jié):當(dāng)?shù)讛?shù)0＜a＜1時(shí),底數(shù)越小,指數(shù)函數(shù)的下降速度就越快.

圖1.1

圖1.2

案例二反函數(shù)的圖象特點(diǎn)

我們?cè)谘芯糠春瘮?shù)時(shí),以“同底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)”為例.

(一)建立一個(gè)直角坐標(biāo)系,并畫出直線y=x的圖象.

(二)讓學(xué)生繪制并觀察y=2x和y=log2x的圖象.(如圖1.3)

(三)讓學(xué)生繪制并觀察y=3x和y=log3x的圖象.(如圖1.4)

(四)讓學(xué)生繪制并觀察y=4x和y=log4x的圖象.(如圖1.5)

圖1.3

圖1.4

圖1.5

(五)歸納總結(jié):引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“當(dāng)變量a取不同的數(shù)值時(shí),函數(shù)y=ax和y=logax的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱”.

(六)類比推理:繪制多個(gè)互為反函數(shù)的圖象,引導(dǎo)學(xué)生類比推理出結(jié)論“互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱”.

二、研究較復(fù)雜的函數(shù)的圖像和性質(zhì)

對(duì)于學(xué)生來說,一些函數(shù)圖象往往不太容易直接畫圖,或者所畫出的圖象在一些細(xì)微的差別上無法辨析出來.即使在課堂上,教師明確點(diǎn)出,但學(xué)生往往在心里存疑.實(shí)際上最主要的原因是教師沒有拿出有力的證據(jù)說服學(xué)生,因此數(shù)學(xué)思維難以得到很好的滲透.現(xiàn)代化信息技術(shù)在人們的心目中有著公平公正、嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確的印象,它恰恰能夠彌補(bǔ)這一點(diǎn).圖形計(jì)算器所畫出來的圖象能夠?qū)⒁恍┘?xì)微的差別展示出來,而且在學(xué)生的心中有很強(qiáng)的說服力,對(duì)于一些較復(fù)雜的函數(shù)我們可以利用圖形計(jì)算器快捷、準(zhǔn)確地畫出.

案例三求函數(shù)f(x)=x2-2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

(一)大部分學(xué)生的解題過程非常相似,出錯(cuò)的主要原因均是“在第二個(gè)交點(diǎn)的右邊,指數(shù)函數(shù)y=2x沒有再超越二次函數(shù)y=x2形成第三個(gè)交點(diǎn).

(二)傳統(tǒng)的講解過程,老師一般都是直接指出指數(shù)函數(shù)y=2x在后面的變化速度比二次函數(shù)y=x2快,所以會(huì)形成第三個(gè)交點(diǎn).我也曾經(jīng)在課堂中用過這種方法進(jìn)行解釋,但很多學(xué)生仍然不太明白,主要是不太理解變化速度的問題.

(三)如果我們利用圖形計(jì)算器畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象(如圖1.6).

圖1.6

從上圖我們可以看到兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)有3個(gè),但是因?yàn)閮蓚€(gè)圖象在第二、三個(gè)交點(diǎn)之間的部分并不清晰,因此我們可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步的探究,通過求值比較的方法讓學(xué)生進(jìn)一步感知函數(shù)圖象的變化情況.首先,我們?cè)诘诙⑷齻€(gè)交點(diǎn)間取一個(gè)數(shù),比如3,代入f(x)=x2-2x求得f(3)=1＞0;然后,再在第三個(gè)交點(diǎn)右邊取一個(gè)數(shù),比如5,代入f(x)=x2-2x求得f(5)=-7＜0;最后,由于f(3)·f(5)＜0,可以確定(3,5)內(nèi)一定有零點(diǎn).通過這一系列的分析、探究,可以讓學(xué)生更好掌握指數(shù)函數(shù)的變化速率問題.

三、建立數(shù)學(xué)模型,解決實(shí)際問題

在中學(xué)開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng),可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和興趣;可以培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力和發(fā)散思維能力.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的能力,關(guān)鍵是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題.因此必須首先通過觀察分析、提煉出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,再把數(shù)學(xué)模型納入某知識(shí)系統(tǒng)去處理.

數(shù)學(xué)建模過程中,對(duì)于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的匯總、計(jì)算、繪圖等如果不利用現(xiàn)代信息技術(shù),那么對(duì)于學(xué)生來說是一個(gè)非常艱巨的工程.圖形計(jì)算器的應(yīng)用恰恰幫我們解決了這一問題,使學(xué)生能夠方便、快捷地建立函數(shù)模型,將學(xué)生的精力集中在如何利用數(shù)學(xué)方法解決生活問題.這樣就能最大限度地培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)能力,使他們獲得成功的喜悅,進(jìn)一步建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

案例四必修一第三章《函數(shù)的應(yīng)用》P105例6

某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表3-10.

