廣東省深圳市寶安區(qū)官田學(xué)校(518108) 李佳新

空間觀念、幾何直觀、推理能力是初中數(shù)學(xué)中的核心素養(yǎng).引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種方法探索圖形的性質(zhì)和特點(diǎn),從而提高學(xué)生的思維能力和推理能力是我們?cè)诔踔袔缀谓虒W(xué)中要把握的重點(diǎn).作為平面幾何中最值問(wèn)題是最能有效發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和推理能力的重要知識(shí),在近幾年中考中也是比較熱門的考題,因?yàn)樗芘囵B(yǎng)學(xué)生動(dòng)態(tài)思維的能力.對(duì)于動(dòng)態(tài)問(wèn)題,如果我們能化動(dòng)為靜,那么解決問(wèn)題就方便很多,也易于求解.考慮到有些元素在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中能形成特殊的圖形,根據(jù)特殊圖形的性質(zhì),我們可以很方便解決問(wèn)題.本文試圖探討圓外一點(diǎn)到圓的最小值來(lái)解決有關(guān)求線段長(zhǎng)度最小值問(wèn)題.

一、引例

圓外一點(diǎn)到圓的距離定義:圓外一點(diǎn)到圓上任一點(diǎn)線段的長(zhǎng)度,叫圓外一點(diǎn)到圓的距離.(如圖1)由于A是圓上任意一點(diǎn),故P到圓的距離有無(wú)數(shù)個(gè),其中必然有一個(gè)最大距離,也有一個(gè)最小距離.如圖2,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P與點(diǎn)O作直線PO,交⊙O于A、B兩點(diǎn),顯然PA是點(diǎn)P到⊙O的最大距離,PB是點(diǎn)P到⊙O的最小距離.也就是說(shuō),如果圓外有一個(gè)定點(diǎn)P,圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,則當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),PM最小,當(dāng)M運(yùn)動(dòng)A點(diǎn)時(shí)PM最大.利用這個(gè)原理,我們可以用它來(lái)解決幾何中線段最大值或最小值問(wèn)題,本文僅討論利用圓(或隱圓)解決線段長(zhǎng)最短問(wèn)題,即幾何中線段最小值問(wèn)題.

圖1

圖2

二、“顯圓”中求最小值

題中直接出現(xiàn)了圓,而且點(diǎn)就在圓上運(yùn)動(dòng),那么就可直接利用上述引例的方法解答問(wèn)題.

例1(2014秋集美區(qū)校級(jí)期末)如圖 3,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC為直徑的半圓交AB于D,P是弧CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AP,求AP的最小值.

圖3

分析由于點(diǎn)P在半圓上運(yùn)動(dòng),根據(jù)上述引例可知,連結(jié)A點(diǎn)和圓心交半圓于點(diǎn)P,則此時(shí)AP距離最小.

解找到BC的中點(diǎn)E,連接AE,交半圓于P2,在半圓上取P1,連接AP1,EP1, 可見,AP1+EP1＞AE,即AP2是AP的最小值,因?yàn)镻2E=1, 所以

圖4

點(diǎn)拔本題由于有圓存在,點(diǎn)P又在圓上運(yùn)動(dòng),所以很容易找到當(dāng)點(diǎn)P在P2的位置時(shí),AP最小.

在有些問(wèn)題中,圓并沒(méi)有畫出來(lái),而是需要我們?nèi)ヅ袛嘣剡\(yùn)動(dòng)時(shí)形成的特殊圖形——圓,從而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓的距離的知識(shí)解決問(wèn)題.

三、“隱圓”中求最小值

“圓”去哪兒了?觀察下列圖形:

圖5

圖6

圖7

你能看出圖形中存在的“隱圓”嗎?易知:圖5中,點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上.圖6和圖7中,點(diǎn)B、D都在以AC為直徑的圓上.這里的圓都是“隱”藏的,需要我們自己去分析,去尋找,去發(fā)現(xiàn),才能用圓的知識(shí)解決問(wèn)題.

例2(2015自貢)如圖8,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB邊的中點(diǎn),F是線段BC邊上的動(dòng)點(diǎn),將△EBF沿EF所在直線′折疊得到△EB′F,連接B′D,則BD的最小值是()

圖8

點(diǎn)拔B′總是在以E為圓心,EB為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),故利用點(diǎn)到圓的距離可求DB′的最小值.當(dāng)點(diǎn)D、B′、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí),故選A.

圖9

變式訓(xùn)練

例1如圖10,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD邊的中點(diǎn),N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN,連接A′C.則A′C長(zhǎng)度的最小值是______.