表3-10

(1)根據(jù)表3-10提供的數(shù)據(jù),能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系?試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式.

(2)若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖,低于0.8倍為偏瘦,那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm,體重為78kg的在校男生的體重是否正常?

實(shí)施步驟:

(一)運(yùn)用圖形計(jì)算器做出散點(diǎn)圖:

圖2

(二)擬合猜想:

課本中說到,“根據(jù)點(diǎn)的分布特征,可考慮以y=a·bx作為刻畫這個(gè)地區(qū)未成年男性的體重與身高關(guān)系的函數(shù)模型”,但是有時(shí)散點(diǎn)圖并不能很清晰地看出函數(shù)模型,這個(gè)時(shí)候就可以發(fā)揮圖形計(jì)算器的強(qiáng)大功能,繪制不同的模型,然后初步觀察它的擬合程度,并根據(jù)不同需要選擇不同的函數(shù)類型進(jìn)行猜想并擬合.比如:這里我們選擇了三個(gè)函數(shù)模型,進(jìn)行分析研究:

(1)二次型函數(shù)模型:y=ax2+bx+c.

(2)指數(shù)型函數(shù)模型:y=a·bx.

(3)一次型函數(shù)模型:y=kx+b.

(三)畫出三個(gè)圖象,觀察擬合情況,確定函數(shù)模型.

圖3

圖4

圖5

從上面三個(gè)函數(shù)模型的擬合情況來看,指數(shù)型函數(shù)模型(y=a·bx)的擬合程度是最好的,因此老師就可以更好地向?qū)W生講述什么是“根據(jù)點(diǎn)的分布特征”來選擇函數(shù)模型.

但是有時(shí)候單純從函數(shù)圖像,我們并不能發(fā)現(xiàn)哪一個(gè)函數(shù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的擬合程度更好,或者說只是一個(gè)初步的判斷,如果我們要得到更加準(zhǔn)確的曲線,后面可以借助選修2-3《統(tǒng)計(jì)案例》中學(xué)到的擬合函數(shù)的函數(shù)值與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差平方和來衡量不同擬合函數(shù)的優(yōu)劣.

利用圖形計(jì)算器的計(jì)算和繪圖功能,不但可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的一般方法和步驟,還能夠簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)建模的過程,減低建模的難度.指引學(xué)生去尋找解決問題的多種不同方法,讓他們形成做數(shù)學(xué),玩數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣,這樣才能更大限度的發(fā)揮出圖形計(jì)算器強(qiáng)大的功能.

圖形計(jì)算器對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維有很大的幫助,主要有:(1)簡(jiǎn)化計(jì)算過程,降低計(jì)算難度;(2)能夠充分暴露教師的思維過程;(3)使抽象問題具體化、靜態(tài)化;(4)在學(xué)生的空間想象能力未達(dá)到一定水平之前,可使圖形直觀化;(5)可以培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維;(6)使學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力得到培養(yǎng).

高中的函數(shù)教學(xué)貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終,深入理解、掌握函數(shù),為后面的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)是非常重要的.圖形計(jì)算器的特點(diǎn)決定了它對(duì)函數(shù)的教與學(xué)有著非常重大的幫助,它可以很好地呈現(xiàn)函數(shù)知識(shí)的形成過程及展示其內(nèi)涵,幫助學(xué)生加深對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì).從而使函數(shù)知識(shí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)得到很好的突破,有利于學(xué)生用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問題,逐步培養(yǎng)科學(xué)研究的態(tài)度和意識(shí).

總之,圖形計(jì)算器在函數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用改變了我們傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育思想與教學(xué)模式,圖形計(jì)算器作為認(rèn)知工具無疑將是信息時(shí)代占主導(dǎo)地位的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)方式,必將成為學(xué)校數(shù)學(xué)教育的主要方法之一.因此,在當(dāng)前我國積極推進(jìn)教育現(xiàn)代化、信息化的大背景下,倡導(dǎo)和探索圖形計(jì)算器和數(shù)學(xué)課程的結(jié)合,將復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)概念變得形象生動(dòng),提高了學(xué)生數(shù)學(xué)的興趣,對(duì)于發(fā)展學(xué)生的信息素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力有著十分重要的現(xiàn)實(shí)意義.