圖10

圖11

解如圖11,連接CM,過(guò)M點(diǎn)作MH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,則由已知可得,在Rt△DHM中,DM=1,∠HDM=60°,所以所以所以又因?yàn)锳′點(diǎn)一定在以M為圓心,MA為半徑的圓上,故當(dāng)C、A′、M在同一直線上時(shí)A′C長(zhǎng)度的最小,此時(shí)A′M=AM=1,所以所以A′C長(zhǎng)度的最小值是

例2(2016陜西)如圖12,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn),若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,則P、D(P、D兩點(diǎn)不重合)兩點(diǎn)間的最短距離為____.

圖12

分析△PBC構(gòu)成等腰三角形有三種可能.

(1)PB=PC,(2)PC=BC,(3)PB=BC.

分別對(duì)應(yīng)如下三個(gè)圖形:

圖13-1

圖13-2

圖13-3

(1)當(dāng)PB=PC時(shí),此時(shí)點(diǎn)P在AB邊上.

(2)當(dāng)PC=BC時(shí),此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合,不合題意

(3)當(dāng)PB=BC時(shí),點(diǎn)P在以B為圓心,BC為半徑的圓上,所以當(dāng)D、P、B三點(diǎn)在同一直線上時(shí)PD最短.

對(duì)比三種情況,顯然只有當(dāng)PB=BC時(shí),PDmin=

例3(2013武漢)如圖14,E,F是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足AE=DF.連接CF交BD于G,連接BE交AG于點(diǎn)H.若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線段DH長(zhǎng)度的最小值是____.

圖14

圖15

分析此題動(dòng)點(diǎn)很多,除了正方形頂點(diǎn)不動(dòng)外,其它點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn),感覺(jué)無(wú)從下手.仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)∠AHB=90°,可知點(diǎn)H在以AB為直徑的圓上,故找到存在的“隱圓”,如圖所示,取AB中點(diǎn)O,連結(jié)OD交⊙O于H,則此時(shí)DH最小,最小值如果找不到點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,那么此題就感覺(jué)非常困難,所以在有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的題中,要抓住關(guān)鍵點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè)什么的圖形,因?yàn)榇祟}要求的是DH的最小值,D點(diǎn)是定點(diǎn),只有H是動(dòng)點(diǎn),所以只要找到H點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡就好辦了.

變式訓(xùn)練

1、如圖16,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,P是三角形內(nèi)一點(diǎn),且∠PAC= ∠PCB,求PB的最小值為____.

圖16

(點(diǎn)拔:易判斷 ∠APC=90°,所以點(diǎn)P在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),易求PB的最小值為

2.(深圳龍嶺學(xué)校2015期中)如圖17,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,E是BC上一點(diǎn),Q是CD上一動(dòng)點(diǎn),將△CEQ沿直線EQ折疊后,點(diǎn)C落在點(diǎn)P處,連接PA.點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),當(dāng)PA的長(zhǎng)度最小時(shí),CQ的長(zhǎng)為()

圖17

(點(diǎn)拔:折疊時(shí)點(diǎn)C在以E為圓心,EC長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng)E、P、A三點(diǎn)在同一直線上時(shí),PA最短,可畫出此時(shí)圖形,就可求CQ,故選A)

3、如圖 18,△ABC是邊長(zhǎng)為 2的等邊三角形,D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),BE⊥AD于E,則CE的最小值為____.

圖18

(點(diǎn)拔:由于∠AEB=90°,故E在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),易求CE的最小值)

4、如圖 19,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,AB=10,D是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以AD為直徑的圓O交BD于E,則線段CE的最小值是___.

圖19

(點(diǎn)拔:易知∠AEB=90°,故點(diǎn)E在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),只需取AB中點(diǎn)F,連結(jié)CF交⊙F于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)F、E、C在同一直線上時(shí).則CE就是最小的.)

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是很多學(xué)生感覺(jué)困惑的問(wèn)題,教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注動(dòng)點(diǎn)的本質(zhì).哲學(xué)告訴我們,運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的,靜止是相對(duì)的,要告訴學(xué)生遇有動(dòng)態(tài)的問(wèn)題不要怕,要分析動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中哪些是在變?哪些是沒(méi)有變?變的是否有規(guī)律?從而化動(dòng)為靜,探索規(guī)律.在上述例子中,我們發(fā)現(xiàn)雖然在有些題中動(dòng)點(diǎn)很多,但在求線段最小值時(shí),發(fā)現(xiàn)線段的兩個(gè)端點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)是動(dòng)的,另一個(gè)點(diǎn)是靜止的,它就啟發(fā)我們那個(gè)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)肯定是具有某種特殊性質(zhì),能想到這一點(diǎn),問(wèn)題就好解決了.所以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力要立足于具體問(wèn)題的引導(dǎo)與分析,讓學(xué)生體會(huì)探討問(wèn)題的自然生成過(guò)程,從而真正理解并能形成能力.